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2023年山东省邹城市第六中学南校区中考三模数学试卷（含答案）
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这是一份2023年山东省邹城市第六中学南校区中考三模数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023年山东省邹城市第六中学南校区中考三模数学试卷
一、选择题 (每题3分 ,共30分 )
1． (3分 )以下函数式二次函数的是 ( )
A．y =ax2 +bx +c B．y = (2x﹣1 )2﹣4x2
C． D．y = (x﹣1 ) (x﹣2 )
2． (3分 )在△ABC中 ,假设三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB =5：12：13 ,那么cosB = ( )
A． B． C． D．
3． (3分 )同一平面内的两个圆 ,他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d ,当1＜d＜5时 ,两圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
4． (3分 )如图 ,过y轴上任意一点P ,作x轴的平行线 ,分别与反比例函数的图象交于A点和B点 ,假设C为x轴上任意一点 ,连接AC ,BC ,那么△ABC的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5． (3分 )假设二次函数y =x2﹣6x +c的图象过A (﹣1 ,y1 ) ,B (2 ,y2 ) ,C ( ,y3 ) ,那么y1 ,y2 ,y3的大小关系是 ( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
6． (3分 )假设二次函数y =x2 +bx +5配方后为y = (x﹣2 )2 +k ,那么b、k的值分别为 ( )
A．0 ,5 B．0 ,1 C．﹣4 ,5 D．﹣4 ,1
7． (3分 )如图 ,⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部 ,∠BAC =90° ,OA =1 ,BC =6 ,那么⊙O的半径为 ( )
A． B．2 C．3 D．
8． (3分 )在一个不透明的袋中 ,装有假设干个除颜色不同外其余都相同的球 ,如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 ,那么袋中球的总个数为 ( )
A．15个 B．12个 C．9个 D．3个
9． (3分 )如图 ,夜晚 ,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B ,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化 ,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为 ( )
A． B． C． D．
10． (3分 )如图 ,⊙O中 ,直径AB =10 ,AC =6 ,CD平分∠ACB交圆于点D ,那么CD = ( )
A．7 B． C． D．9
二、填空题 (每题3分共18分 )
11． (3分 )方程x2﹣4x﹣5 =0的根是 ．
12． (3分 )某地区为估计该地区黄羊的只数 ,先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志 ,然后放回 ,待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后 ,第二次捕捉40只黄羊 ,发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 ．
13． (3分 )某二次函数图象经过 (1 ,8 ) , (3 ,﹣1 ) , (5 ,8 ) ,那么该图象的对称轴的解析式为 ．
14． (3分 )如图 ,转动白色扇形的圆心角为90°的转盘 ,指针指向红色区域的概率为 ．
15． (3分 )圆锥的侧面展开图是半圆 ,那么该圆锥的轴截面形状是 ．
16． (3分 )如图 ,AB是⊙O的直径 ,点C在⊙O上 ,∠ABC =50° ,动点P在弦BC上 ,那么∠PAB可能为 度 (写出一个符合条件的度数即可 )．
三、解答题
17． (8分 )β是锐角 ,且sin (β +15° ) = ,计算﹣4cosβ﹣tan45° +tan230°．
18．测量旗杆的高度 ,在C处测得旗杆顶端的仰角为15° ,朝旗杆方向前进20米到达D处 ,再次测得旗杆的仰角为30° ,求旗杆AB的高度．
19．某毕业班联欢晚会设计的即兴表演的摸牌游戏．游戏采用了一个不透明的盒子里面装有5个分别标有1 ,2 ,3 ,4 ,5的乒乓球 ,这些球除数字外 ,其它完全相同．游戏规那么是 ,参加连环会的50名同学 ,每人将盒子里的5个乒乓球摇匀后 ,闭上眼睛随机摸出一个球 ,记下球上标记的数字；把球放回 ,重复上次摸球再摸出一个 ,记下球上标记的数字．假设两次球上数字之和是偶数 ,就给大家即兴表演一个节目；否那么 ,下一个同学接着做摸球游戏 ,依次进行．
(1 )求参加联欢会的某位同学即兴表演的概率；
(2 )估计本次联欢会上有多少同学即兴表演节目 ?
20．：如图 ,AB是⊙O的直径 ,C是⊙O上一点 ,OD⊥BC于点D ,过点C作⊙O的切线 ,交OD的延长线于点E ,连接BE．
(1 )求证：BE与⊙O相切；
(2 )连接AD并延长交BE于点F ,假设OB =9 ,sin∠ABC = ,求BF的长．
21．如图 ,抛物线解析式是y =﹣x2 +bx (b＞0 ) ,是否存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ?假设存在 ,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；假设不存在请说明理由．
2022-2023年山东省邹城市第六中学南校区中考三模数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 (每题3分 ,共30分 )
1． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )以下函数式二次函数的是 ( )
A．y =ax2 +bx +c B．y = (2x﹣1 )2﹣4x2
C． D．y = (x﹣1 ) (x﹣2 )
【分析】根据二次函数的定义 (一般地 ,形如y =ax2 +bx +c (a、b、c是常数 ,a≠0 )的函数 ,叫做二次函数 )进行判断．
【解答】解：A、当a =0时 ,y =ax2 +bx +c不是二次函数 ,故本选项错误；
B、由y = (2x﹣1 )2﹣4x2得到y =﹣4x +1 ,属于一次函数 ,故本选项错误；
C、该等式的右边是分式 ,不是整式 ,不符合二次函数的定义 ,故本选项错误；
D、由原函数解析式得到y =x2﹣3x +2 ,符合二次函数的定义 ,故本选项正确；
应选：D．
【点评】此题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数 ,首|先是要看它的右边是否为整式 ,假设是整式且仍能化简的要先将其化简 ,然后再根据二次函数的定义作出判断 ,要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2． (3分 ) (2021•潍坊二模 )在△ABC中 ,假设三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB =5：12：13 ,那么cosB = ( )
A． B． C． D．
【分析】设比例的每一份为k ,由比例式表示出三角形的三边 ,然后利用勾股定理的逆定理判断出此三角形为直角三角形 ,根据锐角三角函数定义 ,用∠B的对边AC比上斜边AB ,化简后可得出cosB的值．
【解答】解：由△ABC三边满足BC：CA：AB =5：12：13 ,
可设BC =5k ,CA =12k ,AB =13k ,
∵BC2 +CA2 = (5k )2 + (12k )2 =25k2 +144k2 =169k2 ,AB2 = (13k )2 =169k2 ,
∴BC2 +CA2 =AB2 ,
∴△ABC为直角三角形 ,∠C =90° ,
那么cosB = = =．
应选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理 ,比例的性质 ,以及锐角三角函数定义 ,利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是解此题的关键．
