2023年陕西省西安市高新一中中考数学模拟试卷(四)（含答案）

这是一份2023年陕西省西安市高新一中中考数学模拟试卷(四)（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023年陕西省西安市高新一中中|考数学模拟试卷 (四 )
　
一、选择题 (每题3分 ,共30分 )
1． (3分 )使两个直角三角形全等的条件是 (　　 )
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
2． (3分 )如图 ,由∠1 =∠2 ,BC =DC、AC =EC ,最|后推出△ABC≌△EDC的根据是 (　　 )

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3． (3分 )等腰三角形底边长为7 ,一腰上的中线把其周长分成两局部的差为3 ,那么腰长是 (　　 )
A．4 B．10
C．4或10 D．以上答案都不对
4． (3分 )如图 ,EA⊥AB ,BC⊥AB EA =AB =2BC ,D为AB中点 ,有以下结论： (1 )DE =AC (2 )DE⊥AC (3 )∠CAB =30° (4 )∠EAF =∠ADE ,其中结论正确的选项是 (　　 )

A． (1 ) , (3 ) B． (2 ) , (3 ) C． (3 ) , (4 ) D． (1 ) , (2 ) , (4 )
5． (3分 )如图 ,在△ABC中 ,∠ACB =90° ,BA的垂直平分线交BC边于D ,假设AB =10 ,AC =5 ,那么图中等于60°的角的个数是 (　　 )

A．2 B．3 C．4 D．5
6． (3分 )设M表示直角三角形 ,N表示等腰三角形 ,P表示等边三角形 ,Q表示等腰直角三角形 ,那么以下四个图中 ,能表示它们之间关系的是 (　　 )
A． B． C． D．
7． (3分 )如图 ,△ABC中 ,∠C =90° ,AC =BC ,AD平分∠CAB交BC于点D ,DE⊥AB ,垂足为E ,且AB =6cm ,那么△DEB的周长为 (　　 )

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
8． (3分 )如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,点D在AC上 ,且BD =BC =AD ,那么∠A等于 (　　 )

A．30° B．40° C．45° D．36°
9． (3分 )如图 ,点C是∠PAQ的平分线上一点 ,点B、B′分别在边AP、AQ上 ,如果再添加一个条件 ,即可推出AB =AB′ ,那么该条件不可以是 (　　 )

A．BB′⊥AC B．CB =CB′ C．∠ACB =∠ACB′ D．∠ABC =∠AB′C
10． (3分 )如图 ,△ABC中 ,AD⊥BC于D ,BE⊥AC于E ,AD与BE相交于F ,假设BF =AC ,那么∠ABC的大小是 (　　 )

A．40° B．45° C．50° D．60°
　
二、填空题 (每题3分 ,共15分 )
11． (3分 )如果等腰三角形的一个底角是80° ,那么顶角是　　度．
12． (3分 )如图 ,点F、C在线段BE上 ,且∠1 =∠2 ,BC =EF ,假设要使△ABC≌△DEF ,那么还须补充一个条件　　． (只要填一个 )

13． (3分 )如图 ,点D在AB上 ,点E在AC上 ,CD与BE相交于点O ,且AD =AE ,AB =AC．假设∠B =20° ,那么∠C =　　°．

14． (3分 )假设在△ABC中 ,AB =5cm ,BC =6cm ,BC边上的中线AD =4cm ,那么∠ADC的度数是　　度．
15． (3分 )如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A =40° ,AC的垂直平分线MN与AB交于点D ,那么∠BCD的度数是　　度．

　
三、解答题： (共75分 ,其中16、17题每题6分；18、19题每题7分；20、21题每题8分；22题10分 ,23题11分 ,24题12分 )
16． (6分 )：如图 ,∠A =∠D =90° ,AC =BD．求证：OB =OC．

