2023年河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用纳米米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一次数学测试，某小组名同学的成绩统计如下有两个数据被遮盖：

则被遮盖的两个数据依次是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是(    )

A.
B. 是直角三角形
C.
D.

9.  如图，等腰的斜边在轴的正半轴上，为坐标原点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示．那么平行四边形的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个图象经过点的函数的关系式        ．

12.  关于的不等式组的解集为______ ．

13.  将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是______．

14.  如图，在扇形中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，过点作于点，则图中阴影部分的周长为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，联结，那么线段的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
化简：．

17.  本小题分
每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，．
八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，．

七，八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述图表中，的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防漏水安全知识较好？请说明理由一条理由即可；
该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

18.  本小题分
如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点，点的横坐标与点的纵坐标都是．



求一次函数的表达式；
求的面积；
写出不等式的解集．

19.  本小题分
“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家在自己的北偏东方向，于是沿河边笔直的绿道步行米到达处，这时定位显示小陈家在自己的北偏东方向，如图所示根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头处精确到米参考数据：，，
 

20.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
 

求证：

若，，求的半径．

21.  本小题分
某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多元，用元购买款保温杯的数量与用元购买款保温杯的数量相同．
、两款保温杯的销售单价各是多少元？
由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度喷水头距喷灌架底部的距离是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米．
计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；
如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？
记水流的高度为，此时的斜坡的高度为，请直接写出求的最大值．

23.  本小题分
证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
求证：；
推断：的值为______ ；
类比探究：如图，在矩形中，为常数将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由；
拓展应用：在的条件下，连接，当时，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可得到答案．
本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解： ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了实数的运算，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及公式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
B.主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C.主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
D.主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．
本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角尺，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质，再由等腰直角三角尺的锐角度数都是进行求解即可．
【解答】
解：如图，

，
，
三角形是等腰直角三角尺，
，
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：．
利用根的判别式进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
则丙的得分是分；
众数是，
故选：．
根据平均数的计算公式先求出丙的得分即可得出答案．
考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
∽，
，，
是直角三角形，，，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，通过证明∽，可得，，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线垂直平分是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，如图所示，

由题意得：是的角平分线，是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，点的坐标为，
，，
，
由题意得：，
，
点的坐标为，
故选：．
连接，过点作，根据是等腰直角三角形得到即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图所示，

由图象和题意可得，
，，，
，
直线平行直线，
，
平行四边形的面积是：．
故选：．
根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长和边边上的高的长，从而可以求得平行四边形的面积．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：函数经过点．
故答案为：答案不唯一．
让时，函数值写出一个正比例函数即可．
本题考查了函数关系式，正确掌握函数的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：用树状图表示所有可能出现的情况有：

共有种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有种，
组成强国．
故答案为：．
用树状图表示所有可能出现的情况，进而求出能组成“强国”的概率．
考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的周长．
故答案为：．
根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，可得是等边三角形，然后利用阴影部分的周长，即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，弧长的计算，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
由旋转的性质得：，，，
，
，
在和中，，
≌，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
；
故答案为：．
由旋转的性质得，，，由勾股定理得出，则，证≌，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得，由勾股定理即可得出的长度．
本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先计算平方根、零次幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出答案；
先将括号里的通分，再将后面的除法变乘法，约分即可得出答案．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数，
；
八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下写出其中一条即可：
七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数高于七年级学生成绩的中位数；
七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的众数高于七年级学生成绩的众数；
七年级名学生中，成绩在，两组中有人，八年级名学生中，成绩在，两组中有人，
人，
人．
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人． 

【解析】根据中位数和扇形统计图即可得到结论；
根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

18.【答案】解：一次函数为常数，的图象与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，与轴交于点，点的横坐标与点的纵坐标都是，
，
解得：，
当时，，
故B，，
把，点代入得：
，
解得：，
故直线解析式为：；
，当时，，
故C点坐标为：，
则的面积为：；
由图象得，不等式的解集为：或． 

【解析】根据题意得出，点坐标进而利用待定系数法得出一次函数解析式；
求出一次函数与轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案；
直接利用函数图象结合其交点得出不等式的解集．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出，点坐标是解题关键．
 

19.【答案】解：设米，则米，
在中，
，
米．
在中，
，，
米．
，
解得．
答：小明还需沿绿道继续直走约米才能到达桥头处． 

【解析】根据题意表示出，的长，进而得出方程求出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
，
令，则
，
的半径为． 

【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据角直角三角形的性质即可得到结论．
 

21.【答案】解：设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：、两款保温杯的销售单价分别是元、元；
设购买款保温杯个，则购买款保温杯个，利润为元，
，
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买款保温杯个，款保温杯个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得、两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验；
根据题意可以得到利润与购买款保温杯数量的函数关系，然后根据款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，可以求得款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元．
 

22.【答案】解：由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线的表达式为，
将点代入可得，
抛物线的表达式为，
当时，，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
设喷射架向后平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得或舍去，
答：喷射架应向后移动米．
的最大值为，理由如下：
由题可知点坐标为，
则直线的解析式为，
，
，
当时，取得最大值为，
答：的最大值为； 

【解析】根据当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，再求出当时的函数值，即可得到结论；
设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解．
先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：四边形是正方形，
，．
．
，
．
．
≌，
．
解：结论：．
理由：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
解：结论：．
理由：如图中，作于．

，
，
，，
，
∽，
，
，
四边形是矩形，
，
．
解：如图中，作交的延长线于．

，，
，
，
可以假设，，，
，，
，
，
或舍弃，
，，
：：，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，，
，
．
由正方形的性质得，所以，又知，所以，于是≌，可得证明四边形是平行四边形即可解决问题．
结论：如图中，作于证明：∽即可解决问题．
如图中，作交的延长线于利用相似三角形的性质求出，即可解决问题．
本题考查相似、正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．