3． (3分 ) (2021•陕西 )同一平面内的两个圆 ,他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d ,当1＜d＜5时 ,两圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
【分析】根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交 ,那么R﹣r＜d＜R +r (d表示圆心距 ,R ,r分别表示两圆的半径 )．
【解答】解：∵他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d ,当1＜d＜5时 ,
∴两圆的位置关系是相交．
应选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离 ,那么d＞R +r；外切 ,那么d =R +r；相交 ,那么R﹣r＜d＜R +r；内切 ,那么d =R﹣r；内含 ,那么d＜R﹣r． (d表示圆心距 ,R ,r分别表示两圆的半径 )．
4． (3分 ) (2021•陕西 )如图 ,过y轴上任意一点P ,作x轴的平行线 ,分别与反比例函数的图象交于A点和B点 ,假设C为x轴上任意一点 ,连接AC ,BC ,那么△ABC的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先设P (0 ,b ) ,由直线AB∥x轴 ,那么A ,B两点的纵坐标都为b ,而A ,B分别在反比例函数的图象上 ,可得到A点坐标为 (﹣ ,b ) ,B点坐标为 ( ,b ) ,从而求出AB的长 ,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设P (0 ,b ) ,
∵直线AB∥x轴 ,
∴A ,B两点的纵坐标都为b ,
而点A在反比例函数y =﹣的图象上 ,
∴当y =b ,x =﹣ ,即A点坐标为 (﹣ ,b ) ,
又∵点B在反比例函数y =的图象上 ,
∴当y =b ,x = ,即B点坐标为 ( ,b ) ,
∴AB =﹣ (﹣ ) = ,
∴S△ABC =•AB•OP =•b =3．
应选：A．
【点评】此题考查了点在函数图象上 ,点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式．
5． (3分 ) (2021•陕西 )假设二次函数y =x2﹣6x +c的图象过A (﹣1 ,y1 ) ,B (2 ,y2 ) ,C ( ,y3 ) ,那么y1 ,y2 ,y3的大小关系是 ( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征 ,将A (﹣1 ,y1 ) ,B (2 ,y2 ) ,C ( ,y3 )分别代入二次函数的解析式y =x2﹣6x +c求得y1 ,y2 ,y3 ,然后比拟它们的大小并作出选择．
【解答】解：根据题意 ,得
y1 =1 +6 +c =7 +c ,即y1 =7 +c；
y2 =4﹣12 +c =﹣8 +c ,即y2 =﹣8 +c；
y3 =9 +2 +6﹣18﹣6 +c =﹣7 +c ,
即y3 =﹣7 +c；
∵7＞﹣7＞﹣8 ,
∴7 +c＞﹣7 +c＞﹣8 +c ,
即y1＞y3＞y2．
应选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征 (图象上的点都在该函数的图象上 )．解答此题时 ,还利用了不等式的根本性质：在不等式的两边加上同一个数 ,不等式仍成立．
6． (3分 ) (2021•安徽 )假设二次函数y =x2 +bx +5配方后为y = (x﹣2 )2 +k ,那么b、k的值分别为 ( )
A．0 ,5 B．0 ,1 C．﹣4 ,5 D．﹣4 ,1
【分析】可将y = (x﹣2 )2 +k的右边运用完全平方公式展开 ,再与y =x2 +bx +5比拟 ,即可得出b、k的值．
【解答】解：∵y = (x﹣2 )2 +k =x2﹣4x +4 +k =x2﹣4x + (4 +k ) ,
又∵y =x2 +bx +5 ,
∴x2﹣4x + (4 +k ) =x2 +bx +5 ,
∴b =﹣4 ,k =1．
应选D．
【点评】此题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．
7． (3分 ) (2021•安徽 )如图 ,⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部 ,∠BAC =90° ,OA =1 ,BC =6 ,那么⊙O的半径为 ( )
A． B．2 C．3 D．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：假设过A作BC的垂线 ,设垂足为D ,那么AD必垂直平分BC；由垂径定理可知 ,AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质 ,易求出BD、AD的长 ,进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．
【解答】解：过A作AD⊥BC ,由题意可知AD必过点O ,连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形 ,AD⊥BC ,
∴BD =CD =AD =3；
∴OD =AD﹣OA =2；
Rt△OBD中 ,根据勾股定理 ,得：
OB = =．
应选D．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质 ,以及垂径定理、勾股定理的应用．
8． (3分 ) (2021•山西 )在一个不透明的袋中 ,装有假设干个除颜色不同外其余都相同的球 ,如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 ,那么袋中球的总个数为 ( )
A．15个 B．12个 C．9个 D．3个
【分析】利用红球的概率公式列出方程求解即可．
【解答】解：设袋中共有x个球 ,根据概率定义 ,
=；
x =12．
袋中球的总个数为12个．
应选B．
【点评】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能 ,而且这些事件的可能性相同 ,其中事件A出现m种结果 ,那么事件A的概率P (A ) =．
9． (3分 ) (2021•南京 )如图 ,夜晚 ,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B ,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化 ,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为 ( )
A． B． C． D．
【分析】等高的物体垂直地面时 ,在灯光下 ,离点光源近的物体它的影子短 ,离点光源远的物体它的影子长．
【解答】解：设身高GE =h ,CF =l ,AF =a ,
当x≤a时 ,
在△OEG和△OFC中 ,
∠GOE =∠COF (公共角 ) ,∠AEG =∠AFC =90° ,
∴△OEG∽△OFC ,
∴ = ,
∴ = ,
∴y =﹣x + ,
∵a、h、l都是固定的常数 ,
∴自变量x的系数是固定值 ,
∴这个函数图象肯定是一次函数图象 ,即是直线；
∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短 ,到灯下的时候 ,将是一个点 ,进而随着离灯光的越来越远而影长将变大．
应选：A．
【点评】此题综合考查了中|心投影的特点和规律．注意离点光源的远近决定影长的大小．
10． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,⊙O中 ,直径AB =10 ,AC =6 ,CD平分∠ACB交圆于点D ,那么CD = ( )
A．7 B． C． D．9
【分析】根据直径所对的圆周角是直角 ,以及角平分线的定义可得∠ACD =∠BCD =45° ,过A作AM⊥CD ,过B作BN⊥CD ,垂足分别为M、N ,得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形 ,根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM =AC ,BN =BC ,再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等 ,根据全等三角形对应边相等得到DN =AM ,所以DN =CM ,从而得到CM +CN =DN +CN =CD．
【解答】解：过A作AM⊥CD ,过B作BN⊥CD ,垂足分别为M、N ,连接AD ,
∵AB为直径 ,
∴∠ACB =90° ,
∵AB =10 ,AC =6 ,
∴BC = =8 ,
∵CD平分∠ACB交⊙O于D ,
∴∠ACD =∠BCD =45° ,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形 ,AD =BD ,