17． (6分 )：如图 ,P、Q是△ABC边BC上两点 ,且BP =PQ =QC =AP =AQ ,求∠BAC的度数．

18． (7分 )如下图 ,等腰梯形ABCD中 ,AD∥BC ,AB =CD ,点E为梯形外一点 ,且AE =DE．
求证：BE =CE．

19． (7分 )D是Rt△ABC斜边AC的中点 ,DE⊥AC交BC于E ,且∠EAB：∠BAC =2：5 ,求∠ACB的度数．

20． (8分 )：如图 ,AB =AC ,CE⊥AB于E ,BD⊥AC于D ,求证：BD =CE．

21． (8分 )：如图 ,在等边三角形ABC的AC边上取中点D ,BC的延长线上取一点E ,使CE =CD．求证：BD =DE．

22． (10分 )：如图 ,在等边三角形ABC中 ,D、E分别为BC、AC上的点 ,且AE =CD ,连接AD、BE交于点P ,作BQ⊥AD ,垂足为Q．求证：BP =2PQ．

23． (11分 )阅读下题及证明过程：：如图 ,D是△ABC中BC边上一点 ,E是AD上一点 ,EB =EC ,∠ABE =∠ACE ,求证：∠BAE =∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中 ,
∵EB =EC ,∠ABE =∠ACE ,AE =AE ,
∴△AEB≌△AEC…第|一步
∴∠BAE =∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确 ?假设正确 ,请写出每一步推理的依据；假设不正确 ,请指出错在哪一步 ,并写出你认为正确的证明过程．

24． (12分 )：如图1 ,点C为线段AB上一点 ,△ACM ,△CBN都是等边三角形 ,AN交MC于点E ,BM交CN于点F．
(1 )求证：AN =BM；
(2 )求证：△CEF为等边三角形；
(3 )将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90° ,其他条件不变 ,在图2中补出符合要求的图形 ,并判断第 (1 )、 (2 )两小题的结论是否仍然成立 (不要求证明 )．

　

2022-2023年陕西省西安市高新一中中|考数学模拟试卷 (四 )
参考答案与试题解析
　
一、选择题 (每题3分 ,共30分 )
1． (3分 ) (2021•西宁 )使两个直角三角形全等的条件是 (　　 )
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时 ,要结合条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、一个锐角对应相等 ,利用的直角相等 ,可得出另一组锐角相等 ,但不能证明两三角形全等 ,故A选项错误；
B、两个锐角相等 ,那么也就是三个对应角相等 ,但不能证明两三角形全等 ,故B选项错误；
C、一条边对应相等 ,再加一组直角相等 ,不能得出两三角形全等 ,故C选项错误；
D、两条边对应相等 ,假设是两条直角边相等 ,可利用SAS证全等；假设一直角边对应相等 ,一斜边对应相等 ,也可证全等 ,故D选项正确．
应选：D．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL ,可以发现至|少得有一组对应边相等 ,才有可能全等．
　
2． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,由∠1 =∠2 ,BC =DC、AC =EC ,最|后推出△ABC≌△EDC的根据是 (　　 )

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】先看有哪些条件证得△ABC≌△EDC：∠1 =∠2 ,即∠ACB =∠DCE；BC =DC ,AC =EC；因此判定两三角形全等的依据是SAS．
【解答】解：∵∠1 =∠2
∴∠ACD +∠2 =∠ACD +∠1 ,即∠ACB =∠ECD
又∵BC =DC ,AC =EC
∴△ABC≌△EDC (SAS )
应选A．

【点评】此题考查三角形全等的判定方法 ,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要确定所给各条件的位置 ,结合判定方法做出正确的选择．
　
3． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )等腰三角形底边长为7 ,一腰上的中线把其周长分成两局部的差为3 ,那么腰长是 (　　 )
A．4 B．10
C．4或10 D．以上答案都不对
【分析】根据条件结合等腰三角形的性质进行分析 ,注意分腰长大于底边和腰长小于底边求解．
【解答】解：根据题意 ,分两种情况：
当腰长大于底边时 ,腰长为7 +3 =10；
当腰长小于底边时 ,腰长为7﹣3 =4．
应选C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质 ,对于条件不明确边角的问题 ,要考虑两种情况 ,进行分类讨论．
　
4． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,EA⊥AB ,BC⊥AB EA =AB =2BC ,D为AB中点 ,有以下结论： (1 )DE =AC (2 )DE⊥AC (3 )∠CAB =30° (4 )∠EAF =∠ADE ,其中结论正确的选项是 (　　 )

