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2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷附解析
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这是一份2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷附解析，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，七；等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中小于0的数是（ ）
A．|2023| B．﹣2023 C． D．
2．（3分）清•袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000079米，用科学记数法表示7.9×10n，则n为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
3．（3分）正在发展中的西安地铁给百姓的出行带来了极大的便利，它也逐渐成为低碳环保的最佳出行选择，如下图，在正方体展开图的六个面上分别写了室内请乘地铁六个字，然后将其围成一个正方体，使得从前面看到的，从左边看到的，则从上面看到的形状应该是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5 D．4a6÷2a2＝2a3
5．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．84°
6．（3分）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝1
8．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≤4 D．k＜4
10．（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求：阴影部分的面积（结果保留π） ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2b，b≠0．
17．（9分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x≤90为网络安全意识强，x＜80为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）请您写出两条提高网络安全意识的建议．
18．（9分）小明想测量一颗参天大树AB的高度，如图所示，在一个阳光明媚的上午某一时刻，大树AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，小明测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，2米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为4米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
19．（9分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
20．（9分）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．
（1）求购进A，B两种模型每件分别需多少元？
（2）若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
21．（9分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
23．（10分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB＝90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB＝k•AB．
2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中小于0的数是（ ）
A．|2023| B．﹣2023 C． D．
【答案】B
【分析】先算绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：A．|2023|＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2023＜0，故本选项符合题意；
C．＞0，故本选项不符合题意；
D．＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值等知识点，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3分）清•袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000079米，用科学记数法表示7.9×10n，则n为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵0.0000079用科学记数法表示7.9×10﹣6，
∴n为﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）正在发展中的西安地铁给百姓的出行带来了极大的便利，它也逐渐成为低碳环保的最佳出行选择，如下图，在正方体展开图的六个面上分别写了室内请乘地铁六个字，然后将其围成一个正方体，使得从前面看到的，从左边看到的，则从上面看到的形状应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体的展开与折叠，折叠后，正方体的边重合，再根据方向判断结果即可．
【解答】解：根据正方体的展开与折叠，
“地”的上边，与“市”的上边折叠后重合在一起，
当从前面看到的，从左边看到的，则从上面看到的形状应该
故选：D．
【点评】考查正方体的展开与折叠，折叠后重合的顶点和边是正确判断的前提．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5 D．4a6÷2a2＝2a3
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘除单项式、完全平方公式分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．3a+4b不能合并，故此选项不合题意；
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不合题意；
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5，故此选项符合题意；
D．4a6÷2a2＝2a4，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘除单项式、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．84°
【答案】B
【分析】根据平角的定义可得∠1+∠3＝90°，进而求得∠3＝48°，由两直线平行，同位角相等即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键．
6．（3分）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．
【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）＝8，
丁的成绩的方差为：×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D．
【点评】本题考查的是方差的概念、性质以及方差的计算，方差的计算公式是：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]、方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝1
【答案】A
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程＝总路程即可得出答案．
【解答】解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x＝1，
∴（+）x＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程＝总路程列出方程是解题的关键．
8．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2＝∠4，再利用平行线的性质得出∠1＝∠2＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，
则NG＝AM，故AN＝NG，
则∠2＝∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝×90°＝30°，
∴∠DAG＝60°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2＝∠4是解题关键．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≤4 D．k＜4
【答案】C
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+k＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣4k≥0，
解得k≤4．
故k的取值范围为：k≤4；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
10．（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一） ．
【答案】用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一）．
【分析】根据直线的性质进行解答即可．
【解答】解：举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一）．
故答案为：用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线．
12．（3分）不等式组的解集是 3＜x≤7 ．
