冲刺卷03——备考2023中职高考数学冲刺模拟卷（上海适用）

2023年上海市普通高等学校

面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试

数学模拟试卷三

（满分100分，考试时间100分钟）

一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件列举法表示出集合B，由交集的定义即可求出.

【详解】集合，，

.

故选：A

2．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可.

【详解】对于A，函数在上递减，故A不符题意；

对于B，函数的定义域为，关于原点对称，

因为，所以函数为奇函数，

又函数在单调递增，故B符合题意；

对于C，函数的定义域为，关于原点对称，

因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意；

对于D，函数，

因为，所以函数不是增函数，故D不符题意.

故选：B.

3．若复数，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数除法几何意义求复数的模.

【详解】由.

故选：B

4．函数的单调递增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，求出不等式的解后可得其增区间.

【详解】的定义域为，

而，令，则，

而，故，

故的增区间为.

故选：A.

5．若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.

【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，

故体积为.

故选：A

6．小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分小王在正中间和不在正中间两种情况讨论，求出小王不在两端，且小李不在正中间位置的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】第一种情况：小王在正中间，排法数为；

第二种情况：小王不在正中间，先排小王有种排法，再排小李有种排法，剩下的同学有种排法．

记“小王不在两端，且小李不在正中间位置”为事件，则．

故选：A．

二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）

7．不等式的解集为___________

【答案】

【分析】根据解一元二次不等式的方法，直接求解.

【详解】，即，

解得：

所以不等式的解集为.

故答案为：

8．计算：log43×=____．

【答案】/

【分析】利用对数换底公式化简计算即可.

【详解】原式.

故答案为：

9．函数的最小正周期为____________．

【答案】

【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.

【详解】直接根据余弦函数周期公式得，

故答案为：.

10．在中，，，，则的面积为________．

【答案】

【分析】先求得，然后利用三角形的面积公式求得正确答案.

【详解】由于，所以为锐角，则，

所以.

故答案为：

11． ________

【答案】

【分析】由矩阵的加法运算即可求解．

【详解】解：

故答案为：．

12．设等差数列的前项和为，若，，则公差 ______

【答案】2

【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．

【详解】设等差数列的公差为d，

因为等差数列的前项和为，，

所以，所以公差．

故答案为：．

13．若，则__________.

【答案】

【分析】利用诱导公式求值即可.

【详解】.

故答案为：

14．若不等式，则x的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.

【详解】∵，则，解得，

∴x的取值范围是.

故答案为：.

15．某学校安排6名高三教师去2个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有2名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有_____________种．

【答案】50

【分析】分3种情况分类讨论，第一个学校去2名教师第二个学校去4名教师；第一个学校去3名教师第二个学校去3名教师；第一个学校去4名教师第二个学校去2名教师，计算可得答案.

【详解】第一个学校去2名教师第二个学校去4名教师，有种方法；

第一个学校去3名教师第二个学校去3名教师，有种方法；

第一个学校去4名教师第二个学校去2名教师，有种方法，

则共有种不同的安排方式.

故答案为：50．

16．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为________．

【答案】

【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥底面圆的半径，由勾股定理求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解.

【详解】由题意知，圆锥的侧面积为，

解得，所以圆锥的高为，

故圆锥的体积为．

故答案为：.

17．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入，的值分别为3，3．则输出的值为______．

【答案】48.

【分析】模拟程序运行，依次写出每次循环得到的数值即可.

【详解】初始值，，程序运行过程如下：

，；

，；

，；

，不满足条件，跳出循环，输出的值为48.

故答案为：48.

18．设是虚数单位，复数的模长为__________.

【答案】

【分析】先根据复数的除法化简，然后由模长公式可得.

【详解】解：模长为.

故答案为：.

三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤．

19．（本题满分6分）每小题满分各为3分．

（1）已知(是虚数单位)是方程()的一个复根,求实数,的值;

（2）在复数范围内解方程:.

【答案】（1）,

（2）,

【分析】（1）将代入方程,再根据复数相等列方程求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【详解】（1）根据题意得:,

所以,

则,

解得:,.

（2）因为,

所以,

得,

即，.

20．（本题满分6分）每小题满分各为3分．

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:

(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；

(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；

（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积.

【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，

根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，

在Rt△ECD中，CD=，

又D是CC1的中点，故侧棱长为2.

（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.

所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2.

21．（本题满分8分）第（1）小题满分为3分，第（2）小题满分为5分．

当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径．某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元，每生产万件，需另投入成本（万元）．当年产量不足万件时，；当年产量不小于万件时，．通过市场分析，若每万件售价为400万元时，该厂年内生产的防护用品能全部售完．(利润=销售收入－总成本)

(1)求出年利润（万元）关于年产量（万件）的解析式；

(2)年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．

【答案】(1)

(2)当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元

【分析】（1）根据题意直接利用利润=销售收入－总成本，写出分段函数的解析式即可；

（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个最大的即可.

【详解】（1）当且时，

，

当且时，

综上：

（2）当且时，

∴当时，取最大值（万元）

当且时，

当且仅当，即时等号成立．

∴当时，取最大值（万元）

∵，

综上所述，当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元.

22．（本题满分8分）第（1）小题满分为5分，第（2）小题满分为3分．

已知函数的定义域为.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求不等式的解集.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）考虑和两种情况，得到函数单调性.

（2）确定，根据函数单调性得到，解得答案.

【详解】（1）当，即时，函数在上是减函数；

当，即时，函数在上是增函数.

综上所述：

时，函数在上是减函数；

时，函数在上是增函数.

（2）等价于，

当时，函数在上是增函数，

，即.

故当时，不等式的解集为.

23．（本题满分9分）第（1）小题满分为5分，第（2）小题满分为4分．

已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.

(1)求圆的方程；

(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；

（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.

【详解】（1）设圆心为，半径为,

则由题意得，故该圆的方程为.

（2）圆心到直线的距离为，

由垂径定理得：，解得.

24．（本题满分9分）第（1）小题满分为4分，第（2）小题满分为5分

小明今年上高中，小明的爸爸为他办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1日都存入1000元，共存三年.（“教育储蓄”､“零存整取”均不按复利计算）

(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为‰，则3年后小明考上大学的时候，小明的爸爸可以从银行一次可支取多少元？

(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是‰ ，则小明的爸爸办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？

【答案】(1)37798.2元

(2)649.35元.

【分析】（1）计算出每1000元“教育储蓄”存一个月得到的利息，利用等差数列的前n项和公式即可求得每个月的1日都存入1000元，共存三年，一次可支取的钱数.

（2）求出每1000元“零存整取”存一个月得到的利息，求得每个月的1日都存入1000元，共存三年的利息，即可求得答案.

【详解】（1）每1000元“教育储蓄”存一个月得到的利息是‰元，

第1个1000元存36个月，得利息2.7×36元，

第2个1000元存35个月，得利息2.7×35元，

…………

第36个1000元存1个月，得利息2.7×1元，

因此，3年后小明的爸爸获得利息为：

（元），

所以本息和为(元).

（2）每1000元“零存整取”存一个月得到的利息是‰元

因此，若是“零存整取”，3年后，小明的爸爸获得利息为：

=1148.85（元），

因此，小明的爸爸多收益（元），

所以，小明的爸爸办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元.