A． (1 ) , (3 ) B． (2 ) , (3 ) C． (3 ) , (4 ) D． (1 ) , (2 ) , (4 )
【分析】此题条件较为充分 ,EA⊥AB ,BC⊥AB ,EA =AB =2BC ,D为AB中点可得两直角三角形全等 ,然后利用三角形的性质问题可解决．做题时 ,要结合条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
【解答】解：∵EA⊥AB ,BC⊥AB ,∴∠EAB =∠ABC =90°
Rt△EAD与Rt△ABC
∵D为AB中点 ,∴AB =2AD
又EA =AB =2BC
∴AD =BC
∴Rt△EAD≌Rt△ABC
∴DE =AC ,∠C =∠ADE ,∠E =∠FAD
又∠EAF +∠DAF =90°∴∠EAF +∠E =90°
∴∠EFA =180°﹣90° =90° ,即DE⊥AC ,
∠EAF +∠DAF =90° ,∠C +∠DAF =90°
∴∠C =∠EAF ,∠C =∠ADE
∴∠EAF =∠ADE
应选D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察与图形 ,仔细寻找全等条件证出全等 ,再利用全等的性质解决问题．
　
5． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,在△ABC中 ,∠ACB =90° ,BA的垂直平分线交BC边于D ,假设AB =10 ,AC =5 ,那么图中等于60°的角的个数是 (　　 )

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据条件易得∠B =30° ,∠BAC =60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．
【解答】解：∵∠ACB =90° ,AB =10 ,AC =5 ,
∴∠B =30°．
∴∠BAC =90°﹣30° =60°
∵DE垂直平分BC ,
∴∠BAC =∠ADE =∠BDE =∠CDA =90°﹣30° =60°．
∴∠BDE对顶角 =60° ,
∴图中等于60°的角的个数是5．
应选D．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找 ,做到不重不漏．
　
6． (3分 ) (2003•江西 )设M表示直角三角形 ,N表示等腰三角形 ,P表示等边三角形 ,Q表示等腰直角三角形 ,那么以下四个图中 ,能表示它们之间关系的是 (　　 )
A． B． C． D．
【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形．
根据概念就可找到它们之间的关系．
【解答】解：根据各类三角形的概念可知 ,A可以表示它们彼此之间的包含关系．
应选：A．
【点评】考查了三角形中各类三角形的概念 ,根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．
　
7． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,△ABC中 ,∠C =90° ,AC =BC ,AD平分∠CAB交BC于点D ,DE⊥AB ,垂足为E ,且AB =6cm ,那么△DEB的周长为 (　　 )

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC =AE ,CD =DE；再对构成△DEB的几条边进行变换 ,可得到其周长等于AB的长．
【解答】解：∵AD平分∠CAB交BC于点D
∴∠CAD =∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠AED =∠C =90
∵AD =AD
∴△ACD≌△AED． (AAS )
∴AC =AE ,CD =DE
∵∠C =90° ,AC =BC
∴∠B =45°
∴DE =BE
∵AC =BC ,AB =6cm ,
∴2BC2 =AB2 ,即BC = = =3 ,
∴BE =AB﹣AE =AB﹣AC =6﹣3 ,
∴BC +BE =3 +6﹣3 =6cm ,
∵△DEB的周长 =DE +DB +BE =BC +BE =6 (cm )．
另法：证明三角形全等后 ,
∴AC =AE ,CD =DE．
∵AC =BC ,
∴BC =AE．
∴△DEB的周长 =DB +DE +EB =DB +CD +EB =CB +BE =AE +BE =6cm．
应选B．

【点评】此题考查三角形全等的判定方法 ,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、AAS、SAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等 ,判定两个三角形全等时 ,必须有边的参与 ,假设有两边一角对应相等时 ,角必须是两边的夹角．
　
8． (3分 ) (2021•黔东南州 )如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,点D在AC上 ,且BD =BC =AD ,那么∠A等于 (　　 )

