湖北省黄石市大冶第十中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份湖北省黄石市大冶第十中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共18页。

2022-2023学年湖北省黄石市大冶第十中学八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）以下各数是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
6．（3分）已知正比例函数y＝（2﹣m）x，若y的值随x的增大而减小，则点（m﹣2，2﹣m）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（　　）

A．130° B．125° C．120° D．115°
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝3，AE＝9，则AB的长为（　　）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）化简：＝　 　．
12．（3分）△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 　 　．
13．（3分）若，则a﹣3b的值为　 　．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为 　 　．

15．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝6，则PD＝　 　．

16．（3分）如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是　 　．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算下列各式．
（1）（2）×；
（2）（）（）﹣（）2．
18．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，E、F分别是OA、OC上的点且AE＝CF．求证：BE＝DF．

20．（8分）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12海里到达B岛，然后沿某方向航行16海里到达C岛，最后沿某个方向航行了20海里回到港口A，则该船从B到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．

21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．

22．（10分）受疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对电脑的需求激增．某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的电脑，其中A型号电脑每台的利润为600元，B型号电脑每台的利润为800元．该厂家计划生产两种型号的电脑共100台，其中生产A型号电脑的数量不少于B型号电脑数量的2倍，设生产了A型号电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该厂家生产A型号、B型号电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
23．（10分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是　 　．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．

24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB﹣BA运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD﹣DC运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）用含t的代数式表示线段AP的长．
（2）以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ＝2MQ．
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值．
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围．
（3）点E在边AB上，且AE＝2，在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，直接写出t的取值范围．


2022-2023学年湖北省黄石市大冶第十中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
2． 解：A、＝＝2，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B．
3． 解：对于每个x的值，都有唯一的y值与其对应才是函数，
A、B、D都不符合题意，只有C符合题意．
故选：C．
4． 解：A.+，无法合并，故此选项不合题意；
B.﹣＝3﹣2＝，故此选项符合题意；
C.＝2，故此选项不合题意；
D.÷＝＝2，故此选项不合题意；
故选：B．
5． 解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意；
故选：D．
6． 解：∵正比例函数y＝（2﹣m）x，y随x的增大而减小，
∴2﹣m＜0，
∴m﹣2＞0，
∴点（m﹣2，2﹣m）在第四象限，故D正确．
故选：D．
7． 解：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，∠BAC＝80°，
∴AD⊥BC，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣∠BAC）＝50°，
∴∠ADB＝90°，
∵BE是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABC＝25°，
∴∠AOB＝∠CBO+∠ADB＝115°，
故选：D．
8． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝9，
∴BD＝BE＝9﹣AB．
∵DB2＝AD2+AB2，
∴（9﹣AB）2＝9+AB2，
∴AB＝4，
故选：B．
9． 解：连接BD交AC于点F，

∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∴BF＝DF，∠BFC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
设CF＝x，则AF＝5﹣x，
∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，
∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，
∴x＝，
∴CF＝，
∵CE＝BC，
∴CF＝DE，
∴DE＝．
故选：D．
10． 解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，
∴DH＝，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为．
故选：D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由题意可得：20a3≥0，
∴a≥0，
∴原式＝2a，
故答案为：2a．
12． 解：如图所示，在Rt△ABD中，
∵AB＝，AD＝6，
∴BD＝＝＝18，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝6，
∴CD＝＝＝8，
∴当AD在三角形的内部时，BC＝18+8＝26；
当AD在三角形的外部时，BC＝18﹣8＝10．
∴BC的长是26或10．
故答案为：26或10．

13． 解：∵，
∴a+5＝0，﹣b+1＝0，
解得：a＝﹣5，b＝1，
∴a﹣3b＝﹣5﹣3
＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14． 解：过点D作DE⊥BC于E，
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝5，
则AD＝＝＝3，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝3，即点D到BC的距离为3，
故答案为：3．

15． 解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE＝PD，
∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠BOP＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP，
∴∠BOP＝∠OPC＝30°，
∴PC＝OC＝6，∠PCE＝60°．
∴PE＝OC•sin60°＝3．
∴PE＝PD＝3
故答案为：3．