在Rt△ACM中 ,CM =AC =×6 =3 ,在Rt△BCN中 ,CN =×8 =4 ,
∴CM +CN =7 ,
∵AB是直径 ,
∴∠ADB =90° ,
∴∠ADM +∠BDN =90° ,
又∵∠BDN +∠DBN =90° ,
∴∠ADM =∠DBN ,
在△ADM与△BDN中 ,
,
∴△ADM≌△BDN (AAS ) ,
∴DN =AM ,
又∵AM =CM (等腰直角三角形两直角边相等 ) ,
∴CM =DN ,
∴CD =CN +DN =CN +CM =7．
应选B．
【点评】此题考查了圆周角定理 ,全等三角形的判定与性质 ,以及等腰直角三角形的判定与性质 ,作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键．
二、填空题 (每题3分共18分 )
11． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )方程x2﹣4x﹣5 =0的根是 x1 =5 ,x2 =﹣1 ．
【分析】把方程左边进行因式分解得到 (x﹣5 ) (x +1 ) =0 ,那么方程就可化为两个一元一次方程x﹣5 =0 ,或x +1 =0 ,解两个一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣5 =0 ,
∴ (x﹣5 ) (x +1 ) =0 ,
∴x﹣5 =0或x +1 =0 ,
∴x1 =5 ,x2 =﹣1．
故答案为：x1 =5 ,x2 =﹣1．
【点评】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠0 )的方法：先把方程化为一般式 ,再把方程左边进行因式分解 ,然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程 ,解两个一元一次方程即可．
12． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )某地区为估计该地区黄羊的只数 ,先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志 ,然后放回 ,待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后 ,第二次捕捉40只黄羊 ,发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 400只 ．
【分析】捕捉40只黄羊 ,发现其中2只有标志．说明有标记的占到 ,而有标记的共有20只 ,根据所占比例解得．
【解答】解：20÷ =400 (只 )．
故答案为400只．
【点评】统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息 ,此题表达了统计思想 ,考查了用样本估计总体．
13． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )某二次函数图象经过 (1 ,8 ) , (3 ,﹣1 ) , (5 ,8 ) ,那么该图象的对称轴的解析式为 x =3 ．
【分析】根据二次函数的对称性可知 ,点 (1 ,8 )和点 (5 ,8 )关于二次函数的对称轴对称 ,根据对称轴x = ,即可求得答案．
【解答】解：∵点 (1 ,8 )和点 (5 ,8 )关于二次函数的对称轴对称 ,
∴对称轴x = =3．
故答案为：x =3．
【点评】此题考查二次函数的性质 ,利用二次函数的对称性求二次函数的对称轴 ,注意抓住图象上点的特征 ,选用适当的方法解答．
14． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,转动白色扇形的圆心角为90°的转盘 ,指针指向红色区域的概率为 ．
【分析】利用得出红色扇形的圆心角 ,再利用概率公式 ,指向红色区域的概率 = ,进而得出即可．
【解答】解：∵白色扇形的圆心角为90° ,
∴红色扇形的圆心角为360°﹣90° =270° ,
∴指针指向红色区域的概率为： =．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率 ,熟练掌握几何概率公式 ,进而求出是解题关键．
15． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )圆锥的侧面展开图是半圆 ,那么该圆锥的轴截面形状是 等边三角形 ．
【分析】设半圆的半径为R ,圆锥的底面圆的半径为r ,根据圆锥的侧面展开图为一扇形 ,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 ,扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr =•2πR ,那么R =2r ,所以圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径 ,然后根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：设半圆的半径为R ,圆锥的底面圆的半径为r ,
∴2πr =•2πR ,
∴R =2r ,
∴圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径 ,
∴该圆锥的轴截面形状为等边三角形．
故答案为等边三角形．
【点评】此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形 ,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 ,扇形的半径等于圆锥的母线长．
16． (3分 ) (2021•吉林 )如图 ,AB是⊙O的直径 ,点C在⊙O上 ,∠ABC =50° ,动点P在弦BC上 ,那么∠PAB可能为 大于或等于0并且且小于或等于40的任意一个数皆可 度 (写出一个符合条件的度数即可 )．
【分析】连接AC ,由圆周角定理易知∠ACB =90° ,由此可求得∠CAB =40° ,假设P在BC上运动 ,根据∠CAB的度数即可得到∠PAB的取值范围 ,只要在这个范围内的度数均符合∠PAB的条件．
【解答】解：连接AC；
∵AB是⊙O的直径 ,
∴∠ACB =90°；
∴∠CAB =90°﹣∠ABC =40°；
∵P在弦BC上运动 ,
∴0°≤∠PAB≤40°；
故∠PAB的度数可能是20°或30°… (答案不唯一 ,符合∠PAB的取值范围即可 )．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角．
三、解答题
17． (8分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )β是锐角 ,且sin (β +15° ) = ,计算﹣4cosβ﹣tan45° +tan230°．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出β的度数 ,再化简各数求出即可．
【解答】解：∵sin (β +15° ) = ,
∴β +15° =60° ,
∴β =45° ,
∴﹣4cosβ﹣tan45° +tan230°
=2﹣4×﹣1 + ( )2
=﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值 ,正确记忆相关数据是解题关键．
18． (2021•雁塔区校级|模拟 )测量旗杆的高度 ,在C处测得旗杆顶端的仰角为15° ,朝旗杆方向前进20米到达D处 ,再次测得旗杆的仰角为30° ,求旗杆AB的高度．
【分析】首|先分析图形：根据题意构造直角三角形 ,利用在Rt△DAB中 ,由sin∠ADB = ,得出AB的长度 ,即可求出旗杆AB的高度．
【解答】解：由得：∠C =15° ,∠ADB =30° ,
∴∠CAD =15° ,
∴∠CAD =∠C ,
∴DC =AD =20米 ,
在Rt△DAB中 ,
由sin∠ADB = ,得：
AB =AD•sin∠ADB =20×sin30° =10 (米 ) ,
答：旗杆AB的高度为10米．
【点评】此题主要考查了仰角问题应用 ,要求学生借助仰角关系构造直角三角形 ,并结合图形利用三角函数解直角三角形．
19． (2021•雁塔区校级|模拟 )某毕业班联欢晚会设计的即兴表演的摸牌游戏．游戏采用了一个不透明的盒子里面装有5个分别标有1 ,2 ,3 ,4 ,5的乒乓球 ,这些球除数字外 ,其它完全相同．游戏规那么是 ,参加连环会的50名同学 ,每人将盒子里的5个乒乓球摇匀后 ,闭上眼睛随机摸出一个球 ,记下球上标记的数字；把球放回 ,重复上次摸球再摸出一个 ,记下球上标记的数字．假设两次球上数字之和是偶数 ,就给大家即兴表演一个节目；否那么 ,下一个同学接着做摸球游戏 ,依次进行．
(1 )求参加联欢会的某位同学即兴表演的概率；
(2 )估计本次联欢会上有多少同学即兴表演节目 ?