A．30° B．40° C．45° D．36°
【分析】题中相等的边较多 ,且都是在同一个三角形中 ,因为求 "角〞的度数 ,将 "等边〞转化为有关的 "等角〞 ,充分运用 "等边对等角〞这一性质 ,再联系三角形内角和为180°求解此题．
【解答】解：∵BD =AD
∴∠A =∠ABD
∵BD =BC
∴∠BDC =∠C
又∵∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A
∴∠C =∠BDC =2∠A
∵AB =AC
∴∠ABC =∠C
又∵∠A +∠ABC +∠C =180°
∴∠A +2∠C =180°
把∠C =2∠A代入等式 ,得∠A +2•2∠A =180°
解得∠A =36°
应选：D．

【点评】此题反复运用了 "等边对等角〞 ,将的等边转化为有关角的关系 ,并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
　
9． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,点C是∠PAQ的平分线上一点 ,点B、B′分别在边AP、AQ上 ,如果再添加一个条件 ,即可推出AB =AB′ ,那么该条件不可以是 (　　 )

A．BB′⊥AC B．CB =CB′ C．∠ACB =∠ACB′ D．∠ABC =∠AB′C
【分析】根据条件结合三角形全等的判定方法 ,验证各选项提交的条件是否能证△ABC≌△AB′C即可．
【解答】解：如图：∵AC平分∠PAQ ,点B ,B′分别在边AP ,AQ上 ,

A：假设BB′⊥AC ,
在△ABC与△AB′C中 ,∠BAC =∠B′AC ,AC =AC ,∠ACB =∠ACB′ ,
∴△ABC≌△AB′C ,
AB =AB′；
B：假设BC =B′C ,不能证明△ABC≌△AB′C ,即不能证明AB =AB′；

C：假设∠ACB =∠ACB′ ,那么在△ABC与△AB'C中 ,∠BAC =∠B′AC ,AC =AC ,△ABC≌△AB′C ,AB =AB′；
D：假设∠ABC =∠AB′C ,那么∠ACB =∠ACB′∠BAC =∠B′AC ,AC =AC ,△ABC≌△AB′C ,AB =AB′．
应选B．
【点评】此题考查的是三角形角平分线的性质及三角形全等的判定；做题时要结合条件在图形上的位置对选项逐个验证．
　
10． (3分 ) (2003•烟台 )如图 ,△ABC中 ,AD⊥BC于D ,BE⊥AC于E ,AD与BE相交于F ,假设BF =AC ,那么∠ABC的大小是 (　　 )

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC ,从而得出BD =DA ,即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC =45°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D ,BE⊥AC于E ,
∴∠BEA =∠ADC =90°．
∵∠FBD +∠BFD =90° ,∠AFE +∠FAE =90° ,∠BFD =∠AFE ,
∴∠FBD =∠FAE ,
在△BDF和△ADC中 , ,
∴△BDF≌△ADC (AAS ) ,
∴BD =AD ,
∴∠ABC =∠BAD =45° ,
应选：B．

【点评】此题考查三角形全等的判定方法 ,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等 ,判定两个三角形全等时 ,必须有边的参与 ,假设有两边一角对应相等时 ,角必须是两边的夹角．
　
二、填空题 (每题3分 ,共15分 )
11． (3分 ) (2021•阜阳模拟 )如果等腰三角形的一个底角是80° ,那么顶角是　20　度．
【分析】由等腰三角形的一个底角是80° ,利用等腰三角形的性质得另一个底角也是80° ,结合三角形内角和定理可求顶角的度数
【解答】解：∵三角形是等腰三角形 ,
∴两个底角相等 ,
∵等腰三角形的一个底角是80° ,
∴另一个底角也是80° ,
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80° =20°．
故填20．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；借助三角形的内角定理求解有关角的度数问题是一种很重要的方法 ,要熟练掌握．
　
12． (3分 ) (2021•金堂县一模 )如图 ,点F、C在线段BE上 ,且∠1 =∠2 ,BC =EF ,假设要使△ABC≌△DEF ,那么还须补充一个条件　AC =DF　． (只要填一个 )

【分析】要使△ABC≌△DEF ,∠1 =∠2 ,BC =EF ,添加边的话应添加对应边 ,符合SAS来判定．
【解答】解：补充AC =DF．
∵∠1 =∠2 ,BC =EF ,AC =DF
∴△ABC≌△DEF ,
故填AC =DF．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等 ,不能添加 ,根据结合图形及判定方法选择条件是正确解答此题的关健．
　
13． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,点D在AB上 ,点E在AC上 ,CD与BE相交于点O ,且AD =AE ,AB =AC．假设∠B =20° ,那么∠C =　20　°．