【答案】3＜x≤7．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，依此即可求解．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤7，
解不等式②，得x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x≤7．
故答案为：3＜x≤7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
13．（3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用列举法求出四名同学排列的所有情况，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：四名同学排列共有：4×3×2×1＝24种，
九年级同学排在前面的情况为：
九1、九2、七、八；
九1、九2、八、七；
九2、九1、七、八；
九2、九1、八、七．
共4种；前两名都是九年级同学的概率是：＝．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求：阴影部分的面积（结果保留π） 3 ．
【答案】3．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，
∴DF＝AD•sin60°＝，EB＝AB﹣AE＝4﹣2＝2，
∴阴影部分的面积：4×﹣﹣×2×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 2或5﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出AN＝AM＝2；
②当点P在菱形对角线BD上时，设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，求出BM＝AB﹣AM＝1，证明△PDN∽△MBP，得出＝＝，求出PD＝x，由比例式＝，求出x的值即可．
【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：
由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠PAM＝∠PAN＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，
∴AN＝AM＝2；
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：
设AN＝x，
由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，
∵AB＝3，
∴BM＝AB﹣AM＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，
∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，
∴∠BPM＝∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴＝＝，即＝＝，
∴PD＝x，
∴＝x
解得：x＝5﹣或x＝5+（不合题意舍去），
∴AN＝5﹣，
综上所述，AN的长为2或5﹣；
故答案为：2或5﹣．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2b，b≠0．
【答案】（1）﹣3；
（2），．
【分析】（1）根据绝对值的性质，零指数幂，立方根计算即可求解；
（2）先算括号里，再算括号外，然后把a＝2b代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝（﹣1）×1﹣2
＝﹣1﹣2
＝﹣3；
（2）
＝•
＝•
＝，
当a＝2b时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．同时考查了绝对值，零指数幂，立方根．
17．（9分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x≤90为网络安全意识强，x＜80为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝ 83 ，b＝ 85 ，c＝ 70 ；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）请您写出两条提高网络安全意识的建议．
【答案】（1）83，85，70；（2）200人；（3）见解答．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
（3）建议合理即可．
【解答】解：（1）甲组的平均数a＝（70+80×6+90×2+100）＝83，
将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85，即中位数b＝85，
乙组10名同学成绩出现次数最多的是70分，共出现4次，因此众数是70，即c＝70，
故答案为：83，85，70；
（2）500×＝200（人），
答：估计八年级网络安全意识非常强约有200人．
（3）①加强引导，让网络成为他们学习、工作、生活的工具，而不是浪费时间的玩具．②学校应尽早开展网络安全教音，营造绿色健康的网络生态环境，加强网络秩序整顿，健全长效监管机制
【点评】本题考查了条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提．
18．（9分）小明想测量一颗参天大树AB的高度，如图所示，在一个阳光明媚的上午某一时刻，大树AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，小明测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，2米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为4米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】旗杆的高度约为13.8米．
【分析】过点C作MC⊥BC，交AD于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，根据题意可得：MN＝BC＝4米，BN＝CM，∠AMN＝72°，AD∥PR，MC∥PQ，从而可得∠MDC＝∠PRQ，∠MCD＝∠PQR，进而可得△MCD∽△PQR，然后利用相似三角形的性质可求出CM的长，再在Rt△ANM中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点C作MC⊥BC，交AD于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
由题意得：MN＝BC＝4米，BN＝CM，∠AMN＝72°，AD∥PR，MC∥PQ，
∴∠MDC＝∠PRQ，∠MCD＝∠PQR，
∴△MCD∽△PQR，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝1.5米，
∴CM＝BN＝1.5米，
在Rt△ANM中，∠AMN＝72°，
∴AN＝MN•tan72°≈4×3.08＝12.32（米），
∴AB＝AN+BN＝12.32+1.5≈13.8（米），
∴旗杆的高度约为13.8米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（9分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）m＝3，k＝；（2）x＞3或﹣3＜x＜0．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．
∴k＝．
（2）如图：
∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键在于求出或者找到交点坐标．
20．（9分）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．
（1）求购进A，B两种模型每件分别需多少元？
（2）若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
【答案】（1）A，B两种模型每件分别需要25元，150元．
（2）W＝8000﹣90b；当b＝29时，利润最大为5390元．
【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可．
（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意得，，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可．
【解答】解：（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，
由题意得：，
解得，，
答：A，B两种模型每件分别需要25元，150元．
（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，
由题意得，，
解得，b≥，
则购买A种模型为件，即（400﹣6b）件，
则W＝20×（400﹣60b）+30b＝8000﹣90b，
∵﹣90＜0，
∴当b取最小值时，W最大，
∵b≥，b取整数，
∴当b＝29时，W最大值＝8000﹣90×29＝5390．
答：W＝8000﹣90b；当b＝29时，利润最大为5390元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出方程组，函数关系式是解题的关键．
21．（9分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）．
【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧交BD于M，作BM的垂直平分线，交BD于N，以A为圆心AN为半径画圆即为所求；
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，证四边形AEFG是正方形，根据AAS证△ABE≌△CDF，得出BE＝DF＝r•tanα，DE＝DF+EF＝r•tanα+r，根据等量关系列出关系式求出tanα的值即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，