【分析】 (1 )利用树状图表示出所有的结果即可 ,然后根据概率公式即可求出该事件的概率；
(2 )利用 (1 )中所求概率 ,即可得出即兴表演节目的人数．
【解答】解： (1 )如下表：
1
2
3
4
5
1
(1 ,1 )
(1 ,2 )
(1 ,3 )
(1 ,4 )
(1 ,5 )
2
(2 ,1 )
(2 ,2 )
(2 ,3 )
(2 ,4 )
(2 ,5 )
3
(3 ,1 )
(3 ,2 )
(3 ,3 )
(3 ,4 )
(3 ,5 )
4
(4 ,1 )
(4 ,2 )
(4 ,3 )
(4 ,4 )
(4 ,5 )
5
(5 ,1 )
(5 ,2 )
(5 ,3 )
(5 ,4 )
(5 ,5 )
从上表可以看出 ,
∵一次性共有20种可能结果 ,其中两数为偶数的共有8种．
将参加联欢会的某位同学即兴表演节目记为事件A ,
∴P (A ) =P (两数和为偶数 ) =；
(2 )∵50× =26 (人 ) ,
∴估计有26名同学即兴表演节目．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果 ,适合于两步完成的事件．
20． (2021•北京 )：如图 ,AB是⊙O的直径 ,C是⊙O上一点 ,OD⊥BC于点D ,过点C作⊙O的切线 ,交OD的延长线于点E ,连接BE．
(1 )求证：BE与⊙O相切；
(2 )连接AD并延长交BE于点F ,假设OB =9 ,sin∠ABC = ,求BF的长．
【分析】 (1 )连接OC ,先证明△OCE≌△OBE ,得出EB⊥OB ,从而可证得结论．
(2 )过点D作DH⊥AB ,根据sin∠ABC = ,可求出OD =6 ,OH =4 ,HB =5 ,然后由△ADH∽△AFB ,利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
【解答】证明： (1 )连接OC ,
∵OD⊥BC ,
∴∠COE =∠BOE ,
在△OCE和△OBE中 ,
∵ ,
∴△OCE≌△OBE ,
∴∠OBE =∠OCE =90° ,即OB⊥BE ,
∵OB是⊙O半径 ,
∴BE与⊙O相切．
(2 )过点D作DH⊥AB ,连接AD并延长交BE于点F ,
∵∠DOH =∠BOD ,∠DHO =∠BDO =90° ,
∴△ODH∽△OBD ,
∴ = =
又∵sin∠ABC = ,OB =9 ,
∴OD =6 ,
易得∠ABC =∠ODH ,
∴sin∠ODH = ,即 = ,
∴OH =4 ,
∴DH = =2 ,
又∵△ADH∽△AFB ,
∴ = , = ,
∴FB =．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质 ,解答此题的关键是掌握切线的判定定理 ,在第二问的求解中 ,一定要注意相似三角形的性质的运用．
21． (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,抛物线解析式是y =﹣x2 +bx (b＞0 ) ,是否存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ?假设存在 ,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；假设不存在请说明理由．
【分析】由于矩形的对角线相等且互相平分 ,所以假设存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ,那么必须满足OA =OB ,又AO =BO ,这个 "抛物线三角形〞必须是等边三角形 ,首|先用b表示出AE、OE的长 ,通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值 ,进而确定A、B的坐标 ,即可确定C、D的坐标 ,利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．
【解答】解：存在
如图 ,
作△OCD与△OAB关于原点O中|心对称 ,那么四边形ABCD为平行四边形．
当OA =OB时 ,平行四边形ABCD是矩形 ,
又∵AO =AB ,AO =BO ,
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB =60° ,
作AE⊥OB ,垂足为E ,
∴AE =OEtan∠AOB =OE．
∴ =• (b＞0 )．
∴b =2．
∴A ( ,3 ) ,B (2 ,0 )．
∴C (﹣ ,﹣3 ) ,D (﹣2 ,0 )．
设过点O、C、D的抛物线为y =mx2 +nx ,那么 ,
解得．
故所求抛物线的表达式为y =x2 +2x．
【点评】此题考查二次函数的性质及解析式确实定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识 ,重在考查根底知识的掌握情况．
参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；dbz1018；zcx；gsls；HLing；MMCH；CJX；lanchong；bjf；73zzx；gbl210；Linaliu；sd2021；caicl；sjzx (排名不分先后 )
2021年11月24日
2022-2023年山东省邹城市第六中学南校区中考三模数学试卷
一、选择题 (每题3分 ,共30分 )
1． (3分 )以下函数式二次函数的是 ( )
A．y =ax2 +bx +c B．y = (2x﹣1 )2﹣4x2
C． D．y = (x﹣1 ) (x﹣2 )
2． (3分 )在△ABC中 ,假设三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB =5：12：13 ,那么cosB = ( )
A． B． C． D．
3． (3分 )同一平面内的两个圆 ,他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d ,当1＜d＜5时 ,两圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
4． (3分 )如图 ,过y轴上任意一点P ,作x轴的平行线 ,分别与反比例函数的图象交于A点和B点 ,假设C为x轴上任意一点 ,连接AC ,BC ,那么△ABC的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5． (3分 )假设二次函数y =x2﹣6x +c的图象过A (﹣1 ,y1 ) ,B (2 ,y2 ) ,C ( ,y3 ) ,那么y1 ,y2 ,y3的大小关系是 ( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
6． (3分 )假设二次函数y =x2 +bx +5配方后为y = (x﹣2 )2 +k ,那么b、k的值分别为 ( )
A．0 ,5 B．0 ,1 C．﹣4 ,5 D．﹣4 ,1
7． (3分 )如图 ,⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部 ,∠BAC =90° ,OA =1 ,BC =6 ,那么⊙O的半径为 ( )
A． B．2 C．3 D．
8． (3分 )在一个不透明的袋中 ,装有假设干个除颜色不同外其余都相同的球 ,如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 ,那么袋中球的总个数为 ( )
A．15个 B．12个 C．9个 D．3个
9． (3分 )如图 ,夜晚 ,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B ,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化 ,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为 ( )
