2022-2023学年上海市青浦区东方中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市青浦区东方中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共6小题，共18分）

1.  下列说法正确的是(    )

A. 是二项方程 B. 是分式方程
C. 是无理方程 D. 是二元二次方程

2.  下列方程中，有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D. ．

3.  下列函数中，在每一象限内，的值随的值增大而减小的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某商场计划销售一批运动衣，能获得利润元经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润元，但可多销售套，结果总利润比计划多元求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣套，原计划每套运动衣的利润是元可列方程组为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，、是高，点、分别是、的中点，则下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 平分

6.  在下列各原命题中，逆命题为假命题的是(    )

A. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D. 关于某一条直线对称的两个三角形全等

二、填空题（本题共12小题，共24分）

7.  直线与直线平行，则 ______ ．

8.  用换元法解方程，若设，则原方程可化成关于的整式方程为______ ．

9.  关于的方程有解，则的取值范围是______．

10.  方程的解是______ ．

11.  有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是元，降价两次后的售价是元，若每次下降的百分率是，由题意列出关于的方程：______．

12.  函数的图象过点及点和，则当时， ______ 填“”，“”或“”

13.  解关于的方程有增根，则的值为______ ．

14.  经过定点，的圆的圆心的轨迹是______ ．

15.  点，两点间的距离等于，则 ______ ．

16.  如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为，那么这个直角三角形的较小的内角是______

17.  如图，点是的平分线上的一点，过点作交于点，，若，，则 ______ ．

18.  已知两块相同的三角板如图所示摆放，点、、在同一直线上，，，，将绕点顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一条边与平行，那么此时的面积是______ ．

三、解答题（本题共8小题，共58分）

19.  解方程：．

20.  解方程：

21.  解方程组：．

22.  小李家离某书店千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度．

23.  如图中的图象折线描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：
汽车共行驶了______ 千米；
汽车在行驶途中停留了______ 小时；
汽车自出发后点到小时之间行驶的速度是______ 千米小时；求出此时汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系式写出解题过程．

24.  已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，．
求证：≌；
求证：．

25.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
连接、，求三角形的面积．
连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由．

26.  已知：如图，在中，，，，点是边的中点点是射线上的一动点点不与点重合点在的延长线上，且，，垂足为点，交边于点．
求证：；
当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并指出函数的定义域；
当时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程，所以选项的说法错误；
B、为一元一次方程，所以选项的说法错误；
C、是无理方程，所以选项的说法正确；
D、是分式方程，所以选项错误．
故选：．
利用一元二次方程的定义对进行判断；根据一元一次方程的定义对进行判断；根据无理方程的定义对进行判断；根据分式方程的定义对进行判断．
本题考查了方程的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B.，
方程两边都乘，得，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C.，
算术平方根是非负数，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D.，
，
，
即方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：．
根据根的判别式即可判断选项A；方程两边乘得出，即可判断选项B；根据算术平方根的非负性即可判断选项C；求出方程的解，即可判断选项D．
本题考查了根的判别式，解分式方程，解无理方程，解高次方程等知识点，能熟记根的判别式的内容、把分式方程转化成整式方程、能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项中的一次函数解析式值是正数，随的增大而增大，选项中的反比例函数解析式值是负数，随的增大而增大，
选项中，随的增大而减小．
故选：．
根据反比例函数和一次函数的性质选项即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：按原价销售，能获得利润元，
；
降低售价后，每套运动衣少获利润元，但可多销售套，结果总利润比计划多元，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
利用总利润每套的销售利润销售数量，结合降价前后可获得的利润，可得出关于，的二元二次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元二次方程组，找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质判断即可．
【解答】
解：、是高，点是的中点，
，，
，A正确，不符合题意；
，是的中点，
，B正确，不符合题意；
的度数不确定，C错误，符合题意；
，是的中点，
平分，D正确，不符合题意．  

6.【答案】 

【解析】解：、逆命题为到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，此逆命题为真命题；
B、逆命题为如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形，此逆命题为真命题；
C、逆命题为三边对应相等的三角形全等，此逆命题为真命题；
D、逆命题为两个全等三角形关于某直线对称，此逆命题为假命题．
故选：．
分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据线段垂直平分线定理、圆周角定理的推论、全等三角形的判定和轴对称的定义进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
 

7.【答案】 

【解析】解：与直线平行，
，
故答案为：．
两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解．
本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等．
 

8.【答案】或写成 

【解析】解：把代入原方程得：，
方程两边同乘以得：．
方程的两个部分具备倒数关系，若设，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于的分式方程．去分母即可．
换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程有解，
，即，
故答案为：．
将方程整理为，根据方程有解可得，据此可得．
本题主要考查一元一次方程的解，理解方程有解的条件是关键
 