即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝α，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝r•tanα，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝r•tanα，
∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
即DE•tanα＝AE，
∴（r•tanα+r）•tanα＝r，
即tan2α+tanα﹣1＝0，
∵tanα＞0，
∴tanα＝，
即tan∠ADB的值为．
【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．
22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
23．（10分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA＝PB ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB＝90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB＝k•AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA＝PB，据此解答即可．
（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC＝PE、∠PCA＝∠PEB、AC＝BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA＝PB仍然成立．
（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF•BP＝AE•BF，再个AF＝2PA，AE＝2k，BF＝AB，可得2PA•PB＝2k．AB，所以PA•PB＝k•AB，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵l⊥n，
∴BC⊥BD，
∴三角形CBD是直角三角形，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PA＝PB．
（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA＝PB仍然成立，理由如下：
如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，
，
∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，
∴PD＝PE，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PC＝PD，
∴PC＝PE；
∵PD＝PE，
∴∠CDE＝∠PEB，
∵直线m∥n，
∴∠CDE＝∠PCA，
∴∠PCA＝∠PEB，
又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，
∴l∥CE，
∴AC＝BE，
在△PAC和△PBE中，
∴△PAC≌△PBE，
∴PA＝PB．
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，
∵直线m∥n，
∴，
∴AP＝PF，
∵∠APB＝90°，
∴BP⊥AF，
又∵AP＝PF，
∴BF＝AB；
在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
∴AF•BP＝AE•BF，
∵AF＝2PA，AE＝2k，BF＝AB，
∴2PA•PB＝2k．AB，
∴PA•PB＝k•AB．
（另外可以用面积证明：此时过P做m、n的垂线分别交于G、S两点，GP＝k，∠PAm＝∠PFE＝∠PAB，AP为∠mAB的角平分线，角平分线上的P点到角两边的距离相等，所以h＝k，由此即可解决问题，这种方法比较简单）
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中小于0的数是（ ）
A．|2023| B．﹣2023 C． D．
2．（3分）清•袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000079米，用科学记数法表示7.9×10n，则n为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
3．（3分）正在发展中的西安地铁给百姓的出行带来了极大的便利，它也逐渐成为低碳环保的最佳出行选择，如下图，在正方体展开图的六个面上分别写了室内请乘地铁六个字，然后将其围成一个正方体，使得从前面看到的，从左边看到的，则从上面看到的形状应该是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5 D．4a6÷2a2＝2a3
5．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．84°
6．（3分）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝1
8．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≤4 D．k＜4
10．（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是 ．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求：阴影部分的面积（结果保留π） ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2b，b≠0．
17．（9分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x≤90为网络安全意识强，x＜80为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）请您写出两条提高网络安全意识的建议．
18．（9分）小明想测量一颗参天大树AB的高度，如图所示，在一个阳光明媚的上午某一时刻，大树AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，小明测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，2米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为4米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
19．（9分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
20．（9分）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．
（1）求购进A，B两种模型每件分别需多少元？
（2）若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
21．（9分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
23．（10分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB＝90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB＝k•AB．
2023年河南省洛阳市栾川县等三地中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中小于0的数是（ ）
A．|2023| B．﹣2023 C． D．
【答案】B
【分析】先算绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：A．|2023|＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2023＜0，故本选项符合题意；
C．＞0，故本选项不符合题意；
D．＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值等知识点，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3分）清•袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000079米，用科学记数法表示7.9×10n，则n为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵0.0000079用科学记数法表示7.9×10﹣6，
∴n为﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）正在发展中的西安地铁给百姓的出行带来了极大的便利，它也逐渐成为低碳环保的最佳出行选择，如下图，在正方体展开图的六个面上分别写了室内请乘地铁六个字，然后将其围成一个正方体，使得从前面看到的，从左边看到的，则从上面看到的形状应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体的展开与折叠，折叠后，正方体的边重合，再根据方向判断结果即可．
【解答】解：根据正方体的展开与折叠，
“地”的上边，与“市”的上边折叠后重合在一起，
当从前面看到的，从左边看到的，则从上面看到的形状应该
故选：D．
【点评】考查正方体的展开与折叠，折叠后重合的顶点和边是正确判断的前提．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5 D．4a6÷2a2＝2a3
【答案】C
【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘除单项式、完全平方公式分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．3a+4b不能合并，故此选项不合题意；
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不合题意；
C．3a2•（﹣a3）＝﹣3a5，故此选项符合题意；