A． B． C． D．
10． (3分 )如图 ,⊙O中 ,直径AB =10 ,AC =6 ,CD平分∠ACB交圆于点D ,那么CD = ( )
A．7 B． C． D．9
二、填空题 (每题3分共18分 )
11． (3分 )方程x2﹣4x﹣5 =0的根是 ．
12． (3分 )某地区为估计该地区黄羊的只数 ,先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志 ,然后放回 ,待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后 ,第二次捕捉40只黄羊 ,发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 ．
13． (3分 )某二次函数图象经过 (1 ,8 ) , (3 ,﹣1 ) , (5 ,8 ) ,那么该图象的对称轴的解析式为 ．
14． (3分 )如图 ,转动白色扇形的圆心角为90°的转盘 ,指针指向红色区域的概率为 ．
15． (3分 )圆锥的侧面展开图是半圆 ,那么该圆锥的轴截面形状是 ．
16． (3分 )如图 ,AB是⊙O的直径 ,点C在⊙O上 ,∠ABC =50° ,动点P在弦BC上 ,那么∠PAB可能为 度 (写出一个符合条件的度数即可 )．
三、解答题
17． (8分 )β是锐角 ,且sin (β +15° ) = ,计算﹣4cosβ﹣tan45° +tan230°．
18．测量旗杆的高度 ,在C处测得旗杆顶端的仰角为15° ,朝旗杆方向前进20米到达D处 ,再次测得旗杆的仰角为30° ,求旗杆AB的高度．
19．某毕业班联欢晚会设计的即兴表演的摸牌游戏．游戏采用了一个不透明的盒子里面装有5个分别标有1 ,2 ,3 ,4 ,5的乒乓球 ,这些球除数字外 ,其它完全相同．游戏规那么是 ,参加连环会的50名同学 ,每人将盒子里的5个乒乓球摇匀后 ,闭上眼睛随机摸出一个球 ,记下球上标记的数字；把球放回 ,重复上次摸球再摸出一个 ,记下球上标记的数字．假设两次球上数字之和是偶数 ,就给大家即兴表演一个节目；否那么 ,下一个同学接着做摸球游戏 ,依次进行．
(1 )求参加联欢会的某位同学即兴表演的概率；
(2 )估计本次联欢会上有多少同学即兴表演节目 ?
20．：如图 ,AB是⊙O的直径 ,C是⊙O上一点 ,OD⊥BC于点D ,过点C作⊙O的切线 ,交OD的延长线于点E ,连接BE．
(1 )求证：BE与⊙O相切；
(2 )连接AD并延长交BE于点F ,假设OB =9 ,sin∠ABC = ,求BF的长．
21．如图 ,抛物线解析式是y =﹣x2 +bx (b＞0 ) ,是否存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ?假设存在 ,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；假设不存在请说明理由．
2022-2023年山东省邹城市第六中学南校区中考三模数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 (每题3分 ,共30分 )
1． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )以下函数式二次函数的是 ( )
A．y =ax2 +bx +c B．y = (2x﹣1 )2﹣4x2
C． D．y = (x﹣1 ) (x﹣2 )
【分析】根据二次函数的定义 (一般地 ,形如y =ax2 +bx +c (a、b、c是常数 ,a≠0 )的函数 ,叫做二次函数 )进行判断．
【解答】解：A、当a =0时 ,y =ax2 +bx +c不是二次函数 ,故本选项错误；
B、由y = (2x﹣1 )2﹣4x2得到y =﹣4x +1 ,属于一次函数 ,故本选项错误；
C、该等式的右边是分式 ,不是整式 ,不符合二次函数的定义 ,故本选项错误；
D、由原函数解析式得到y =x2﹣3x +2 ,符合二次函数的定义 ,故本选项正确；
应选：D．
【点评】此题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数 ,首|先是要看它的右边是否为整式 ,假设是整式且仍能化简的要先将其化简 ,然后再根据二次函数的定义作出判断 ,要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2． (3分 ) (2021•潍坊二模 )在△ABC中 ,假设三边BC、CA、AB满足BC：CA：AB =5：12：13 ,那么cosB = ( )
A． B． C． D．
【分析】设比例的每一份为k ,由比例式表示出三角形的三边 ,然后利用勾股定理的逆定理判断出此三角形为直角三角形 ,根据锐角三角函数定义 ,用∠B的对边AC比上斜边AB ,化简后可得出cosB的值．
【解答】解：由△ABC三边满足BC：CA：AB =5：12：13 ,
可设BC =5k ,CA =12k ,AB =13k ,
∵BC2 +CA2 = (5k )2 + (12k )2 =25k2 +144k2 =169k2 ,AB2 = (13k )2 =169k2 ,
∴BC2 +CA2 =AB2 ,
∴△ABC为直角三角形 ,∠C =90° ,
那么cosB = = =．
应选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理 ,比例的性质 ,以及锐角三角函数定义 ,利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形是解此题的关键．
3． (3分 ) (2021•陕西 )同一平面内的两个圆 ,他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d ,当1＜d＜5时 ,两圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．相交 C．内切或外切 D．内含
【分析】根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交 ,那么R﹣r＜d＜R +r (d表示圆心距 ,R ,r分别表示两圆的半径 )．
【解答】解：∵他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d ,当1＜d＜5时 ,
∴两圆的位置关系是相交．
应选B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是抓住两圆位置关系与数量关系间的联系：外离 ,那么d＞R +r；外切 ,那么d =R +r；相交 ,那么R﹣r＜d＜R +r；内切 ,那么d =R﹣r；内含 ,那么d＜R﹣r． (d表示圆心距 ,R ,r分别表示两圆的半径 )．
4． (3分 ) (2021•陕西 )如图 ,过y轴上任意一点P ,作x轴的平行线 ,分别与反比例函数的图象交于A点和B点 ,假设C为x轴上任意一点 ,连接AC ,BC ,那么△ABC的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先设P (0 ,b ) ,由直线AB∥x轴 ,那么A ,B两点的纵坐标都为b ,而A ,B分别在反比例函数的图象上 ,可得到A点坐标为 (﹣ ,b ) ,B点坐标为 ( ,b ) ,从而求出AB的长 ,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设P (0 ,b ) ,
∵直线AB∥x轴 ,
∴A ,B两点的纵坐标都为b ,
而点A在反比例函数y =﹣的图象上 ,
∴当y =b ,x =﹣ ,即A点坐标为 (﹣ ,b ) ,
又∵点B在反比例函数y =的图象上 ,
∴当y =b ,x = ,即B点坐标为 ( ,b ) ,
∴AB =﹣ (﹣ ) = ,
