2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列事件是必然事件的是

A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上
B. 打开电视频道，正在播放今日在线
C. 射击运动员射击一次，命中十环
D. 方程必有实数根

3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是

A. 开口向下 B. 对称轴是
C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点

4. 某反比例函数的图象经过点，则该图象一定不经过点

A.  B.  C.  D.

5. Rt ABC中，，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定

6. 下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是

A.  B.  C.  D.

7. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知CD为圆O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若角，则角C的度数是

A.
B.
C.
D.
 

9. ，函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是

A.  B.  C.  D.

10. 把一副三角板如图放置，其中，斜边把三角板DCE绕着点C顺时针旋转得到如图，此时AB与交于点O，则线段的长度为

A.  B.  C.  D. 4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 如图，在中，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则______
    
     

12. 已知方程的一个根是1，则它的另一个根是______．
13. 袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有______个
14. 如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为，则圆锥的侧面积为______．
    
    
     

15. 如图 点在反比例函数的图象上，当时，y的取值范围是______．
    
    
    
    
     

16. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：
    
    
    
    若、为函数图象上的两点，则 
    当时，，
    其中正确的结论是填写代表正确结论的序号______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 如图，过点 作x轴的垂线，交反比例函数 大于零的图象交于点M，
    已知三角形AOM的面积为3．
    求k的值；
    说点B的坐标为，若以AB为一边的正方形ABCD有顶点在该反比例函数的图象上，求t的值．
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 解方程：；
    若方程的两根分别为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，若等腰三角形ABC中，是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证：AC与圆O相切．
    
    
    
    
     

20. 如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若绕点O逆时针旋转后，得到和是对应点 
    写出点的坐标；
    求旋转过程中边OB扫过的面积结果保留．

21. 摸球活动：在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，此活动回答以下问题
    求“两次取的小球标号相同”这个事件的概率；
    设计一个概率为的事件，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨万元，根据市场调查，这种水果在北方市场上的销售量为 吨，销售价  万元之间的函数关系为
    当每吨销售价为多少万元时，销售利润为 万元？
    填空 当每吨销售价为______万元时，可得最大利润为______万元．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知点D在双曲线大于零  的图象上，以D为圆心的圆D与y轴相切于点C ，与x轴交于A、B两点
    求点D的坐标；
    求点A和点B的坐标．
    
    
     

24. 如图，已知二次函数 的图象过点 和，与x轴的另一个交点为D．
    求该二次函数的解析式； 
    求三角形BDC的面积．

25. 已知抛物线的顶点为D，且经过；两点，
    将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为，顶点为D．
    求新抛物线的解析式；
    若点N在新抛物线上，满足三角形的面积是三角形面积的2倍，求点N坐标．

答案和解析

【答案】

1. A 2. D 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C
8. B 9. D 10. A 

11.   

12. 3  

13. 2  

14.   

15. 或  

16.   

17. 解：根据题意得，
而，
；
四边形ABCD为正方形，
点B在点A的右侧，
而，
，
当在反比例函数图象上时，则，解得；
当在反比例函数图象上时，则，整理得，解得舍去；
综上所述，t的值为3或7．  

18. 解：
移项可得，
两边加16可得，
配方可得，
两边开方可得，
或；
由根与系数的关系可得，
．  

19. 证明：连接OD，过点O作于E点，
则，
切于D，
，
，
，
又是BC的中点，
，
，
，
≌，
，即OE是的半径，
与相切．  

20. 解：如图，为所作；

所以点的坐标为，点的坐标为
，
所以旋转过程中边OB扫过的面积．  

21. 解：树状图如图．

由树状图知共有16种等可能结果，其中两次取的小球标号相同的有4种，
则两次取的小球标号相同的概率为；

设计事件：求“两次取出的小球编号和为偶数”这个事件的概率．
由中树状图知，共有16种等可能结果，其中两次取出的小球的编号和为偶数的情况有8种，
所以两次取出的小球的编号和为偶数的概率为．  

22. ；  

23. 解：以点D为圆心的与y轴相切于点，
点D的纵坐标为4，
点D在上，
，
，
，

作与H，连接AD、BD．
在中，，
，
，
．  

24. 解：设二次函数的解析式为，
把和三点坐标代入解析式得到：
，
解得，
抛物线的解析式为．

对于抛物线，令，得，解得或，
另一个交点为D坐标为，
直线BC的解析式为，令，得，
设直线BC与x轴交于点H，则，
．  

25. 解：已知抛物线经过，
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
，
可得旋转后C点的坐标为，
当时，由得，
可知抛物线过点，
将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
平移后的抛物线解析式为：；
点N在上，可设N点坐标为，
将配方得，
其对称轴为直线．
时，如图，
，
，
，
此时，
点的坐标为．
当时，如图，
同理可得，
，
此时，
点N的坐标为．
当时，由图可知，N点不存在，
综上，点N的坐标为或．  