D．4a6÷2a2＝2a4，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘除单项式、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．84°
【答案】B
【分析】根据平角的定义可得∠1+∠3＝90°，进而求得∠3＝48°，由两直线平行，同位角相等即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键．
6．（3分）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．
甲
乙
丙
平均数
7.9
7.9
8.0
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据方差的计算公式求出丁的成绩的方差，根据方差的性质解答即可．
【解答】解：由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）＝8，
丁的成绩的方差为：×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D．
【点评】本题考查的是方差的概念、性质以及方差的计算，方差的计算公式是：s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]、方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝1
【答案】A
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程＝总路程即可得出答案．
【解答】解：设经过x天相遇，
根据题意得：x+x＝1，
∴（+）x＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程＝总路程列出方程是解题的关键．
8．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2＝∠4，再利用平行线的性质得出∠1＝∠2＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，
则NG＝AM，故AN＝NG，
则∠2＝∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝×90°＝30°，
∴∠DAG＝60°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确得出∠2＝∠4是解题关键．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≤4 D．k＜4
【答案】C
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+k＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣4k≥0，
解得k≤4．
故k的取值范围为：k≤4；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
10．（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实 用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一） ．
【答案】用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一）．
【分析】根据直线的性质进行解答即可．
【解答】解：举生活中的实例说明“两点确定一条直线”这个基本事实为：用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一）．
故答案为：用两颗钉子就可以把木条固定在墙上（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是正确理解两点确定一条直线．
12．（3分）不等式组的解集是 3＜x≤7 ．
【答案】3＜x≤7．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，依此即可求解．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤7，
解不等式②，得x＞3，
故原不等式组的解集为3＜x≤7．
故答案为：3＜x≤7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
13．（3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．前两名都是九年级同学的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用列举法求出四名同学排列的所有情况，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：四名同学排列共有：4×3×2×1＝24种，
九年级同学排在前面的情况为：
九1、九2、七、八；
九1、九2、八、七；
九2、九1、七、八；
九2、九1、八、七．
共4种；前两名都是九年级同学的概率是：＝．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求：阴影部分的面积（结果保留π） 3 ．
【答案】3．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝60°，
∴DF＝AD•sin60°＝，EB＝AB﹣AE＝4﹣2＝2，
∴阴影部分的面积：4×﹣﹣×2×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 2或5﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出AN＝AM＝2；
②当点P在菱形对角线BD上时，设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，求出BM＝AB﹣AM＝1，证明△PDN∽△MBP，得出＝＝，求出PD＝x，由比例式＝，求出x的值即可．
【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：
由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠PAM＝∠PAN＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，
∴AN＝AM＝2；
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：
设AN＝x，
由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，
∵AB＝3，
∴BM＝AB﹣AM＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，
∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，
∴∠BPM＝∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴＝＝，即＝＝，
∴PD＝x，
∴＝x
解得：x＝5﹣或x＝5+（不合题意舍去），
∴AN＝5﹣，
综上所述，AN的长为2或5﹣；
故答案为：2或5﹣．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a＝2b，b≠0．
【答案】（1）﹣3；
（2），．
【分析】（1）根据绝对值的性质，零指数幂，立方根计算即可求解；
（2）先算括号里，再算括号外，然后把a＝2b代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝（﹣1）×1﹣2
＝﹣1﹣2
＝﹣3；
（2）
＝•
＝•
＝，
当a＝2b时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．同时考查了绝对值，零指数幂，立方根．
17．（9分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x≤90为网络安全意识强，x＜80为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝ 83 ，b＝ 85 ，c＝ 70 ；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）请您写出两条提高网络安全意识的建议．
【答案】（1）83，85，70；（2）200人；（3）见解答．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
（3）建议合理即可．
【解答】解：（1）甲组的平均数a＝（70+80×6+90×2+100）＝83，
将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85，即中位数b＝85，
乙组10名同学成绩出现次数最多的是70分，共出现4次，因此众数是70，即c＝70，
故答案为：83，85，70；
（2）500×＝200（人），
答：估计八年级网络安全意识非常强约有200人．
（3）①加强引导，让网络成为他们学习、工作、生活的工具，而不是浪费时间的玩具．②学校应尽早开展网络安全教音，营造绿色健康的网络生态环境，加强网络秩序整顿，健全长效监管机制
【点评】本题考查了条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提．
18．（9分）小明想测量一颗参天大树AB的高度，如图所示，在一个阳光明媚的上午某一时刻，大树AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，小明测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，2米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为4米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】旗杆的高度约为13.8米．
