2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为(    )

A.
B.
C.
D.

2.  中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列调查中，最适合采用普查的是(    )

A. 对某市居民垃圾分类意识的调查 B. 对某批汽车抗撞击能力的调查
C. 对一批节能灯管使用寿命的调查 D. 对某班学生的身高情况的调查

6.  如图，，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点．下列各值：线段的长；的周长；的面积；直线，之间的离；的大小．其中会随着点的移动发生变化的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  定义新运算：，例如：，，则的图象是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形，，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点若，，则点的横坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  因式分解：______．

10.  若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”或“”或“”

11.  某社区组织、、、小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这个小区的居民随机分成两批，每批个小区的居民接种加强针，则、两个小区都被分在第一批的概率是______．

12.  如图，正五边形的边长为，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为        ．

13.  如图，在中，，，，是中线，是边上一动点，将沿折叠得到，若点不与点重合在的角平分线上，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：；
化简：．

15.  本小题分
王老师任教的班和班均为人，期末数学成绩相关的统计表和统计图如下．

成绩均为整数，满分分，成绩等级分为：优秀分及以上，良好分，合格分，不合格分以下班中“良好”这一组学生的成绩分别是：，，，，，，，，，．
根据以上信息，回答下列问题：
写出班成绩的中位数和优秀率．
成绩是分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？
你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由．

16.  本小题分
已知四边形是平行四边形，．
利用尺规作图作的平分线交于点，在上截取，连接；要求保留作图痕迹，不写作法
求证：四边形是菱形．

17.  本小题分
北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”如图是一场馆内的无障碍坡道，其示意图如图所示，台阶的垂直高度的长为，缓坡的坡角，缓坡的坡角，平台的长为，求的长．结果精确到参考数据：，，，，，
 

18.  本小题分
学校用元购买了、两种树苗共棵进行植树活动已知一棵种树苗是一棵种树苗价格的倍，且购买种树苗与购买种树苗费用相同．
求购买一棵种树苗、一棵种树苗各需多少元？
若学校第二次购买、两种树苗共棵，且第二次购买种树苗的棵数不多于种树苗棵数的倍，问至少要花多少钱？

19.  本小题分
如图，是的直径，为延长线上一点，切于，于点．
求证：；
如果，，求线段的长．

20.  本小题分
小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流与池中心水管的水平距离为米，距地面的高度为米，测量得到如下数值：

小明根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的情况进行了探究．
首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度为        ，可得到关于表达式为        ，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为        ；
如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度，使水流落地点与水管的距离缩短为，请求出降低后的水管高度是多少？

21.  本小题分
在中，，，点是直线上的一动点不与点，重合连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．
【问题发现】
如图，当点是的中点时，线段与的数量关系是______与的位置关系是______．
【猜想论证】
如图，当点在边上且不是的中点时，中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
若，其他条件不变，连接、当是等边三角形时，请直接写出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：从上面看到的形状图为：

故选：．
俯视图是从物体的上面看，所得到的图形，据此解答即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，根据题意得到从上面看到的形状图是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
同位角相等，两直线平行，
故选：．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及完全平方公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：对某市居民垃圾分类意识的调查，普查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.对某批汽车抗撞击能力的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C.对一批节能灯管使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.对某班学生的身高情况的调查，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：．
适合全面调查的方式一般有以下几种：范围较小；精确度高；不具有破坏性；可操作性较强，其他适用抽样调查，结合题中所给的事例，运用抽样调查与全面调查的适用范围即可求解．
本题考查抽样调查与全面调查，正确理解抽样调查与全面调查的适用范围是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，为定点，点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故错误；
、的长度随点的移动而变化，
所以，的周长会随点的移动而变化，故正确；
的长度不变，点到的距离等于与的距离的一半，
的面积不变，故错误；
直线，之间的距离不随点的移动而变化，故错误；
的大小点的移动而变化，故正确．
综上所述，会随点的移动而变化的是．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，从而判断出不变；再根据三角形的周长的定义判断出是变化的；确定出点到的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出不变；根据平行线间的距离相等判断出不变；根据角的定义判断出变化．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据题目中的新定义，可以写出函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】根据题意求出点，，的坐标，然后找出点坐标的变化规律，把的坐标用含的式子表示出来，取，即可求出的横坐标．
解：是等边三角形，，
的横坐标为，，
设，则，
解答或舍，
，
所在的直线的解析式为，
，，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的横坐标为，
，
，
同理： ，
 ，
总结规律：
 的横坐标为，
 的横坐标为，
 的横坐标为，
 的横坐标为，
，
点的横坐标是．
故选：．
本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是根据等边三角形的性质得到点的横坐标为．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
点，同在第三象限，且，
，
故答案为．
反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，判断出的值的大小关系．
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
 

