2022年河南省南阳市内乡县中考数学一模试卷（含解析）

2022年河南省南阳市内乡县中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 北京年冬奥会开幕式完美上演，中国以自己的方式，为世界呈现了一场浪漫十足的冰雪盛宴．据官方数据统计，中国大陆地区观看人数约亿人．亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组合而成的立体图形，则它的主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，于，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩万只，实际每天比原计划多生产只，结果提前天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产万只口罩，根据题意可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是

A. 对边平行且相等
B. 对角线相等
C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 对角线互相平分

8. 已知关于的方程，则下列该方程根的判断，正确的是

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定

9. 年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”如图，现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，边长为的正方形，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿的路径向点运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿的路径向点运动，当到达终点时，停止移动，设的面积为，运动时间为秒，则能大致反映与的函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______ ．
12. 不等式组的解集是______．
13. 新冠疫情期间，小李同学连续两周居家健康检测，如图是小李记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，试判断两者之间的大小关系______用“”、“”、“”填空

14. 如图，在扇形中，，点是的中点，点，分别为半径，上的动点若，则周长的最小值为______ ．
    
     

15. 如图，在平行四边形中，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
17. 践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”郑州市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分如图．
    甲校：
    乙校：
    
    请根据乙校的数据补全条形统计图；
    两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格：

请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些．并根据中的数据说明理由；
为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，请你提出一条合理化建议．






 

18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
    ______，点的坐标为______；
    若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，求面积的最大值．
    
     

19. 宝轮寺塔中国四大回音建筑之一，位于三门峡市陕州风景区，始建于隋唐时期，因能发出“呱呱”的声音而俗称“蛤蟆塔”当地某校数学实践活动小组的同学们一起对该塔的高度进行测量．因塔底部无法直接到达，制定了如下的测量方案：先在该塔正前方广场地面处测得塔尖的仰角为，因广场面积有限，无法再向点的正后方移动，故操控无人机飞到点正上方米的处测得塔尖的仰角为，，，，四点在同一个平面内，求塔高为多少米．结果精确到米，参考数据：，，

20. 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程：
    问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．
    问题的证明：只证明劣交角即可
    请将不完整的已知和求证补充完整，并写出证明过程；
    已知：如图，直线与相交于点，，过点作______．
    求证：______．
    结论运用：如图，直线与相交于点，，为的直径，切于点，交的延长线于点，若，，求的半径．提示：要运用上面结论，否则不给分

21. 学校拟购进一批手动喷雾消毒设备，已知个型喷雾器和个型喷雾器共需元；个型喷雾器和个型喷雾器共需元．
    问一个型喷雾器和一个型喷雾器的单价各是多少元？
    学校决定购进两种型号的喷雾器共个，并且要求型喷雾器的数量不能多于型喷雾器的倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由．

22. 如图，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且．
    求抛物线的解析式及对称轴．
    在抛物线上任取一点，过点作轴，且四边形为平行四边形，在线段上任取一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，记点的纵坐标为当点到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 问题发现
    如图，与都是等腰直角三角形，且，直线，交于点，直线，交于点则线段和的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
    类比探究
    如图，在和中，，，直线，交于点，与相交于点若，试判断线段和的数量关系以及直线和相交所成的较小角的度数，并说明理由；
    拓展延伸
    如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值及此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
运用相反数的定义求解即可．
本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟记定义．
 

2.【答案】
 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：该几何体的主视图是

故选：．
找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，无法计算，故此选项错误；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：于，
，
，
，
．

故选：．
根据三角形外角的性质得到的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，同位相等”就可求出的度数．
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是求出．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设原计划每天生产万只口罩，则实际每天生产万只口罩，
根据题意知：．
故选：．
设原计划每天生产万只口罩，则实际每天生产万只口罩，根据“结果提前天完成任务”列出方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先求出“”的值，再根据根的判别式判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

9.【答案】
 

【解析】解：两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为、，正面印有雪容融图案的卡片记为，
根据题意画树状图如下：

共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，
则抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片．
故选：．
画出树状图，共有个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
分三种情况求出解析式，即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，求出分段函数解析式是本题的关键．
【解答】
解：当时，，
该图象随的增大而减小，
当时，，
该图象开口向下，
当，，
该图象开口向下，
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，
小丽第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动，
．
故答案为：．
根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，从而推出．
本题考查是折线统计图和方差的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，如图中虚线表示小丽第一周居家体温，在之间，实线表示小丽第二周居家体温，在之间．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于，如图，
，，
的周长，
此时的周长最小，
点是的中点，
，
点与点关于对称，
，，
同理得，，
，，
而，
，，
，
在中，，
，
，
周长的最小值为．
故答案为．
连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于，如图，利用，得到的周长，根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着证明，，然后计算出即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：作于点，
在▱中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，即可取得最小值，
当时，取得最小值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到的最小值，本题得以解决．
本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

