专题06 二次函数中的面积问题-初中数学9年级上册同步压轴题（教师版含解析）

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专题06 二次函数中的面积问题类型一、面积最值问题例1．已知抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为D，且过C(－4，m)．(1)求点A，B，C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．【答案】(1)A(-5，0)，B(-1，0)；C(-4，-3)；D(-3，-4)(2)①；②(0，5)或(，)【解析】(1)解：∵抛物线解析式为，∴抛物线顶点D的坐标为(-3，-4)；令y=0，则，解得或，∵抛物线与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，∴点A的坐标为(-5，0)，点B的坐标为(-1，0)；令，则，∴点C的坐标为(-4，-3)；(2)解：①设直线BC的解析式为，∴，∴，∴直线BC的解析式为，过点P作PE⊥x轴于E交BC于F，∵点P的横坐标为t，∴点P的坐标为(t，)，点F的坐标为(t，t+1)，∴，∴ ，∴当时，△PBC的面积最大，最大为；②如图1所示，当点P在直线BC上方时，∵∠PCB=∠CBD，∴，设直线BD的解析式为，∴，∴，∴直线BD的解析式为，∴可设直线PC的解析式为，∴，∴，∴直线PC的解析式为，联立得，解得或(舍去)，∴，∴点P的坐标为(0，5)；例2．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、(点在点的左侧)，点在线段上运动(不与点A、重合)，过点作直线轴于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积．【答案】(1)；(2)存在或；(3)；【解析】(1)解：将代入中∴将、代入中解得：∴(2)设，则、令y=0代入中得，x=-2∴与x轴的交点坐标为：∴，∴如图：当时，则，解得：(舍去)，∴当时，，解得：(舍去)，，综上，或(3)由(2)知∴的周长当时，最大，∴ 如图2所示，当点P在直线BC下方时，设BD与PC交于点M，∵点C坐标为(-4，-3)，点B坐标为(-1，0)，点D坐标为(-3，-4)，∴,，，∴，∴∠BCD=90°，∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，∵∠CBD=∠PCB，∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，∴MD=MB，∴M为BD的中点，∴点M的坐标为(-2，-2)，设直线CP的解析式为，∴，∴，∴直线CP的解析式为，联立得，解得或(舍去)，∴，∴点P的坐标为(，)；综上所述，当∠PCB＝∠CBD时，点P的坐标为(0，5)或(，)；【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC上方的抛物线上有一点M，求的最大值；(3)如图2，将线段OA绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围；【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)由题意，设抛物线的解析式为，把代入解析式解得：，   所以，抛物线的解析式为；(2)如图1，过点作轴，交于点，设直线的解析式为，把，代入可得： ，解得：，直线的解析式为，   设点坐标为，则点坐标为，又点在直线上方，，，，，当时，有最大值为2；(3)如图2，线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，由旋转性质可得：，，   ，，当在抛物线上时，，解得：，当点在抛物线上时，，解得：或2， 或时，线段与抛物线只有一个公共点；【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．(1)求二次函数的解析式；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)；(2)S的最大值是，点P的坐标是【解析】(1)解：∵二次函数过，两点，∴设二次函数解析式为，∵二次函数过C点，∴，解得a＝1，∴即二次函数解析式为；(2)解：设直线解析式为：y＝kx＋b，∵，，∴，解得，∴直线的解析式为y＝﹣x－3，过点P作x轴的垂线交于点G，设点P的坐标为，则，∵点P在第三象限，∴，∴，∴当时，，此时，∴点.即S的最大值是，此时点P的坐标是.类型二、面积定值问题例1.已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M．(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)(1+，1)【解析】(1)解：(1)将B(3，0)、C(0，3)代入y=-x2+bx+c，得：，解得：．∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．(2)依照题意画出图形，如图所示．设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C(0，3)、B(3，0)代入y=kx+b， 得：，解得：，∴直线BC的表达式为y=-x+3，∴P(2，1)，M(2，3)，∴S△PCM=CM•PM=2．设△QCM的边CM上的高为h，则S△QCM=×2×h=2，∴h=2，∴Q点的纵坐标为1，∴-x2+2x+3=1，解得：x1=1+，x2=1-(舍去)，∴点Q的坐标为(1+，1)．【变式训练1】如图，等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，直角边，分别在轴和轴上，点的坐标为，且平行于轴．(1)求直线的解析式；(2)求过，两点的抛物线的解析式；(3)抛物线与轴的另一个交点为，试判定与的大小关系；(4)若点是抛物线上的动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(，)或(，)或(，)【解析】(1)解：∵点的坐标为，且平行于轴，∴点的坐标为且，∵是等腰直角三角形，，∴，∴点的坐标为，设直线的解析式为，由题意得 ，解得 ，∴直线的解析式为；(2)解：∵抛物线过，两点，∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为；(3)解：抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴直线为，∵点的坐标为，点与点D关于对称轴对称，∴点D的坐标为，∴，∵点的坐标为，∴ ，∴(4)解：∵点的坐标为，且平行于轴，∴，∴ ，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(，)，则N的坐标为(，)， ∴ ，∴，∵的面积与的面积相等，∴，解得或(舍，该点为点C)，此时M的坐标为(，)或(，)；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(，)，则N的坐标为(，)，∴ ，∴，∵的面积与的面积相等，∴，解得此时M的坐标为(，)或(，)；综上可得，M的坐标为(，)或(，)或(，)．【变式训练2】如图，已知抛物线经过点，，．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)点是直线上方抛物线上一动点．①当的面积最大时，直接写出点的坐标________；②过点作轴交于点，是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)①；②，(3)存在，或【解析】(1)解：点，在抛物线上．解得：抛物线的解析式为：设直线AB的解析式为：，在直线AB上，，解得：，直线的解析式为：(2)①，，时，最大为8，②解：设P点的横坐标为m，点P在抛物线上，∵轴且N在直线AB上，，时，取得最大为 (3)或满足点Q到AB的距离等于点O到AB的距离．过点O作，交抛物线于点和且直线AB的解析式为：，直线l经过点O的解析式为：解得：或即，