16． 解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．
∴BB′＝7﹣＜1，故选③．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17． 解：（1）原式＝2+﹣6
＝6+6﹣6
＝6；
（2）原式＝5﹣2﹣（3+2+2）
＝3﹣5﹣2
＝﹣2﹣2．
18． 解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝+1+﹣1＝2；
xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2）2﹣3×2
＝12﹣6
＝6；
（2）由（1）知，x+y＝+1+﹣1＝2；
xy＝（+1）（﹣1）＝3﹣1＝2，
∴
＝
＝
＝
＝
＝4．
19． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF．

20． 解：如图，∵AB＝12海里，BC＝16海里，AC＝20海里，
∴AB2+BC2＝122+162＝400＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
由题知∠1＝32°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠1
＝58°，
∴该船从B到C沿着南偏西58°方向航行．

21． （1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴四边形AEBO为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，
∴OA＝AC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝OE＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．
22． 解：（1）∵A型电脑生产了x台，
∴B型电脑生产了（100﹣x）台，
y＝600x+800（100﹣x）＝﹣200x+80000，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣200x+80000；

（2）由题意得：x≥2（100﹣x），
∴，
∵y＝﹣200x+80000；
∴k＝﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝67时，获利最大，此时当x＝67，100﹣67＝33，
最大利润为：y＝﹣200×67+80000＝66600，
答：当A型电脑生产67台、B型电脑生产33台时，才能使销售总利润最大，最大利润是66600元．
23． 解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．

（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．

（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
24． 解：（1）∵点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，
∴当点P与点B重合时，则2t＝6，解得t＝3；
当点P返回到点A时，则2t＝6×2，解得t＝6，
当0＜t≤3时，AP＝2t，
当3＜t＜6时，AP＝12﹣2t．
（2）①点Q在边AD上，且点M落在CD上，如图1，
∵四边形ABCD和四边形PQMN都是矩形，DQ＝2﹣t，PQ＝2M，
∴∠D＝∠A＝∠PQM＝90°，
∴∠DQM＝∠APQ＝90°﹣∠AQP，
∴△DQM∽△APQ，
∴＝＝＝，，
∴DQ＝AP，
∴2﹣t＝×2t，
解得t＝1.
②当0＜t≤2时，如图1，由①得，当点M在矩形ABCD内部时，0＜t＜1，
当2＜t≤3时，如图2，此时点M不在矩形ABCD内部，
当3＜t≤6时，如图3，点M在CD上，则t﹣2＝12﹣2t，解得t＝；
如图4，点P与点A重合，则t＝6，QD＝6﹣2＝4，
作MG⊥CD于点G，则∠QGM＝∠D＝∠AQM＝90°，
∴∠MQG＝∠QAD＝90°﹣∠AQD，
∴△MQG∽△QAD，
∴＝＝，
∴MG＝QD＝×4＝2，
∴点M恰好落在AB边上，
∴当点M在矩形ABCD内部时，＜t＜6，
综上所述，当点M在矩形ABCD内部时，0＜t＜1或＜t＜6．
（3）以AE为直径作⊙O，则点Q在⊙O外，
当0＜t≤2时，如图5，点P在⊙内或点P与点E重合，则线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
∴0＜2t≤2，解得0＜t≤1；
如图6，PQ与⊙O相切于F，此时线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
连接OF，则PQ⊥OF，OF＝OA＝OE＝1，
∵∠BAD＝90°，AQ＝t，AP＝2t，
∴PQ＝＝＝t，
∵∠OFP＝90°，
∴＝＝tan∠APQ＝＝，
∴OP＝OF，
∴2t﹣1＝，
解得t＝，
当2＜t≤3时，如图2，PQ与⊙O没有公共点，此时线段PQ上不存在一点F，使∠AFE＝90°；
当3＜t≤6时，如图7，点P在⊙O内或点P与点A重合，则线段PQ上只存在一点F，使∠AFE＝90°，
∴0≤12﹣2t＜2，解得5＜t≤6，
综上所述，t的取值范围是0＜t≤1或t＝或5＜t≤6．