2023江苏高考数学仿真模拟卷04（解析版）

2023年高考数学仿真模拟卷04

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。

2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。

3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。

4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合中元素范围，再根据可得实数的取值范围.

【详解】由已知集合，

又，，

，

故选：C.

2．满足条件的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（    ）

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】根据复数模的运算法则求出，再求其共轭复数为，在根据复数的几何意义知其对应的点为，显然在第四象限.

【详解】，

的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是第四象限.

故选：D

3．已知向量的夹角为,且,则等于

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为解得

(其中舍去).

本题选择A选项.

4．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件

【答案】D

【解析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再判断选项.

【详解】构造函数，

恒成立，是单调递增函数，

，即，

，即，

即，

反过来，若，即，

，即.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过条件观察后构造函数，通过判断函数的单调性，比较大小.

5．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】，然后利用指数函数、对数函数的知识求出的范围即可.

【详解】因为，所以

所以

故选：C

6．已知直线和直线平行，且直线过点，则下列等式①，  ②，    ③，  ④中正确的个数有

A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个

【答案】C

【分析】先由平行及直线过点得m,n，再逐项判断即可

【详解】由题知，即，  

由直线过点，则，解得，则m+n=2，

对于①，则①错误，对于②则②正确，

对于③，则③错误，

对于④，则④正确，

故选C.

【点睛】本题考查直线的位置关系，考查对数恒等式，熟记运算性质是关键，是基础题

7．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.

【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示

则，，，，，

设，则，

设平面的法向量为

则，令，得

所以，

由于，，，

，，，

由于，所以

故选：D

8．.如图所示,点F是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于x轴,则的周长的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】从极限位置分析可得正确选项．

【详解】当接近重合时，即向抛物线和圆的交点无限接近时，周长无限接近于8，当无限接近于轴时，周长无限接近于，因此只有B可选．

故选：B．

【点睛】本题考查抛物线和圆相交问题，解题方法是从特殊位置，极限位置入手观察结论．这是我们解选择题或分析问题，解决问题的一种方法．数学上有许多问题都可以这样分析解决．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

9．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（    ）．

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调增

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】BCD

【分析】现根据图像求出函数的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可.

【详解】由图可知，，即，

因，且，故，因此，

又因的图像过点，所以 ，

因，故，因此.

对于选项A，由，得的对称轴为，

故不是函数的对称轴，因此A错；

对于选项B，由，得函数的对称中心为，，

故函数的图像关于点对称，因此B正确；

对于选项C，由，

得函数的单增区间为，，

故函数在区间上单调递增，因此C正确；

对于选项D，由，做出如下图形：

由图可知，函数与的图像在上有4个交点，

则这4个交点的横坐标之和为，故D正确.

故选：BCD.

10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，是直线b上不同的两点的，则以下命题正确（    ）

A． B．

C．，使得 D．设与的夹角为，则.

【答案】BCD

【分析】根据空间向量与空间位置关系一一判断即可；

【详解】解：对于A，当且平面时，满足，故A错误；

对于B：若则，若则，即可得到，故B正确；

对于C：若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；

对于D：设与的夹角为，则，所以，故D正确；

故选：BCD

11．已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度．

【详解】设，则，，，

则，得或，

当时，，此时，

当时，，此时．

故选：AB．

12．下列命题正确的有（    ）

A．函数在其定义域上是增函数；

B．函数是奇函数；

C．函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；

D．若，则

【答案】CD

【分析】根据反比例函数的单调性，可判定A；根据函数的奇偶性的定义，可判定B；根据函数的图象的平移变换，可判定C；根据指数函数的图象与性质，可判定D.

【详解】对于A中，根据反比例函数的性质，可得函数的单调递增区间为，所以函数在其定义域上是增函数是不正确的；

对于B中，由函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以不正确；

对于C中，函数向右平移2个单位，可得，所以是正确的；

对于D中，根据指数函数的图象与性质，若，则，所以是正确的.

故选：CD.

【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性、奇偶性，函数的图象的平移变换，以及指数函数的图象与性质等知识点的应用，属于基础题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．二项式的展开式中常数项为__________．

【答案】

【详解】二项式的展开式的通项公式为.

令,解得，所以二项展开式中常数项为.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

14．现有道四选一的单选题，甲对其中道题有思路，道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．甲从这道题中随机选择题，则甲做对该题的概率是________．

【答案】

【分析】记事件：甲对该题有思路；事件：甲做对该题；根据全概率公式计算即可求得结果.

【详解】记事件：甲对该题有思路；则：甲对该题没有思路；事件：甲做对该题；

则，，，；

.

故答案为：.

15．若点A（cosθ，sinθ）与关于x轴对称，则θ的一个取值为___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】作图，数形结合得到，解之即可.

【详解】解：因为A（cosθ，sinθ）与均在单位圆上，

设圆与x轴交于P､Q两点，A在第二象限，B在第三象限，如图所示：

则∠AOP=θ，∠AOB=，

因为A､B关于x轴对称，所以∠BOP=θ，

所以2θ+=2π，解得θ=，

则符合题意的θ的一个值可以为.

