寻甸回族彝族自治县民族中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

寻甸回族彝族自治县民族中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有(   )

A.种     B.种     C.9种     D.20种

2、的展开式中的系数是(   )

A.40     B.80     C.10     D.60

3、下列说法正确的是(   )

A.数列与是相同的

B.数列2,4,6,8可以表示为

C.数列0,1,2,3与2,3,0,1是相同的数列

D.数列的第k项为

4、已知函数在处的导数为3，则(   )

A.3     B.     C.6     D.

5、在等差数列中，已知，则该数列前11项的和为(   )

A.44     B.88     C.99     D.110

6、函数的单调递减区间是(   )

A.      B.

C.      D.

7、曲线在点处的切线l与抛物线相切，则(   )

A.     B.     C.     D.

8、已知，若，则(   )

A.-1     B.1     C.-8088     D.8088

二、多项选择题

9、若，则m的值可以是(   )

A.3     B.4     C.5     D.6

10、对于的二项展开式，下列说法正确的有(   )

A.二项展开式共有11个不同的项

B.二项展开式的第5项为

C.二项展开式的各项系数之和为0

D.二项展开式中系数最大的项为第6项

11、在等比数列中，已知，其前n项和为，则下列说法中正确的是(   )

A.      B.

C.      D.

12、已知函数，则(   )

A.的极值点为    B.的极大值为

C.的最大值为     D.只有1个零点

三、填空题

13、从0,1,2,3,4中任取3个不同数字组成一个三位数，则能组成__________个不同的三位数.（用数字作答）

14、已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________.

15、在数列,中，，且，记数列的前n项和为，且，则数列的最小值为__________.

16、已知函数有三个零点，则实数a的取值范围为__________.

四、解答题

17、已知等差数列的前n项和为,,.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

18、在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，且的周长为6.

（1）证明：；

（2）求面积的最大值.

19、已知函数的图象过点，且.

（1）求a,b的值；

（2）求曲线在点处的切线方程.

20、如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，,,.点E是棱PC的中点.

（1）证明：；

（2）求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.

21、已知椭圆过点,.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点P是圆上的一点，过点P作圆O的切线交椭圆C于A两点，证明：以AB为直径的圆过原点O.

22、已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，证明：.

参考答案

1、答案：B

解析：将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法，故选B.

2、答案：A

解析：因为，所以展开式中的系数是40.

3、答案：D

解析：对于A，数列与是不同的，表示数列,,，,,而表示数列中的第n项，故A错误；

对于B，是一个集合，故B错误；

对于C，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C错误；

对于D，，故D正确.故选D.

4、答案：B

解析：函数在处的导数为3，.故选B.

5、答案：B

解析：由等差数列的性质可知，，故前11项的和为.

6、答案：D

解析：函数的定义域是，

令，解得，故函数在上单调递减.故选D.

7、答案：C

解析：由，切线l的方程为，联立方程，消去y后整理为，有，得.

8、答案：C

解析：已知常数项，令，则，

所以，所以，的展开式的通项为，令，

则.

9、答案：BC

解析：因为，所以或，解得或5.故选BC.

10、答案：AC

解析：由二项式定理，可知A正确；

因为的二项展开式的第5项为，所以B不正确；

令，可得的二项展开式的各项系数之和为0，所以C正确；

因为的二项展开式中第6的系数为负，所以D不正确.故选：AC.

11、答案：BC

解析：，，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选BC.

12、答案：BCD 

解析：因为，且，所以当时，为增函数，

当时，为减函数，所以为函数的极大值点，

为的极大值，且为的最大值，所以A不正确，BC正确；

因为，且当时，，当时，，

所以D正确.故选：BCD.

13、答案：100

解析：由题意知，有个.

14、答案：

解析：因为，，.故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.

15、答案：

解析：因为，所以为等差数列，又，设的公差为d，所以，解得，所以，当时，，,

则，令数列时，得

当1时，,时，,最小值为.

16、答案：

解析：即曲线与曲线有三个不同的交点，

作图可知，a的取值范围应为，且时，两曲线相切于上的某一处，此时，，且，解得，即.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）设的公差为d，所以

解得

所以；

（2）由（1）知，，

所以

.

18、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）因为，且，

所以，

展开整理得，命题得证；

（2）因为，所以，

所以或，即或，

又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，

所以，

即面积的最大值为.

19、答案：(1) ,

(2)

解析：（1）因为函数的图象过点，所以.

又，

所以，

所以,.

（2）由（1）知，

又因为，

所以曲线在处的切线方程为，即.

20、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）证明：连接AC.在菱形ABCD中，，所以.

在中，，所以，所以.

在中，，,所以，所以.

又,AC,平面ABCD，所以平面ABCD.

又平面ABCD，所以；

因为四边形ABCD是菱形，所以.又,,平面PAC，所以平面PAC.又平面PAC，所以；

（2）记，以O为坐标原点，OB,OC,OE所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则,,,,.

所以,.

设平面BAP的一个法向量为.

则即令，，解得，

所以平面BAP的一个法向量为.

因为E是PC的中点，所以，

所以，

又.设平面BDE的一个法向量为.

则即令，解得，

所以平面BDE的一个法向量为.

所以，即平面PAB与平面BDE所成角的余弦值为.

21、答案：(1)

(2) AB为直径的圆过原点O

解析：（1）由题意知

解得，

所以椭圆C的标准方程是；

（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为或.

若直线AB的方程为，不妨设，

所以，所以；

若直线AB的方程为，不妨设，

所以，所以；

当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为，

又直线AB与圆O相切，所以，即.

设，

由

得，

所以，

所以

，所以.

综上，所以AB为直径的圆过原点O.

22、答案：(1) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

(2)见解析

解析：（1），

若，所以在上单调递增，在上单调递减；

若，令，解得（舍）或，

所以在上单调递增，在上单调递减；

若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

（2）证明：若，要证，即证，即证.

令函数，则.

令，得；令，得.

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

令函数，则.

当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

因为，所以，

即，从而得证.