【解析】

1. 解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2. 解：A、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是随机事件，故本选项错误；
B、打开电视频道，正在播放今日在线是随机事件，故本选项错误；
C、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项错误；
D、方程必有实数根是必然事件，故本选项正确；
故选：D．
根据随机事件和必然事件的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了随机事件和必然事件，掌握随机事件和必然事件的定义是解题的关键；必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3. 解：二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
根据抛物线的性质由得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点式为，的顶点坐标是，对称轴直线，当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下．

4. 解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，
该图象一定不经过点．
故选：A．
先根据反比例函数的图象经过点，求得比例系数k的值，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k进行判断．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是掌握：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．

5. 解：过C点作，垂足为D，
，
由勾股定理，得，
根据三角形计算面积的方法可知，，
，
与直线AB相交．
故选：B．
判断圆与直线AB边的位置关系，关键是比较点C到直线AB的距离与半径的大小关系．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

6. 解：A、方程没有实数解，所以A选项错误；
B、两个实数根之和为，所以B选项错误；
C、方程没有实数解，所以C选项错误；
D、两个实数根之和为1，所以D选项正确．
故选：D．
利用判别式的意义对A、C进行判断；根据根与系数的关系对B、D进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．

7. 解：第一次降价后的价格为：；
第二次降价后的价格为：；
两次降价后的价格为16元，
．
故选：C．
等量关系为：原价降价的百分率现价，把相关数值代入即可．
本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．

8. 解：，
，
．
故选：B．
根据平行线的性质即可求得的度数，再根据圆周角定理即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，以及平行线的性质，根据圆周角定理把求圆周角的问题转化为求圆心角的问题是解题的关键．

9. 解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选：D．
分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．

10. 解：由题意易知：．
若旋转角度为，则．
．
在等腰中，，则．
同理可求得：．
在中，，
由勾股定理得：．
故选：A．
首先由旋转的角度为，可知已知，即可得，然后可在和中，通过解直角三角形求得的长．
此题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形的综合应用，能够发现是解决此题的关键．

11. 解：绕着点A顺时针旋转后得到，
，
，
．
故答案为：．
根据旋转角可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，确定出是解题的关键．

12. 解：设方程的另一个解是a，则，
解得：．
故答案是：3．
利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．

13. 解：袋中装有6个黑球和n个白球，
袋中一共有球个，
从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，
，
解得：．
故答案为：2．
根据若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，列出关于n的方程，解方程即可．
此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比注意方程思想的应用．

14. 解：，
，
圆锥的侧面积，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出OB，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

15. 解：当时，或．
故答案为或．
利用函数图象，写出自变量小于对应的函数值的范围即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．

16. 解：由图象可知，，
，故错误．
抛物线与x轴有两个交点，
，故正确．
抛物线对称轴为，与x轴交于，
抛物线与x轴的另一个交点为，
，
，
，故正确．
、为函数图象上的两点，
又点C离对称轴近，
，故错误，
由图象可知，时，，故正确．
正确，
故答案为．
根据二次函数的性质，结合图中信息，一一判断即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型．

17. 利用反比例函数k的几何意义得到，然后解绝对值方程即可；
利用正方形的性质可表示出，讨论：当在反比例函数图象上时，则；当在反比例函数图象上时，则，然后分别解关于t的方程即可．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．

18. 可用配方法求解；
由根与系数的关系可求得和的值，代入计算即可．
本题主要考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

19. 欲证AC与相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作于E点，证明．
本题考查切线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20. 利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点、即可得到；
由于旋转过程中边OB扫过的部分为以O为圆心，OB为半径，圆心角为90度的扇形，于是利用扇形面积公式可求解．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

21. 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得取两球出现的所以可能结果，求得两次摸取的小球标号相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
设计事件：求“两次取出的小球编号和为偶数”这个事件的概率，利用概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．

22. 解：设销售利润为w万元．
，
令，则
解得，
答：当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 万元．


当时，w最大
每吨销售价为万元时，销售利润最大，最大利润是万元．
故答案为．
由销售量，而每吨的利润为，所以；
解出中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法；
本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．

23. 利用切线的性质推出点D的纵坐标，利用待定系数法切线点D坐标即可；
作与H，连接AD、，于垂径定理以及勾股定理求出，即可解决问题；
本题考查反比例函数的性质、切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

24. 设二次函数的解析式为，把和三点坐标代入解析式，解方程组即可．
首先求出点D坐标，求出直线BC的解析式，求出直线BC与x轴的交点H坐标，根据计算即可．
本题考查二次函数与不等式、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会利用好像图象，解决实际问题，属于中考常考题型．

25. 利用待定系数法，将点的坐标代入解析式即可求得；根据旋转，可得：，则，可得旋转后C点的坐标为，当时，由得，可知抛物线过点，将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，进而得出答案；
首先求得的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．
此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．