10.【答案】，． 

【解析】解：，
，，
，．
故答案为，．
根据因式分解法直接解答．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
利用经过两次降价后的售价原售价每次下降的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数的图象过点，
，
．
，
随的增大而减小，
又点，均在一次函数的图象上，且，
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得，
方程有增根，
增根使最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故答案为：．
有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
本题考查了分式方程的增根，掌握增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根是关键．
 

14.【答案】线段的垂直平分线 

【解析】解：过定点，的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线．
故答案为：线段的垂直平分线．
根据线段垂直平分线的性质即可解决问题．
本题考查了轨迹，线段垂直平分线的性质，圆的相关概念，解决本题的关键是理解轨迹定义．
 

15.【答案】或 

【解析】解：点，两点间的距离等于，
，
化简得，
解得，，
的值为或．
故答案为：或．
根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可求出．
本题主要考查了两点间的距离公式，把求两点间的距离转化为直角三角形问题解决是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，是斜边上的中线，
，
，
斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，
，
解得，
另一个锐角，
这个直角三角形的较小内角的度数为．
故答案为：．
作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，如图，先利用角平分线的性质得到，，再利用平行线的性质证明得到，然后利用含度的直角三角形三边的关系．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图，当时，过点作延长线于点，

根据题意可知：，，
，
，
，
，
，
，
的面积；
如图，当时，过点作延长线于点，

，
，
，
，
的面积．
综上所述：的面积是或．
故答案为：或．
分两种情况画图讨论：如图，当时，如图，当时，利用含度角的直角三角形即可解决问题．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含度角的直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．
 

19.【答案】解：方程两边都乘，得
，
整理得，
解得或．
检验：当时，，是增根，舍去．
当时，，是原方程的解． 

【解析】由于，所以本题的最简公分母是方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
需注意：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．
 

20.【答案】解：将原方程变形为：
，
设分，
原方程化为，
解得，分．
当时，，得，
当时，无解．
检验：把代入原方程，适合．
原方程的解是分 

【解析】此方程可用换元法求解，设先求，再求，结果需检验．
在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．
 

21.【答案】解：，
由，得，
或．
原方程组可化为或．
解方程组，得；
解方程组，得．
原方程组的解为：，． 

【解析】利用因式分解的办法先把组中的方程化为两个一次方程，再和构成新的方程组，求解即可．
本题考查了高次方程，掌握转化的思想方法是解决本题的关键．另解决本题亦可变形组中的方程，代入，把方程组转化为一元二次方程求解．
 

22.【答案】解：设小李去书店时的速度为每小时千米，根据题意得：
，
解得：或舍去．
经检验是原方程的根且符合题意
答：小李去书店时的速度为千米小时． 

【解析】设小李去书店时的速度为每小时千米，根据小李家离某书店千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了千米，结果返回时多用了小时，可列方程求解．
本题考查分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解．
 

23.【答案】     

【解析】解：由图可知，汽车共行驶了千米，
故答案为：；
由图可知，汽车在行驶途中停留了小时，
故答案为：；
汽车自出发后点到小时之间行驶的速度是千米小时，
此时汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系式是，
故答案为：．
由图可得汽车共行驶了千米；
由图可知，汽车在行驶途中停留了小时；
路程除以时间可得出发后点到小时之间行驶的速度，此时汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系式是．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，从函数图象中获取有用的信息．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
，点为的中点，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】由，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌；
由点为的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得，而，，即可推导出，则，所以，由等腰直角三角形的性质得，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：把代入得：，
，
把代入得：，
，
把，代入得：，
解得：，，
，
答：反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是．

设交轴于，
，
当时，，
，
，
的面积是，
答：三角形的面积是．

当时，的坐标是；
当时，的坐标是；
当时，的坐标是；
答：在轴的正半轴上存在点，使是等腰三角形，所有符合条件的点的坐标是或或． 

【解析】把的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把的坐标代入解析式，求出的坐标，把、的坐标代入，能求出一次函数的解析式；
求出与轴的交点坐标，求出和的面积即可；
符合条件的有个，，，根据的坐标求出即可．
本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，分类讨论思想的运用．
 

26.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
；
解：连接，
≌，
，
，，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，，
，即，
整理得，；
解：当点在线段上时，，即，
，
解得，，即，
当点在线段的延长线上时，如图，连接，，
由得，，
，
，即，
解得，，
综上所述，当时，的长为或． 

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明；
连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关系式，得到答案；
分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据的结论，勾股定理计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．