冲刺卷04——备考2023中职高考数学冲刺模拟卷（上海适用）

2023年上海市普通高等学校

面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试

数学模拟试卷四

（满分100分，考试时间100分钟）

一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先利用一元二次不等式化简集合A，再利用交集运算求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：D.

2．函数的单调递减区间为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果．

【详解】解：函数的二次项的系数大于零，

抛物线的开口向上，

二次函数的对称轴是，

函数的单调递减区间是

故选A．

【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题．

3．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调增区间是（    ）

A． B．

C．(－∞，0) D．

【答案】A

【解析】先求出函数的导函数，令导函数大于0，解不等式求出即可．

【详解】f（x）＝x2（2﹣x），

∴f′（x）＝x（4﹣3x），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，

故选：A．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，是一道基础题．

4．复数z＝i（1－i）的模| z |＝（    ）

A． B．2 C．1 D．3

【答案】A

【分析】直接计算模即可

【详解】，

故选：A

5．用列表法将函数表示为（见表格）则下列判断正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】由题意得，，，再根据奇偶性的定义判断即可得出结论．

【详解】解：由表格得，，，

则，，，

则，则为奇函数，则为偶函数不成立；

若为奇函数，即，则有函数的图象关于点对称，由题设推不出，不成立；

若为偶函数，即，则有函数的图象关于直线对称，由题设推不出，不成立；

故选：C．

【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，运用定义法是解题的关键，属于基础题．

6．六一儿童节，某幼儿园的每名小朋友制作了一件礼物．该幼儿园将小朋友们进行分组，每4位小朋友为一组，小组内小朋友随机拿一件本组小朋友制作的礼物，则小朋友A没有拿到自己制作的礼物的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出基本事件总数（24）和所求事件包含的基本事件个数（18），进而可得结果.

【详解】根据题意，每个小朋友随机拿一件礼物，共有种结果，其中小朋友A没有拿到自己的礼物含有种结果，所以概率为．

故选：D．

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7．不等式的解集为___________．

【答案】

【详解】不等式的解集为.

【考点定位】二次不等式的解法

8．复数，则__________.

【答案】3

【分析】根据复数的乘法运算和复数相等，即可求解.

【详解】，则，解得：.

故答案为：3.

9．不等式的解集是______________．

【答案】

【详解】或.

即答案为.

10．若，则______．

【答案】

【分析】根据给定条件利用诱导公式求解即得.

【详解】因，则，即，

所以.

故答案为：

11．已知是等差数列的前项和，若，则_______

【答案】21

【分析】根据题中条件，由等差数列的性质求出；再由等差数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】因为是等差数列的前项和，

若，由等差数列的性质可得，则，即；

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查等差数列前项和基本量的运算，考查等差数列性质的简单应用，属于基础题型.

12．已知矩阵，，，且，则的值为__.

【答案】6.

【分析】由矩阵加法运算可得，求出，即可得出结论.

【详解】由题意，，∴，，

∴.

故答案为：6.

【点睛】本题考查矩阵的加法运算，属于基础题．

13．在中，，的面积，则=______

【答案】12

【分析】利用三角形面积公式即可得到结果.

【详解】∵，的面积，

∴

∴=12

故答案为：12

【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，属于基础题.

14．函数的最小正周期等于_____.

【答案】

【分析】利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期求得答案.

【详解】因为函数

故最小正周期等于.

故答案为：

【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期，属于基础题.

15．若，，则______.（结果用、表示）.

【答案】

【分析】根据对数公式化简求解.

【详解】

故答案为：

16．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分别为4，5，则输出的值为______.

【答案】1055

【分析】模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.

【详解】模拟执行程序如下：

，满足，

，满足，

，满足，

，满足，

，不满足，

输出.

故答案为：1055.

【点睛】本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.

17．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有_________种．

【答案】

【分析】先进行分类，然后计算出不同的方法总数.

【详解】依题意，个人的分组方法有或两种情况.

当分组方法为时，甲单独，其他人分成两组，再安排到个社区，方法数为种.

当分组方法为时，甲单独，其他人分成两组，再安排到个社区，方法数为种，

故总的方法数有种.

故答案为：

18．已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为______．

【答案】或

【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.

【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长，则圆锥侧面展开图扇形弧长为，

依题意，，即，解得或，

当时，圆锥的高，体积为，

当时，圆锥的高，体积为，

所以该圆锥的体积为或.

故答案为：或

三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤．

19．（本题满分6分）每小题满分各为3分．

（1）已知(是虚数单位)是方程()的一个复根,求实数,的值;

（2）在复数范围内解方程:.

【答案】（1）,

（2）,

【分析】（1）将代入方程,再根据复数相等列方程求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【详解】（1）根据题意得:,

所以,

则,

解得:,.

（2）因为,

所以,

得,

即，.

20．（本题满分6分）每小题满分各为3分．

如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.

求证:(1)BC1⊥AB1.

(2)BC1∥平面CA1D．

【答案】见解析

【详解】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC=BC=BB1=2,

则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),

C1(0,0,0),D(1,1,2).

(1)由于=(0,-2,-2),

=(-2,2,-2),

所以·=0-4+4=0,

因此⊥,

故BC1⊥AB1.

(2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),

所以=(0,1,1).

又=(0,-2,-2),

所以=-.

又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1.

又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,

故BC1∥平面CA1D.

21．（本题满分8分）第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为5分．

设数列满足，.

（1）求的通项公式及前项和；

（2）已知是等差数列，为前项和，且，，求.

【答案】（1）;（2）

【分析】（1）判断数列为等比数列，直接利用等比数列公式得到答案.

（2）先计算等差数列的首项和公差，再利用公式计算得到答案.

【详解】（1）∵数列满足，∴

∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列

∴的通项公式，前项和；

（2）由（1）可得，∴公差

∴.

【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的公式，意在考查学生的计算能力.

22．（本题满分8分）第（1）小题满分为5分，第（2）小题满分为3分．

已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.

(1)求圆的方程；

(2)已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；

（2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.

【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，

则圆的方程为；

（2）由（1）可知：圆的半径，

设圆心到的距离为，则，

所以.

23．（本题满分9分）第（1）小题满分为5分，第（2）小题满分为4分．

函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x总有，成立．

(1)若，求；

(2)求证：函数符合题设条件．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用赋值法令与，结合分别求出与，即可得解；

（2）假设存在常数满足，所以，设，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可证明；

【详解】（1）解：因为，所以，

又，所以，又，所以，

所以

（2）解：因为的定义域为，

假设存在常数满足，即，所以，

设，显然在上单调递增，又，，

所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数符合题设条件；

24．（本题满分9分）第（1）小题满分为4分，第（2）小题满分为5分

某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x万件，需另投入成本为．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入-总成本）

(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；

(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．

【答案】(1)

(2)生产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元

【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本，结合已知分段可得；

（2）分别根据二次函数的性质和基本不等式可得各段函数的最大值，然后比较可得.

【详解】（1）当，时，．

当时，．

∴．

（2）当时，

∴当时，取得最大值100（万元），

当时，,

当且仅当，即时等号成立．

即时，取得最大值1100万元．

∵，∴生产量为90万件时，

该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1100万元．