∴S△ABC =•AB•OP =•b =3．
应选：A．
【点评】此题考查了点在函数图象上 ,点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式．
5． (3分 ) (2021•陕西 )假设二次函数y =x2﹣6x +c的图象过A (﹣1 ,y1 ) ,B (2 ,y2 ) ,C ( ,y3 ) ,那么y1 ,y2 ,y3的大小关系是 ( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征 ,将A (﹣1 ,y1 ) ,B (2 ,y2 ) ,C ( ,y3 )分别代入二次函数的解析式y =x2﹣6x +c求得y1 ,y2 ,y3 ,然后比拟它们的大小并作出选择．
【解答】解：根据题意 ,得
y1 =1 +6 +c =7 +c ,即y1 =7 +c；
y2 =4﹣12 +c =﹣8 +c ,即y2 =﹣8 +c；
y3 =9 +2 +6﹣18﹣6 +c =﹣7 +c ,
即y3 =﹣7 +c；
∵7＞﹣7＞﹣8 ,
∴7 +c＞﹣7 +c＞﹣8 +c ,
即y1＞y3＞y2．
应选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征 (图象上的点都在该函数的图象上 )．解答此题时 ,还利用了不等式的根本性质：在不等式的两边加上同一个数 ,不等式仍成立．
6． (3分 ) (2021•安徽 )假设二次函数y =x2 +bx +5配方后为y = (x﹣2 )2 +k ,那么b、k的值分别为 ( )
A．0 ,5 B．0 ,1 C．﹣4 ,5 D．﹣4 ,1
【分析】可将y = (x﹣2 )2 +k的右边运用完全平方公式展开 ,再与y =x2 +bx +5比拟 ,即可得出b、k的值．
【解答】解：∵y = (x﹣2 )2 +k =x2﹣4x +4 +k =x2﹣4x + (4 +k ) ,
又∵y =x2 +bx +5 ,
∴x2﹣4x + (4 +k ) =x2 +bx +5 ,
∴b =﹣4 ,k =1．
应选D．
【点评】此题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等．
7． (3分 ) (2021•安徽 )如图 ,⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部 ,∠BAC =90° ,OA =1 ,BC =6 ,那么⊙O的半径为 ( )
A． B．2 C．3 D．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：假设过A作BC的垂线 ,设垂足为D ,那么AD必垂直平分BC；由垂径定理可知 ,AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质 ,易求出BD、AD的长 ,进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．
【解答】解：过A作AD⊥BC ,由题意可知AD必过点O ,连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形 ,AD⊥BC ,
∴BD =CD =AD =3；
∴OD =AD﹣OA =2；
Rt△OBD中 ,根据勾股定理 ,得：
OB = =．
应选D．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质 ,以及垂径定理、勾股定理的应用．
8． (3分 ) (2021•山西 )在一个不透明的袋中 ,装有假设干个除颜色不同外其余都相同的球 ,如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 ,那么袋中球的总个数为 ( )
A．15个 B．12个 C．9个 D．3个
【分析】利用红球的概率公式列出方程求解即可．
【解答】解：设袋中共有x个球 ,根据概率定义 ,
=；
x =12．
袋中球的总个数为12个．
应选B．
【点评】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能 ,而且这些事件的可能性相同 ,其中事件A出现m种结果 ,那么事件A的概率P (A ) =．
9． (3分 ) (2021•南京 )如图 ,夜晚 ,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B ,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化 ,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为 ( )
A． B． C． D．
【分析】等高的物体垂直地面时 ,在灯光下 ,离点光源近的物体它的影子短 ,离点光源远的物体它的影子长．
【解答】解：设身高GE =h ,CF =l ,AF =a ,
当x≤a时 ,
在△OEG和△OFC中 ,
∠GOE =∠COF (公共角 ) ,∠AEG =∠AFC =90° ,
∴△OEG∽△OFC ,
∴ = ,
∴ = ,
∴y =﹣x + ,
∵a、h、l都是固定的常数 ,
∴自变量x的系数是固定值 ,
∴这个函数图象肯定是一次函数图象 ,即是直线；
∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短 ,到灯下的时候 ,将是一个点 ,进而随着离灯光的越来越远而影长将变大．
应选：A．
【点评】此题综合考查了中|心投影的特点和规律．注意离点光源的远近决定影长的大小．
10． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,⊙O中 ,直径AB =10 ,AC =6 ,CD平分∠ACB交圆于点D ,那么CD = ( )
A．7 B． C． D．9
【分析】根据直径所对的圆周角是直角 ,以及角平分线的定义可得∠ACD =∠BCD =45° ,过A作AM⊥CD ,过B作BN⊥CD ,垂足分别为M、N ,得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形 ,根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM =AC ,BN =BC ,再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等 ,根据全等三角形对应边相等得到DN =AM ,所以DN =CM ,从而得到CM +CN =DN +CN =CD．
【解答】解：过A作AM⊥CD ,过B作BN⊥CD ,垂足分别为M、N ,连接AD ,
∵AB为直径 ,
∴∠ACB =90° ,
∵AB =10 ,AC =6 ,
∴BC = =8 ,
∵CD平分∠ACB交⊙O于D ,
∴∠ACD =∠BCD =45° ,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形 ,AD =BD ,
在Rt△ACM中 ,CM =AC =×6 =3 ,在Rt△BCN中 ,CN =×8 =4 ,
∴CM +CN =7 ,
∵AB是直径 ,
∴∠ADB =90° ,
∴∠ADM +∠BDN =90° ,
又∵∠BDN +∠DBN =90° ,
∴∠ADM =∠DBN ,
在△ADM与△BDN中 ,
,
∴△ADM≌△BDN (AAS ) ,
∴DN =AM ,
又∵AM =CM (等腰直角三角形两直角边相等 ) ,
∴CM =DN ,
∴CD =CN +DN =CN +CM =7．
应选B．
【点评】此题考查了圆周角定理 ,全等三角形的判定与性质 ,以及等腰直角三角形的判定与性质 ,作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键．
二、填空题 (每题3分共18分 )
11． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )方程x2﹣4x﹣5 =0的根是 x1 =5 ,x2 =﹣1 ．
【分析】把方程左边进行因式分解得到 (x﹣5 ) (x +1 ) =0 ,那么方程就可化为两个一元一次方程x﹣5 =0 ,或x +1 =0 ,解两个一元一次方程即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣5 =0 ,
∴ (x﹣5 ) (x +1 ) =0 ,
∴x﹣5 =0或x +1 =0 ,
∴x1 =5 ,x2 =﹣1．
故答案为：x1 =5 ,x2 =﹣1．
【点评】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠0 )的方法：先把方程化为一般式 ,再把方程左边进行因式分解 ,然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程 ,解两个一元一次方程即可．
12． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )某地区为估计该地区黄羊的只数 ,先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志 ,然后放回 ,待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后 ,第二次捕捉40只黄羊 ,发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊 400只 ．
【分析】捕捉40只黄羊 ,发现其中2只有标志．说明有标记的占到 ,而有标记的共有20只 ,根据所占比例解得．
【解答】解：20÷ =400 (只 )．
故答案为400只．
【点评】统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息 ,此题表达了统计思想 ,考查了用样本估计总体．
13． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )某二次函数图象经过 (1 ,8 ) , (3 ,﹣1 ) , (5 ,8 ) ,那么该图象的对称轴的解析式为 x =3 ．
【分析】根据二次函数的对称性可知 ,点 (1 ,8 )和点 (5 ,8 )关于二次函数的对称轴对称 ,根据对称轴x = ,即可求得答案．
【解答】解：∵点 (1 ,8 )和点 (5 ,8 )关于二次函数的对称轴对称 ,
∴对称轴x = =3．
故答案为：x =3．
【点评】此题考查二次函数的性质 ,利用二次函数的对称性求二次函数的对称轴 ,注意抓住图象上点的特征 ,选用适当的方法解答．
14． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,转动白色扇形的圆心角为90°的转盘 ,指针指向红色区域的概率为 ．
【分析】利用得出红色扇形的圆心角 ,再利用概率公式 ,指向红色区域的概率 = ,进而得出即可．
【解答】解：∵白色扇形的圆心角为90° ,
∴红色扇形的圆心角为360°﹣90° =270° ,
∴指针指向红色区域的概率为： =．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率 ,熟练掌握几何概率公式 ,进而求出是解题关键．
15． (3分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )圆锥的侧面展开图是半圆 ,那么该圆锥的轴截面形状是 等边三角形 ．
【分析】设半圆的半径为R ,圆锥的底面圆的半径为r ,根据圆锥的侧面展开图为一扇形 ,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 ,扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr =•2πR ,那么R =2r ,所以圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径 ,然后根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：设半圆的半径为R ,圆锥的底面圆的半径为r ,
∴2πr =•2πR ,
∴R =2r ,
∴圆锥的母线长等于圆锥底面圆的直径 ,
∴该圆锥的轴截面形状为等边三角形．
故答案为等边三角形．
【点评】此题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形 ,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 ,扇形的半径等于圆锥的母线长．
16． (3分 ) (2021•吉林 )如图 ,AB是⊙O的直径 ,点C在⊙O上 ,∠ABC =50° ,动点P在弦BC上 ,那么∠PAB可能为 大于或等于0并且且小于或等于40的任意一个数皆可 度 (写出一个符合条件的度数即可 )．
【分析】连接AC ,由圆周角定理易知∠ACB =90° ,由此可求得∠CAB =40° ,假设P在BC上运动 ,根据∠CAB的度数即可得到∠PAB的取值范围 ,只要在这个范围内的度数均符合∠PAB的条件．
【解答】解：连接AC；
∵AB是⊙O的直径 ,
∴∠ACB =90°；
∴∠CAB =90°﹣∠ABC =40°；
∵P在弦BC上运动 ,
∴0°≤∠PAB≤40°；
故∠PAB的度数可能是20°或30°… (答案不唯一 ,符合∠PAB的取值范围即可 )．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角．
三、解答题
17． (8分 ) (2021•雁塔区校级|模拟 )β是锐角 ,且sin (β +15° ) = ,计算﹣4cosβ﹣tan45° +tan230°．
【分析】利用特殊角的三角函数值得出β的度数 ,再化简各数求出即可．
【解答】解：∵sin (β +15° ) = ,
∴β +15° =60° ,
∴β =45° ,
∴﹣4cosβ﹣tan45° +tan230°
=2﹣4×﹣1 + ( )2
=﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值 ,正确记忆相关数据是解题关键．
18． (2021•雁塔区校级|模拟 )测量旗杆的高度 ,在C处测得旗杆顶端的仰角为15° ,朝旗杆方向前进20米到达D处 ,再次测得旗杆的仰角为30° ,求旗杆AB的高度．
【分析】首|先分析图形：根据题意构造直角三角形 ,利用在Rt△DAB中 ,由sin∠ADB = ,得出AB的长度 ,即可求出旗杆AB的高度．
【解答】解：由得：∠C =15° ,∠ADB =30° ,
∴∠CAD =15° ,
∴∠CAD =∠C ,
∴DC =AD =20米 ,
在Rt△DAB中 ,
由sin∠ADB = ,得：
AB =AD•sin∠ADB =20×sin30° =10 (米 ) ,
答：旗杆AB的高度为10米．
【点评】此题主要考查了仰角问题应用 ,要求学生借助仰角关系构造直角三角形 ,并结合图形利用三角函数解直角三角形．
19． (2021•雁塔区校级|模拟 )某毕业班联欢晚会设计的即兴表演的摸牌游戏．游戏采用了一个不透明的盒子里面装有5个分别标有1 ,2 ,3 ,4 ,5的乒乓球 ,这些球除数字外 ,其它完全相同．游戏规那么是 ,参加连环会的50名同学 ,每人将盒子里的5个乒乓球摇匀后 ,闭上眼睛随机摸出一个球 ,记下球上标记的数字；把球放回 ,重复上次摸球再摸出一个 ,记下球上标记的数字．假设两次球上数字之和是偶数 ,就给大家即兴表演一个节目；否那么 ,下一个同学接着做摸球游戏 ,依次进行．
(1 )求参加联欢会的某位同学即兴表演的概率；
(2 )估计本次联欢会上有多少同学即兴表演节目 ?
