上海市青浦区东方中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年上海市青浦区东方中学八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在下列各式中，二次根式的有理化因式是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列多项式，在实数范围内一定可以分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各图象中，不能表示是的函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若点、都在反比例函数的图象上，则有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）

7. 计算：______．
8. 计算：______．
9. 化简：______．
10. 函数的定义域为______．
11. 如果，那么______．
12. 一元二次方程的根的判别式的值是______．
13. 解方程：的根是______．
14. 已知，变量、满足，用的代数式表示得______．
15. 点在正比例函数图象上，则随着的增大而______．
16. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______．
17. 某种产品原来每台售价元，经过两次降价后，现在每台的售价比原来减少了，假设两次降价的百分率均相同，则降价率为______．
18. 如图，的边在轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点、，连接，已知，的面积为，若，直线的函数解析式为______．

三、解答题（本大题共10小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    解方程：．
21. 本小题分
    用配方法解方程：．
22. 本小题分
    解不等式：
23. 本小题分
    在实数范围内因式分解：．
24. 本小题分
    先化简再求值：，其中，．
25. 本小题分
    如图，利用米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇米宽的门，总共用去篱笆米，为了使这个长方形的面积为平方米，求和的长．

26. 本小题分
    若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
    求的值；
    反比例函数图象过点其中，求的值．
27. 本小题分
    已知：，并且与成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求：
    求与之间的函数解析式；
    求当时的函数值．
28. 本小题分
    如图，为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为．
    联结，当时，求反比例函数的解析式；
    联结，若，轴上是否存在点，使得，若存在，求出的坐标：若不存在，说明理由，
    点在直线上，且，过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若的面积为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
二次根式的有理化因式是：．
故选：．
直接利用有理化因式的定义得出答案．
此题主要考查了有理化因式的定义，正确把握有理化因式的定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C.，，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程整理可得，是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的概念判断即可．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：：，
，
，
．
不能在实数范围内分解因式．
故A错．
：，
，
．
能在实数范围内分解因式．
故B正确．
：，
，
，
不能在实数范围内分解因式．
故C错．
：，
，
，
的值不定，的符号不确定，
故不能判断能否在实数范围内分解因式．
故D不一定．
故答案为：．
二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．，能分解因式；，不能分解因式．
本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
，
，
，
．
故选C．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出，，的大小．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
先化简二次根式，再计算加法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

10.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
；
故答案为：．
根据函数的定义，将代入进行计算即可．
此题考查了函数值．
当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，此题得解．
本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】解：移项得：，
开方得：，
解得：，．
故答案为：，．
移项，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据等式的性质进行化简即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
 

15.【答案】减小 

【解析】解：把代入得：，
，
随的增大而减小．
故答案为：减小．
把代入求出，根据议程函数的性质即可求出答案．
本题主要考查对解一元一次方程，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据一次函数的性质进行说理是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，
．
故答案为：．
对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内，由此解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，应注意中的取值．
 

17.【答案】 

【解析】解：设降价率为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设降价率为，由题意：经过两次降价后，现在每台的售价比原来减少了，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过作于，
，的面积为．
，，
即，
又，
，
反比例函数为，
，
，
又为的中点，
为的中点，
的面积为．
设，则点，
，
，
，
即，
设的表达式为，则
，即，
直线的函数表达式为
故答案为：
连接，过作于，依据，即可得到，即可得到反比例函数为，设，则点，，依据的面积为，可得，即可得出，进而得到直线的函数表达式为
本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简各二次根式，再进一步计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：，
整理得：，
，
或，
，． 

【解析】先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：不等式，
移项得：，
合并得：，
解得：． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

23.【答案】解：




． 

【解析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：原式

，
当，时，
原式． 

【解析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把、化简，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
 

25.【答案】解：设为米，则为米，
，
解得：，，
当时，
不合题意，舍去，
当时，
．
答：的长为米，的长为米． 

【解析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键．
 

26.【答案】解：和是关于的方程的两个不相等实数根，
，
解得，
，
，
是非负整数，
；
原方程化为，
，
反比例函数图象过点其中，
． 

【解析】根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得，求出的取值范围，再根据，是非负整数即可确定的值；
根据根与系数的关系可得，进一步可得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

27.【答案】解：设，，
则，
根据题意得：，
解得：，
则函数解析式是：；
当时，． 

【解析】设，，则，然后利用待定系数法即可求得；
把代入求得函数解析式求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．
 

28.【答案】解：，轴，
，
，
反比例函数的解析式为；
存在，理由如下：
，
，，
，
，
，
，
；
当点在点右侧，如图，
设，
，
，
轴，
，
的面积为，
，解得；
当点在点左侧，
设，
，
，
轴，
，
的面积为，
，解得；
综上所述，的值为或． 

【解析】根据反比例函数系数的几何意义即可求解；
求得，即可求得从而求得点；
当点在点右侧，如图，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到；当点在点左侧，设，则可表示出，，利用三角形面积公式得到，然后分别解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．