【分析】在△BAE和△CAD中由∠A =∠A ,AD =AE ,AB =AC证明△BAE≌△CAD ,于是得到∠B =∠C ,结合题干条件即可求出∠C度数．
【解答】解：在△BAE和△CAD中 ,
,
∴△BAE≌△CAD (SAS ) ,
∴∠B =∠C ,
∵∠B =20° ,
∴∠C =20° ,
故答案为20．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点 ,解答此题的关键是熟练掌握两三角形全等的判定定理 ,此题难度一般．
　
14． (3分 ) (2003•哈尔滨 )假设在△ABC中 ,AB =5cm ,BC =6cm ,BC边上的中线AD =4cm ,那么∠ADC的度数是　90　度．
【分析】根据题意 ,画出图形 ,根据中线的定义 ,求出BD ,由勾股定理的逆定理判断出△ABD为直角三角形 ,从而求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB =5cm ,BC =6cm ,AD =4cm ,
又∵AD为BC边上的中线 ,
∴BD =6× =3 ,
∴AB2 =AD2 +BD2 ,
∴△ABC为直角三角形 ,
∴∠ADC =∠ADB =90° ,
∴∠ADC的度数是90度．

【点评】此题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形 ,三角形三边的长 ,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
　
15． (3分 ) (2021•金堂县一模 )如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A =40° ,AC的垂直平分线MN与AB交于点D ,那么∠BCD的度数是　10　度．

【分析】根据垂直平分线的性质计算．
∠BCD =∠BCN﹣∠DCA．
【解答】解：∵Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A =40° ,
∴∠BCN =180°﹣∠B﹣∠A =180°﹣90°﹣40° =50° ,
∵DN是AC的垂直平分线 ,
∴DA =DC ,∠A =∠DCA =40° ,∠BCD =∠BCN﹣∠DCA =50°﹣40° =10° ,
∠BCD的度数是10度．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
　
三、解答题： (共75分 ,其中16、17题每题6分；18、19题每题7分；20、21题每题8分；22题10分 ,23题11分 ,24题12分 )
16． (6分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )：如图 ,∠A =∠D =90° ,AC =BD．求证：OB =OC．

【分析】因为∠A =∠D =90° ,AC =BD ,BC =BC ,知Rt△BAC≌Rt△CDB (HL ) ,所以∠ACB =∠DBC ,即∠OCB =∠OBC ,所以有OB =OC．
【解答】证明：∵∠A =∠D =90° ,AC =BD ,BC =BC ,
∴Rt△BAC≌Rt△CDB (HL )
∴∠ACB =∠DBC．
∴∠OCB =∠OBC．
∴OB =OC (等角对等边 )．
【点评】此题考查了直角三角形的判定和性质；由三角形全等得角相等 ,从而得到线段相等是证明题中常用的方法 ,注意掌握应用．
　
17． (6分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )：如图 ,P、Q是△ABC边BC上两点 ,且BP =PQ =QC =AP =AQ ,求∠BAC的度数．

【分析】根据等边三角形的性质 ,得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30° ,从而求解．
【解答】解：∵BP =PQ =QC =AP =AQ ,
∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60° ,∠B =∠BAP ,∠C =∠CAQ．
又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ ,∠C +∠CAQ =∠AQP ,
∴∠BAP =∠CAQ =30°．
∴∠BAC =120°．
故∠BAC的度数是120°．
【点评】此题主要考查了运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．
　
18． (7分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如下图 ,等腰梯形ABCD中 ,AD∥BC ,AB =CD ,点E为梯形外一点 ,且AE =DE．
求证：BE =CE．

【分析】首|先求出∠EAB =∠EDC．根据全等三角形的判定推出△ABE≌△DCE即可求解．
【解答】证明：在等腰梯形ABCD中 ,AB =CD ,
∴∠BAD =∠CDA ,
∵EA =ED ,
∴∠EAD =∠EDA ,
∴∠EAB =∠EDC．
在△ABE和△DCE中 ,
∵AB =DC ,∠EAB =∠EDC ,EA =ED ,
∴△ABE≌△DCE ,
∴EB =EC．