【分析】过点C作MC⊥BC，交AD于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，根据题意可得：MN＝BC＝4米，BN＝CM，∠AMN＝72°，AD∥PR，MC∥PQ，从而可得∠MDC＝∠PRQ，∠MCD＝∠PQR，进而可得△MCD∽△PQR，然后利用相似三角形的性质可求出CM的长，再在Rt△ANM中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点C作MC⊥BC，交AD于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
由题意得：MN＝BC＝4米，BN＝CM，∠AMN＝72°，AD∥PR，MC∥PQ，
∴∠MDC＝∠PRQ，∠MCD＝∠PQR，
∴△MCD∽△PQR，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝1.5米，
∴CM＝BN＝1.5米，
在Rt△ANM中，∠AMN＝72°，
∴AN＝MN•tan72°≈4×3.08＝12.32（米），
∴AB＝AN+BN＝12.32+1.5≈13.8（米），
∴旗杆的高度约为13.8米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（9分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】（1）m＝3，k＝；（2）x＞3或﹣3＜x＜0．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．
∴k＝．
（2）如图：
∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键在于求出或者找到交点坐标．
20．（9分）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．
（1）求购进A，B两种模型每件分别需多少元？
（2）若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
【答案】（1）A，B两种模型每件分别需要25元，150元．
（2）W＝8000﹣90b；当b＝29时，利润最大为5390元．
【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可．
（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意得，，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可．
【解答】解：（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，
由题意得：，
解得，，
答：A，B两种模型每件分别需要25元，150元．
（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，
由题意得，，
解得，b≥，
则购买A种模型为件，即（400﹣6b）件，
则W＝20×（400﹣60b）+30b＝8000﹣90b，
∵﹣90＜0，
∴当b取最小值时，W最大，
∵b≥，b取整数，
∴当b＝29时，W最大值＝8000﹣90×29＝5390．
答：W＝8000﹣90b；当b＝29时，利润最大为5390元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出方程组，函数关系式是解题的关键．
21．（9分）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB的值．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）．
【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧交BD于M，作BM的垂直平分线，交BD于N，以A为圆心AN为半径画圆即为所求；
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，证四边形AEFG是正方形，根据AAS证△ABE≌△CDF，得出BE＝DF＝r•tanα，DE＝DF+EF＝r•tanα+r，根据等量关系列出关系式求出tanα的值即可．
【解答】解：（1）根据题意作图如下：
（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，
即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又AE＝AG＝r，
∴四边形AEFG是正方形，
∴EF＝AE＝r，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝α，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，
∴BE＝r•tanα，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝r•tanα，
∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
即DE•tanα＝AE，
∴（r•tanα+r）•tanα＝r，
即tan2α+tanα﹣1＝0，
∵tanα＞0，
∴tanα＝，
即tan∠ADB的值为．
【点评】本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．
22．（10分）某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图形和直角坐标系可得点D和点E的坐标，代入y＝kx2+m，即可求解；
（2）根据M和N的横坐标相等，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，即可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
∴OH＝AB＝3，
∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，
∴E（0，1），D（2，0），
∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，
把点D（2，0）代入，得k＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；
（2）∵GM＝2，
∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴N（1，），
∴MN＝，
∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，
∴每个B型活动板房的成本是：
425+×50＝500（元）．
答：每个B型活动板房的成本是500元；
（3）根据题意，得
w＝（n﹣500）[100+]
＝﹣2（n﹣600）2+20000，
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100+≤160，
解得n≥620，
∵﹣2＜0，
∴n≥620时，w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，w有最大值为19200元．
答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
23．（10分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA＝PB ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB＝90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB＝k•AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA＝PB，据此解答即可．
（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC＝PE、∠PCA＝∠PEB、AC＝BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA＝PB仍然成立．
（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF•BP＝AE•BF，再个AF＝2PA，AE＝2k，BF＝AB，可得2PA•PB＝2k．AB，所以PA•PB＝k•AB，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵l⊥n，
∴BC⊥BD，
∴三角形CBD是直角三角形，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PA＝PB．
（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA＝PB仍然成立，理由如下：
如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，
，
∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，
∴PD＝PE，
又∵点P为线段CD的中点，
∴PC＝PD，
∴PC＝PE；
∵PD＝PE，
∴∠CDE＝∠PEB，
∵直线m∥n，
∴∠CDE＝∠PCA，
∴∠PCA＝∠PEB，
又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，
∴l∥CE，
∴AC＝BE，
在△PAC和△PBE中，
∴△PAC≌△PBE，
∴PA＝PB．
（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，
∵直线m∥n，
∴，
∴AP＝PF，
∵∠APB＝90°，
∴BP⊥AF，
又∵AP＝PF，
∴BF＝AB；
在△AEF和△BPF中，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
∴AF•BP＝AE•BF，
∵AF＝2PA，AE＝2k，BF＝AB，
∴2PA•PB＝2k．AB，
∴PA•PB＝k•AB．
（另外可以用面积证明：此时过P做m、n的垂线分别交于G、S两点，GP＝k，∠PAm＝∠PFE＝∠PAB，AP为∠mAB的角平分线，角平分线上的P点到角两边的距离相等，所以h＝k，由此即可解决问题，这种方法比较简单）
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
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