2021云南省寻甸县民族中学高二下学期期末数学试题含答案

数学试卷

（全卷三个大题，共23个小题，共7页；满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．

3．考试结束后，请将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

 A． B． C． D．

2．复数的共轭复数的虚部为（    ）

 A． B． C． D．

3．已知向量，，且，则（    ）

 A． B． C． D．

4．若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知，，，则（    ）

 A．  B．      C．      D．

6．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且

随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（    ）（参考数据）

 A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟

7．执行如图的程序框图，则输出的结果是（    ）

 A． 

 B．

 C． 

 D．

8．设函数的最小正周期为．且过点．则下列说法正确的是（    ）

 A．

 B．在上单调递增

 C．的图象关于点对称

 D．把函数向右平移个单位得到的解析式是

9．函数的大致图象是（    ）

               A．                                       B．

               C．                                        D．

10．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（    ）

 A．2 B． C． D．

11．已知在三棱锥中，平面，，，且三棱

    锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

 A． B． C． D．

12．若曲线在点处的切线与直线

平行，且对任意的，不等式

恒成立，则实数m的最大值为（       ）

 A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的二项展开式中，含的项的系数是_______．（用数字作答）

14．设变量，满足，则目标函数的最小值为______．

15．圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为________．

16．已知数列的首项，其前项和满足，则______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，每题12分．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，每题10分．

（一）必考题：共60分，每题12分．

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）若的面积是，，求b．

18．“云课堂”是基于云计算技术的一种高效､便捷､实时互动的远程教学课堂形式使用者只需要通过互联网界面，进行简单的操作，可快速高效地与全球各地学生､教师家长等不同用户同步分享语音､视频及数据文件随着计算机虚拟技术的不断成熟和虚拟技术操作更接近于大众化，虚拟课堂在各大院校以及企业大学中的应用更广泛､更灵活､智能，对现今教育体制改革和职业人才培养起到很大的推动作用某大学采取线上“云课堂”和线下面授的形式授课.现为调查学生成绩获得优秀与否与每天“云课堂”学习时长是否有关，随机抽取学生样本50人进行学习时长统计，并按学生每天“云课堂”学习时长是否超过6小时分为两类，得到如下列联表.

已知在50人中随机抽取一人，是优秀且每天“云课堂”学习时长超过6小时的概率为0.4.

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）.

（2）是否有99.5%的把握认为学生成绩获得优秀与否与每天“云课堂”学习时长有关？

（3）该校通过“云课堂”学习的学生，在期末测试时被要求现场完成答题，每答对一道题积2分，答错积0分，每人有3次答题机会（假设每个人都答完3道题）.已知甲同学每道题答对的概率为，3道题之间答对与否互不影响，设甲同学期末测试得分为，求的数学期望.（附：，其中.）

参考数据：

19．如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，

   ，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．已知椭圆C：的离心率为，且C经过点．

（1）求C的方程；

（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若的面积为，求l的斜率．

21．已知函数（）.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意都有恒成立，求的最大整数值.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

    在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于､两点（在轴上方），求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

    已知函数.

（1）求不等式f（x）≤2的解集M；

（2）当x∈M时，，求实数a的取值范围.

数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C    

2．【答案】B     

3．【答案】A  

4．【答案】B   

5．【答案】D   

6．【答案】B  

7．【答案】D

8．【答案】D   

9．【答案】C   

10．【答案】C   

11．【答案】A     

12．【答案】C     

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】240    

【详解】根据二项式定理,的通项为，

当时,即时,可得.  即项的系数为.  故答案为：.

14．【答案】

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，

将化为，则根据图形

可得当直线经过点时，取得最小值，

联立方程，解得，

则.故答案为：.

15．【答案】

【详解】圆及分别以和为圆心，半径都是1.连接OC，可知阴影部分由分别以为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，阴影部分的面积为,

正方形的面积为，

所以质点落在阴影部分区域的概率为,

故答案为：.

16．【答案】

【详解】由题知，，则.

两式做差得. 整理得.

所以{ }是以为首项，-1为公比的等比数列.

.  故答案为

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，每题12分．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，每题10分．

（一）必考题：共60分，每题12分．

17．【答案】（1）；（2）2.

【详解】解：（1）由，得，

得，得，

由正弦定理得，

因为，所以，所以，因为，所以．

（2）若的面积是，

则，解得，所以．

由余弦定理，可得，

所以．

18．【答案】（1）列联表答案见解析；（2）有99.5%的把握认为学生成绩获得优秀与否与每天“云课堂”学习时长有关；（3）.

【详解】（1）完成列联表如下

（2），

     所以有99.5%的把握认为学生成绩获得优秀与否与每天“云课堂”学习时长有关.

（3）甲同学期末测试得分的可能取值为0，2，4，6，

则，

，

，

，

所以随机变量的分布列为

    所以.

19．【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以.

如图，取的中点，连接，，则，.

因为四边形为正方形，所以，.

所以，，

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面

（2）连接.因为，所以.

又为的中点，所以，且由勾股定理可得.

以的中点为坐标原点，在平面内过点作垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，

则令，则，，所以.

设平面的法向量为，

则令，

则，，所以.

所以.

由图可知二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.

20．【答案】（1）；（2）1或．

【详解】解：（1）由题意可得，解得，

  ∴椭圆C的方程为：．

（2）由（1）可知，设直线l的方程为，

则点A到直线l的距离，

联立方程，消去x得：，

设，∴，，

∴

∴，

∴，∴，∴直线l的方程为：或，

∴直线l的斜率为1或．

21．【答案】（1）；（2）2.

【详解】（1），则，

所以，，则，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）对任意都有恒成立，即，

因为，所以，所以=x+，

令g（x）=x+（x>0），则只需即可，

，

令（），则恒成立，

所以在上单调递增，因为，，

所以存在唯一一个使得，

所以当时，，，当时，，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，由得，

所以，

故的最大整数值为2.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．

22．【答案】（1）；；（2）.

【详解】（1），两式作差可得；

    ，所以

（2）直线的一个参数方程为(为参数)

代入到中得

设､对应的参数分别为､

则，

23．【答案】（1）；（2）(0，1).

【详解】

    解：（1）当时，；

当时，由，得.

综上所述，不等式的解集M为

（2）由（1）得，当时，，那么，从而可得，

     解得，，即实数a的取值范围是(0，1).