故答案为：（答案不唯一）.

.

16．设函数，若无最大值，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】画出函数和的图象，利用导数分析函数的图象的特征和关系，得到的图象，利用数形结合思想考察图象，得到无最大值的条件，解得的取值范围.

【详解】解：画出函数和的图象，,, 函数和的图象在处相切，由三次函数和一次函数的性质可知，在时,当时，,

令=0，得,

当时，取得极大值为,

结合图象观察可知，当且仅当时函数f(x)没有最大值，

解得，

故答案为：.

【点睛】本题考查利用导函数研究函数的图象和图象间的关系，涉及分段函数，三次函数的性质，关键是数形结合思想的运用，属中高档题.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知函数．

（1）求的单调增区间；

（2）求在区间上的最小值；

（3）如果在上有两个解，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】应用两角和正弦公式、二倍角正余弦公式可得，（1）根据正弦函数的单调增区间有即可求的单调增区间；（2）由题设，求的值域范围，即可知最小值；（3）由正弦函数的对称性，结合给定区间知上存在两个解，即可求的范围．

【详解】.

（1），则，

∴的单调增区间为.

（2）由题设，，故，

∴当时，最小值为.

（3）根据正弦函数的性质知：上会存在两个解，

∴.

18．某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.

(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；

(2)该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？

【答案】(1)400，390

(2)8100（人）

【分析】（1）该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，由此能求出求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数．

（2） 9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，由此能求出该地区9月份流感病毒的新感染者人数．

(1)

解：由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，

构成一个首项，公差的等差数列，

所以9月10日的新感染者人数为（人，

所以9月11日的新感染者人数为（人；

(2)

解：9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：（人，

9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，

所以后20天新感染者人数和为（人，

所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有人．

19．如图1，在等腰梯形中，分别是的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线折起，使得点和点重合，记为点，如图2．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）根据正方形的性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】解：（1）因为分别是的两个三等分点，

所以四边形是正方形；

所以，

又因为，且，平面，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（2）过作于，过作的平行线交于，

则面，

又所在直线两两垂直，

故以它们所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

易知，

所以，

设平面的法向量为，

则，

取，则

同理，

设平面的法向量为，

则，

取，则，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的大小为.

20．二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：

如图是z关于x的折线图：

（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z和x的关系，请用相关系数r加以说明（注：若相关系数︱r︱0.75，则认为两个变量相关程度较强）；

（2）求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（小数点后面保留两位有效数字）；

（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号的二手车时车辆的使用年限不得超过多少年？

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

参考数据：

【答案】（1）与的线性相关程度很高；（2），1.46万元；（3）11年.

【分析】（1）由表格数据，求出，再把参考数据代入公式，求出相关系数，即得答案；

（2）根据参考公式求出关于的线性回归方程，又，可求出y关于x的回归方程，把代入，求出答案；

（3）令，解不等式即得.

【详解】（1）由题意，知，    

，    

又， ， ，

∴，

∴与的相关系数大约为－0.99，说明与的线性相关程度很高

（2） ，

∴，

∴与的线性回归方程是，    

又，∴关于的回归方程是.

令，

得，∵，∴，

即预测某辆型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元

（3）当，

即时，

则有， 解得，

因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年

【点睛】本题考查回归方程的实际应用，属于中档题.

21．椭圆的离心率为，且椭圆经过点．直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点代入椭圆标准方程，结合离心率和关系式即可求解；

（2）联立直线与椭圆方程，得出关于的一元二次方程，写出韦达定理，结合中点在上求出与关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出，结合二次函数性质可求最值.

(1)

椭圆的离心率为，且椭圆经过点，

，所以

所以椭圆的标准方程为．

(2)

由得，

，

设，则，

线段的中点为，，，

又点在抛物线上，，

所以或，

当时，三点共线（舍去），

又

点到直线的距离，，

，

当时，的面积取得最大值，此时，

所以面积的最大值为1，此时直线的方程为．

22．已知函数（，，是自然对数的底数）．

（1）若函数在点处的切线方程为，试确定函数的单调区间；

（2）当，时，若对于任意，都有恒成立，求实数的最小值．

【答案】（1）函数的单调增区间为；，单调减区间为：，；（2）.

【分析】（1）先求出导数，再根据题意建立方程组并求出、，接着求出的解析式，最后利用导数求函数的单调区间；

（2）先将条件“对于任意，都有恒成立”转化为“对于任意，都有”，再利用导数求函数的最大值，最后求出实数的取值范围与最小值

【详解】解：（1）因为，所以，

因为函数在点处的切线方程为，

所以，即，解的，

所以，

令，即，解得；令，即，解得；

所以函数的单调增区间为；，单调减区间为：，

（2）当时，则

则“对于任意，都有恒成立”等价于“对于任意，都有恒成立”等价于“对于任意，都有恒成立”等价于“对于任意，都有”，

令，则

令，则，

所以在上单调递增，

因为，

则在存在唯一的零点，

则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；

则函数的最大值为、中较大的一个，

因为，所以

则实数的最小值为：

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求参数、利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题并求参数，还考查了转化的数学思维方式，是偏难题.