2023年福建省泉州市中考数学二检试卷（含答案）

2023年福建省泉州市中考数学二检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据报道，位于渤海南部海域的渤中油田获亿吨级大发现，探明地质储量超吨油当量，这是我国第一大原油生产基地连续三年获得的亿吨级大发现可用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  对于不为零的实数，下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案，下列图案不含文字说明既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是甲乙两位同学在参加体育中考前的次体能测试成绩折线统计图，则下列说法正确的是(    )

A. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较低 B. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较低
C. 甲成绩比较稳定，且平均成绩较高 D. 乙成绩比较稳定，且平均成绩较高

7.  如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国古代数学家程大位在其数学著作算法统宗有题如下：“甲乙间说牧放，二人暗里参详甲云得乙九个羊，多你一倍之上乙说得甲九只，两家之数相当二边闲坐恼心肠，画地算了半响”其大意是：甲乙牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少羊甲对乙说：“我若得你只羊，我的羊多你一倍”乙说：“我若得你只羊，我们两家的羊数就相等”两人都在用心计算对方的羊数，在地上列算式计算了半天才知道对方羊数若设甲有羊只，乙有羊只，则依题意可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数的图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，将沿的方向平移至，使得，其中是与的交点，是与的交点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知反比例函数的图象经过点，则的值是______．

12.  正五边形的每个外角都等于______ 度

13.  在一个不透明的袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是______ ．

14.  若是一元二次方程的根，则的值为______ ．

15.  如图，在菱形中，，点在边上，以为边在菱形的内部作等边三角形，若，，则与之间的数量关系可用等式表示为______ ．

16.  如图，点是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点求证：≌．

20.  本小题分
月日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取名学生的成绩，其不完整的统计表和统计图如下所示：
学生成绩分布统计表

请根据以上图表信息，解答下列问题：
求与的值，并补全学生成绩频数分布直方图；
若组有名男生和名女生，现随机抽选人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．

21.  本小题分
如图，是的外接圆，，直径交于点．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
毛笔书法是我国传统文化中极具代表性的一种艺术形式某校书法兴趣小组计划购进一批毛笔，已知每支乙种毛笔的价格比每支甲种毛笔的价格多元，且用元购买甲种毛笔的数量与用元购买乙种毛笔的数量相等．
求甲、乙两种毛笔每支各多少元？
若要求购进甲、乙两种毛笔共支，且乙种毛笔数量不少于甲种毛笔数量的倍，试求购买这两种毛笔总费用的最小值．

23.  本小题分
如图，在中，点是的内心．
求作过点且平行于的直线，与，分别相交于点，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
若，，，求的长．

24.  本小题分
如图，在正方形中，是对角线延长线上的一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．
求证：；
连接交于点，并延长与的延长线相交于点．
如图，若，求的值；
如图，与相交于点，若，求的值．
 

25.  本小题分
已知抛物线经过点，，．
求抛物线的解析式；
为抛物线上不与抛物线的顶点和点，重合的动点．
设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点，点关于轴的对称点为，求证：的长度为定值；
当时，过线段上的点不含端点，作的垂线，交抛物线于，两点，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据“”作答．
此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，可得到图形：
．
故选：．
根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，不是同类项，不能合并，
选项的运算不正确，不符合题意；
，不是同类项，不能合并，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，符合题意．
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题可得，乙同学五次成绩的波动幅度较小，而甲同学五次成绩的波动幅度较大，
，
乙成绩比较稳定；
乙同学五次成绩只有第次高于甲同学，且第次两位同学的成绩差小于第次两位同学的成绩差，
乙平均成绩较低．
故选：．
根据方差、平均数的意义结合图形即可求解．
本题考查了方差与平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．平均数是所有数据的和除以数据的个数．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案．
本题考查了切线的性质定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据题意列方程组求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找等量关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为：