【点评】此题考查全等三角形的判定定理以及等腰梯形的性质．
　
19． (7分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )D是Rt△ABC斜边AC的中点 ,DE⊥AC交BC于E ,且∠EAB：∠BAC =2：5 ,求∠ACB的度数．

【分析】设∠EAB =2x ,那么∠BAC =5x ,∠EAC =3x ,由线段垂直平分线的性质可知AE =CE ,故∠ACB =∠EAC =3x ,由直角三角形的性质可求出x的值 ,进而得出结论．
【解答】解：∵∠EAB：∠BAC =2：5 ,
∴设∠EAB =2x ,那么∠BAC =5x ,∠EAC =3x ,
∵D是Rt△ABC斜边AC的中点 ,DE⊥AC ,
∴AE =CE ,
∴∠ACB =∠EAC =3x ,
∵∠ACB +∠BAC =90° ,即5x +3x =90° ,解得x = ,
∴∠ACB =3× =33.75°．
【点评】此题考查的是线段垂直平分线的性质 ,熟知垂直平分线上任意一点 ,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
　
20． (8分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )：如图 ,AB =AC ,CE⊥AB于E ,BD⊥AC于D ,求证：BD =CE．

【分析】由题中条件不难得出△BEC≌△CDB ,进而即可得出BD =CE．
【解答】证明：∵AB =AC ,
∴∠ABC =∠ACB ,
∵∠BEC =∠CDB ,BC =BC ,
∴△BEC≌△CDB (AAS ) ,
∴BD =CE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及性质问题 ,应熟练掌握．
　
21． (8分 ) (2021•衡阳 )：如图 ,在等边三角形ABC的AC边上取中点D ,BC的延长线上取一点E ,使CE =CD．求证：BD =DE．

【分析】欲证BD =DE ,只需证∠DBE =∠E ,根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE =∠E =30°．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形 ,BD是AC边的中线 ,
∴BD⊥AC ,BD平分∠ABC ,∠DBE =∠ABC =30°．
∵CD =CE ,
∴∠CDE =∠E．
∵∠ACB =60° ,且∠ACB为△CDE的外角 ,
∴∠CDE +∠E =60°．
∴∠CDE =∠E =30° ,
∴∠DBE =∠DEB =30° ,
∴BD =DE．
【点评】此题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类三角形边之间的关系求角的度数的题 ,一般是利用等腰 (等边 )三角形的性质得出有关角的度数 ,进而求出所求角的度数．
　
22． (10分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )：如图 ,在等边三角形ABC中 ,D、E分别为BC、AC上的点 ,且AE =CD ,连接AD、BE交于点P ,作BQ⊥AD ,垂足为Q．求证：BP =2PQ．

【分析】根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB ,根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ =60° ,即可得结论．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形 ,
∴AB =AC =BC ,∠C =∠ABC =60° ,
∵AE =CD ,
∴EC =BD；
∴△BEC≌△ADB (SAS ) ,
∴∠EBC =∠BAD；
∵∠ABE +∠EBC =60° ,那么∠ABE +∠BAD =60° ,
∵∠BPQ是△ABP外角 ,
∴∠ABP +∠BAP =60° =∠BPQ ,
又∵BQ⊥AD ,
∴∠PBQ =30° ,
∴BP =2PQ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质 ,涉及到等边三角形、直角三角形、三角形内角及外角和定理等知识点 ,是一道难度中等的综合题型．
　
23． (11分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )阅读下题及证明过程：：如图 ,D是△ABC中BC边上一点 ,E是AD上一点 ,EB =EC ,∠ABE =∠ACE ,求证：∠BAE =∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中 ,
∵EB =EC ,∠ABE =∠ACE ,AE =AE ,
∴△AEB≌△AEC…第|一步
∴∠BAE =∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确 ?假设正确 ,请写出每一步推理的依据；假设不正确 ,请指出错在哪一步 ,并写出你认为正确的证明过程．