．
 

【解析】先算零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，再算加减；
先通分算括号内的，把除化为乘，分解因式约分即可．
本题考查实数运算及分式化简，解题的关键式掌握实数运算的相关法则及分式基本性质．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：由表格可得，乙校的有人，的有人，
补全条形统计图，如下图．

由条形统计图可得，
甲校数据按照从小到大排列是：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
这组数据的中位数，众数；
故答案为：；；
甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好；
为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，建议在课后多开展中华文化知识活动．
根据表格中的数据可以得到乙校，的和的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
根据表格中的数据将甲校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；
答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；
答案不唯一，理由需支撑推断结论．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：；；
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为；
点为线段上的一个动点，
设，
轴，
，
，
当时，的面积的最大值为．
 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键．
根据待定系数法即可求得的值，根据点的坐标即可求得点的坐标；
根据待定系数法求得直线的解析式，设出、的坐标，然后根据三角形面积公式得到，由二次函数的性质即可求得结论．
【解答】
解：反比例函数的图象经过点，
，
交轴于点，为线段的中点．
；
故答案为，；
见答案．  

19.【答案】解：过点作，垂足为，则四边形是矩形，
米，
由题意可知，，
再中，由于，
，
设米，则米，米，
在中，
由得，，
解得米，
经检验是原方程的解，
即米，
答：塔高约为米．
 

【解析】通过作垂线构造直角三角形，由特殊锐角的三角函数可得，在中，利用锐角三角函数的定义列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

20.【答案】的切线 
 

【解析】解：问题证明：根据题意得已知：如图，直线与相交于点，，过点作的切线．
求证：．
证明：如图，

连接并延长交于，连接，
，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故答案为：的切线，；

结论应用：
如图，

连接，
由问题的证明的结论得，，
，
∽，
，
，
，，
，
，
或舍去，
的半径为．
问题证明：
根据题意得直接写出，连接并延长交于，连接，得出，进而得出，再判断出，即可得出结论；
结论应用：
连接，得出，进而判断出∽，得出，进而，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了材料的理解，切线的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
 

21.【答案】解：设一个型喷雾器和一个型喷雾器的单价分别为元、元，
，
解得，，
即一个型喷雾器和一个型喷雾器的单价分别为元、元；
设购买型喷雾器个，则购买型喷雾器个，需要的费用为元，
，
随的增大而增大，
型喷雾器的数量不能多于型喷雾器的倍，
，
解得，，
当时，取得最小值，此时，
答：最省钱的购买方案是购买型喷雾器个，型喷雾器个．
 

【解析】根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得一个型喷雾器和一个型喷雾器的单价各是多少元；
根据题意，可以得到费用与购买型喷雾器数量的函数关系式，再根据型喷雾器的数量不能多于型喷雾器的倍，可以得到型喷雾器数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

22.【答案】解：点为抛物线与轴的交点，
，
，
又，
，，
，，
将点，的坐标代入抛物线中，
得，解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为．
作平行四边形，如图所示：

，点在点的左侧，
又点到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，抛物线的对称轴为，
，
，
又点在线段上，，
，，
，
又点在抛物线上，
当时，取最大值；当时，取最小值；
．
 

【解析】先根据点为抛物线与轴的交点，得出点的坐标及的长，再根据，得出点和点的坐标，然后用待定系数法求解即可求得解析式，最后根据求得对称轴．
作平行四边形，由平行四边形的性质可得；由点到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，得出的取值范围，从而可得的范围；根据点在线段上，，和的范围，结合点在抛物线上，可得点的纵坐标的取值范围．
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与纵坐标的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象与性质等知识点，数形结合、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：，，
、是等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：，；
，，
∽，
，，
，，
∽，
，，
，
，
，
，
即为最小度数角，，
由旋转得，，，
是等腰直角三角形，
，
将绕点顺时针旋转得与重合，
连接，

≌，
，，
，
当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，
由，，
，，，
，最小值为．
判定与的关系，可以根据角的大小来判定．由可得，进而得≌，所以所以．
根据相似三角形的判定和性质解答即可；
根据旋转的性质和最值解答即可．
此题考查了相似三角形的综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及角之间的关系解答．