【分析】 (1 )利用树状图表示出所有的结果即可 ,然后根据概率公式即可求出该事件的概率；
(2 )利用 (1 )中所求概率 ,即可得出即兴表演节目的人数．
【解答】解： (1 )如下表：
1
2
3
4
5
1
(1 ,1 )
(1 ,2 )
(1 ,3 )
(1 ,4 )
(1 ,5 )
2
(2 ,1 )
(2 ,2 )
(2 ,3 )
(2 ,4 )
(2 ,5 )
3
(3 ,1 )
(3 ,2 )
(3 ,3 )
(3 ,4 )
(3 ,5 )
4
(4 ,1 )
(4 ,2 )
(4 ,3 )
(4 ,4 )
(4 ,5 )
5
(5 ,1 )
(5 ,2 )
(5 ,3 )
(5 ,4 )
(5 ,5 )
从上表可以看出 ,
∵一次性共有20种可能结果 ,其中两数为偶数的共有8种．
将参加联欢会的某位同学即兴表演节目记为事件A ,
∴P (A ) =P (两数和为偶数 ) =；
(2 )∵50× =26 (人 ) ,
∴估计有26名同学即兴表演节目．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果 ,适合于两步完成的事件．
20． (2021•北京 )：如图 ,AB是⊙O的直径 ,C是⊙O上一点 ,OD⊥BC于点D ,过点C作⊙O的切线 ,交OD的延长线于点E ,连接BE．
(1 )求证：BE与⊙O相切；
(2 )连接AD并延长交BE于点F ,假设OB =9 ,sin∠ABC = ,求BF的长．
【分析】 (1 )连接OC ,先证明△OCE≌△OBE ,得出EB⊥OB ,从而可证得结论．
(2 )过点D作DH⊥AB ,根据sin∠ABC = ,可求出OD =6 ,OH =4 ,HB =5 ,然后由△ADH∽△AFB ,利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
【解答】证明： (1 )连接OC ,
∵OD⊥BC ,
∴∠COE =∠BOE ,
在△OCE和△OBE中 ,
∵ ,
∴△OCE≌△OBE ,
∴∠OBE =∠OCE =90° ,即OB⊥BE ,
∵OB是⊙O半径 ,
∴BE与⊙O相切．
(2 )过点D作DH⊥AB ,连接AD并延长交BE于点F ,
∵∠DOH =∠BOD ,∠DHO =∠BDO =90° ,
∴△ODH∽△OBD ,
∴ = =
又∵sin∠ABC = ,OB =9 ,
∴OD =6 ,
易得∠ABC =∠ODH ,
∴sin∠ODH = ,即 = ,
∴OH =4 ,
∴DH = =2 ,
又∵△ADH∽△AFB ,
∴ = , = ,
∴FB =．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质 ,解答此题的关键是掌握切线的判定定理 ,在第二问的求解中 ,一定要注意相似三角形的性质的运用．
21． (2021•雁塔区校级|模拟 )如图 ,抛物线解析式是y =﹣x2 +bx (b＞0 ) ,是否存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ?假设存在 ,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；假设不存在请说明理由．
【分析】由于矩形的对角线相等且互相平分 ,所以假设存在以原点O为对称中|心的矩形ABCD ,那么必须满足OA =OB ,又AO =BO ,这个 "抛物线三角形〞必须是等边三角形 ,首|先用b表示出AE、OE的长 ,通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值 ,进而确定A、B的坐标 ,即可确定C、D的坐标 ,利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．
【解答】解：存在
如图 ,
作△OCD与△OAB关于原点O中|心对称 ,那么四边形ABCD为平行四边形．
当OA =OB时 ,平行四边形ABCD是矩形 ,
又∵AO =AB ,AO =BO ,
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB =60° ,
作AE⊥OB ,垂足为E ,
∴AE =OEtan∠AOB =OE．
∴ =• (b＞0 )．
∴b =2．
∴A ( ,3 ) ,B (2 ,0 )．
∴C (﹣ ,﹣3 ) ,D (﹣2 ,0 )．
设过点O、C、D的抛物线为y =mx2 +nx ,那么 ,
解得．
故所求抛物线的表达式为y =x2 +2x．
【点评】此题考查二次函数的性质及解析式确实定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识 ,重在考查根底知识的掌握情况．
参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；dbz1018；zcx；gsls；HLing；MMCH；CJX；lanchong；bjf；73zzx；gbl210；Linaliu；sd2021；caicl；sjzx (排名不分先后 )
2021年11月24日
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