【分析】上面证明过程不正确 ,因为没有正确理解全等三角形的判定方法 ,SAS指的是两边一角且角为这两边的夹角 ,所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法．
【解答】解：上面证明过程不正确；错在第|一步．正确过程如下：
在△BEC中 ,
∵BE =CE
∴∠EBC =∠ECB
又∵∠ABE =∠ACE
∴∠ABC =∠ACB
∴AB =AC．
在△AEB和△AEC中 ,AE =AE ,BE =CE ,AB =AC
∴△AEB≌△AEC (SSS )
∴∠BAE =∠CAE．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法 ,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等 ,判定两个三角形全等时 ,必须有边的参与 ,假设有两边一角对应相等时 ,角必须是两边的夹角．
　
24． (12分 ) (2003•荆门 )：如图1 ,点C为线段AB上一点 ,△ACM ,△CBN都是等边三角形 ,AN交MC于点E ,BM交CN于点F．
(1 )求证：AN =BM；
(2 )求证：△CEF为等边三角形；
(3 )将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90° ,其他条件不变 ,在图2中补出符合要求的图形 ,并判断第 (1 )、 (2 )两小题的结论是否仍然成立 (不要求证明 )．

【分析】 (1 )可通过全等三角形来得出简单的线段相等 ,证明AN =BM ,只要求出三角形ACN和MCB全等即可 ,这两个三角形中 ,的条件有AC =MC ,NC =CB ,只要证明这两组对应边的夹角相等即可 ,我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角 ,因此它们都是120° ,这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN =BM．
(2 )我们不难发现∠ECF =180﹣60﹣60 =60° ,因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形 ,可从EC ,CF入手 ,由 (1 )的全等三角形我们知道 ,∠MAC =∠BMC ,
又知道了AC =MC ,∠MCF =∠ACE =60° ,那么此时三角形AEC≌三角形MCF ,可得出CF =CE ,于是我们再根据∠ECF =60° ,便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．
(3 )判定结论1是否正确 ,也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC =AC ,NC =BC ,∠MCB和∠ACN都是60° +∠ACB ,因此两三角形就全等 ,AN =BM ,结论1正确．
根据图1 ,当把MC逆时针旋转90°后 ,AC也旋转了90° ,因此∠ACB =90° ,很显然∠FCE＞90° ,因此三角形FCE绝|对不可能是等边三角形．
【解答】 (1 )证明：∵△ACM ,△CBN是等边三角形 ,
∴AC =MC ,BC =NC ,∠ACM =60° ,∠NCB =60° ,
∴∠ACM +∠MCN =∠NCB +∠MCN ,
即：∠ACN =∠MCB ,
在△ACN和△MCB中 ,
AC =MC ,∠ACN =∠MCB ,NC =BC ,
∴△ACN≌△MCB (SAS )．
∴AN =BM．

(2 )证明：∵△ACN≌△MCB ,
∴∠CAN =∠CMB．
又∵∠MCF =180°﹣∠ACM﹣∠NCB =180°﹣60°﹣60° =60° ,
∴∠MCF =∠ACE．
在△CAE和△CMF中
∠CAE =∠CMF ,CA =CM ,∠ACE =∠MCF ,
∴△CAE≌△CMF (ASA )．
∴CE =CF．
∴△CEF为等腰三角形．
又∵∠ECF =60° ,
∴△CEF为等边三角形．

(3 )解：如右图 ,
∵△CMA和△NCB都为等边三角形 ,
∴MC =CA ,CN =CB ,∠MCA =∠BCN =60° ,
∴∠MCA +∠ACB =∠BCN +∠ACB ,即∠MCB =∠ACN ,
∴△CMB≌△CAN ,
∴AN =MB ,
结论1成立 ,结论2不成立．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质 ,全等三角形的性质和判定等知识点 ,利用全等三角形来得出角和边相等是解题的关键．
　

参与本试卷答题和审题的老师有：|王岑；MMCH；137 -hui；mmll852；438011；b000；zxw；蓝月梦；wenming；kuaile；ln_86；Linaliu；张其铎；mengcl；py168；lanchong；wd1899；CJX；fuaisu；HJJ；bjy；csiya；ZJX；yeyue；399462；110397 (排名不分先后 )

2021年11月24日