点在直线的上方，点在直线的下方，点在直线的下方，
可能在一次函数图象上的是．
故选：．
首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
由平移得，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得，由平移得，，所以，而，即可证明四边形是菱形，因为，，，，则，由勾股定理得，则，得，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点在函数上，则有，即．
故答案为：．
把代入函数，可求出的值．
本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用五八边形的外角和等于度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是．
 

13.【答案】 

【解析】解：这个球是白球．
故答案为：．
根据随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
即，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再用表示得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，；
．
根据题意设；；
分别过点、作轴的垂线段、，垂足为、；

轴，轴；
；
∽；
；
；
．
故答案为：．
先求出点坐标，再设、坐标，依据，用相似三角形列方程即可求解．
本题考查二次函数相关知识，可结合一次函数或相似三角形等知识解题，方法灵活多样．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，然后算除法即可将所求式子化简，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中
≌． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，推出，根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出，注意：平行四边形的对边互相平行．
 

20.【答案】解：，
．
组的人数为人，
补全频数分布直方图如图所示．

设名男生分别记为，，名女生分别记为，，
画出树状图如下：

共有种等可能结果，其中抽选结果恰好是“一男一女”的结果有：，，，，，，，，共种，
抽选结果恰好是“一男一女”的概率为． 

【解析】用组的人数除以频率可求得的值；用分别减去，，，组的频率可得的值；先求出组的人数，再补全频数分布直方图即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽选结果恰好是“一男一女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、频数率分布表，能够理解频数率分布直方图和频数率分布表，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：连接并延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
的长度为． 

【解析】连接并延长交于，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
连接，根据已知条件得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设购进甲，乙两种毛笔每支各需元和元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，元，
答：甲、乙两种毛笔每支各元和元；
先设购进甲毛笔支，总费用为元，根据题意可得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，最小，元，
答：购买这两种毛笔总费用的最小值是元． 

【解析】先设购进甲，乙两种毛笔每支各需元和元，根据用元购买甲种毛笔的数量与用元购买乙种毛笔的数量相等列出方程，求出的值即可；
先设购进甲毛笔支，总费用为元，根据题意列出不等式，解答即可．
本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关系，列出相应的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，有一定的难度．
 

23.【答案】解：如图，连接，作，直线交于点，
则直线为所作；

连接，如图，
点是的内心，
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
设，则，--，
，
：：，
即：：，
解得，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为． 

【解析】连接，作，根据平行线的判定方法可得到；
连接，如图，根据三角形内心的性质得到平分，平分，则可证明，，所以，，设，则，--，根据平行线分线段成比例得到：：，即：：，则可求出，然后证明∽，则利用相似比可求出的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．
 

24.【答案】证明：如图，由旋转的性质，得，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由旋转的性质可得，，
是等腰直角三角形，
，
，
在正方形中，，
，，
，
∽，
，
即，
由证得，
又，
，
，
设，，则，
，
整理得，
，
解得，
即，
，
；
如图，由得≌，
．
又，
，
，
，
平分，
，
，
又，
即．
，
∽，
，
，
设，则，，
舍负，
，
又，，
，
∽，
，
在中，． 

【解析】利用证明≌，即可得出结论；
根据正方形的性质，证明∽，得，设，，则，根据，列出方程，解得，进而解决问题；
说明∽，得 ，即 ，设，则，，从而得出的长，再利用，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．综合性较强，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；

证明：设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去，
则点，
设直线的表达式为：，
当时，如图，

由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，，即点，
则点的坐标为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，
则为定值；
当时，同理可得：为定值；

解：设交于点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

当时，则直线的表达式为：，
则直线和轴负半轴的夹角为，
则，，
则，
设直线和轴交点坐标为：，则的表达式为：，
联立和并解得：，
设点、的横坐标分别为：，，
联立和得：，
则，，
则，
即的最大值为：；
当点在轴下方时，同理可得：的最大值为：；
故的最大值为：． 

【解析】由待定系数法即可求解；
求出点，点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求解；
由，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、根与系数的关系、三角形全等和相似、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．