11.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中、两个小区都被分在第一批的结果有种，即、，
、两个小区都被分在第一批的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中、两个小区都被分在第一批的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：在正五边形中，，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，掌握多边形的内角和公式，扇形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在的角平分线上时，
，
，
，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，，
，
是的中点，
，
在中，，
，
；
如图，当点在的角平分线上时，
由折叠知，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论：当点在的角平分线上时，求出；当点在的角平分线上时，求出．
本题考查图形的折叠，熟练掌握图形翻折的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】根据绝对值的定义、零指数幂的意义以及负整数指数幂的运算法则即可求出答案．
根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：班成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据分别为、，
所以其中位数为，优秀率为；

成绩为分的学生在班的名次更好，
班成绩的中位数是，班成绩的中位数是，
成绩为分的学生在班的名次更好；

班，
因为班成绩的中位数和优秀率均高于班． 

【解析】根据中位数的定义和优秀率的概念求解即可；
根据中位数的意义求解即可；
比较中位数和优秀率大小即可得出答案．
本题主要考查频数分布表、频数分布直方图，中位数及众数，解题的关键是根据表格、频数分布直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义的运用．
 

16.【答案】解：如图，为所作；

证明：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
 

17.【答案】
解：作于点，延长交于点，设，则，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得．
答：的长约为米． 

【解析】作于点，延长交于点，设，则，在和中，根据坡角的正切得到的方程，解方程可以求出答案．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：设购买一棵种树苗，购买一棵种树苗分别为元、元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一棵种树苗需要元，购买一棵种树苗需要元；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
设购买两种树苗棵所需总费用为元，则．
，
随的增大而减小，
，且为正整数，
当时，取得最小值为．
答：至少要花元钱． 

【解析】设购买一棵种树苗需要元，根据购买种树苗与购买种树苗费用相同，得到关于的分式方程，即可得到结论；
设购买种树苗棵，则购买种树苗棵，根据购买种树苗的棵数不多于种树苗棵数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买两种树苗棵所需总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

19.【答案】证明：连接，如图，
切于，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为，则，
在中，，
解得，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】连接，如图，根据切线的性质得到，再证明得到，加上，从而得到；
设的半径为，利用勾股定理得到，解方程得到，然后证明∽，则利用相似比可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

20.【答案】     

【解析】解：记水流与池中心水管的水平距离为米，距地面的高度为米，当时，，
水管出水口距地面的高度为；
设抛物线的解析式为，将，，代入得：
，
解得：，
关于的函数表达式为；
，
该抛物线的顶点坐标为，
水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为．
故答案为：；；；
只降低水管出水口距离地面的高度，
设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为，
水流落地点与水管的距离缩短为，
抛物线经过，
，
，
降低水管出水口距离的抛物线的解析式为，
令，则，
降低后的水管高度为米．
观察表格数据可知：当时的值即为水管出水口距地面的高度；利用待定系数法即可求得关于的函数表达式；利用配方法和二次函数的性质解答即可求得水流达到最高点时与池中心水管的水平距离；
由题意设出新的抛物线的解析式为，利用该抛物线经过求得值，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
 

21.【答案】，   

【解析】解：如图中，

，，，
，，
，，
，
点在线段上，
，
，
，
，，
故答案为，．

结论仍然成立：
理由：如图中，延长到，使得，连接，．

，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，，
，．

如图中，当是等边三角形时，过点作于．

，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，设，则，，
，
，
，
，
．
如图中，当是等边三角形时，过点作于．

同法可求：，，
，
综上所述，满足条件的的面积为或．
利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
结论仍然成立：如图中，延长到，使得，连接，证明≌，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
分两种情形：如图中，当是等边三角形时，过点作于如图中，当是等边三角形时，过点作于分别求出，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．