云南省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

云南省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：__________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，且与的夹角为，则的值为（    ）

A． B．2

C． D．1

3．若复数是纯虚数，则（   ）

A． B． C． D．

4．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．在等差数列中，已知，，则等于（    ）

A．32 B． C．35 D．

7．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）

A． B． C． D．

8．平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的表面积为（     ）

A． B． C． D．

9．一列波沿x轴正方向传播，其波函数的表达式为，是函数f（x）相邻的两个零点；另一列波沿x轴负方向传播，其波函数的表达式为；在某一时刻，两列波的图象如图所示；函数表示两列波叠加之后的波函数（叠加后的波函数为原来两个波函数的和），则下列说法正确的有（    ）

①；②是函数的一个零点；③函数h（x）的最小正周期是；④函数h（x）的振幅为1；⑤函数h（x）的振幅为．

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤

10．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（    ）（参考数据：取）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．若存在，满足，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题

13．若，满足约束条件，则的最小值为____________．

14．已知样本的平均数是10，方差是4，则_____;

15．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．

16．已知数列满足，数列满足，若，记为数列的前项和，则__________．

三、解答题

17．在中，内角所对的边分别为，且.

(1)求C；

(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.

18．如下图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点E，F分别是，上的动点，且．

(1)求证：平面；

(2)如果，PC与底面ABCD所成角的正弦值为，求平面PAE与平面AED夹角的余弦值．

19．根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量y（单位：千吨）与年份的散点图如下：

记年份代码为，，对数据处理后得：

(1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为y关于x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到0.01）.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

20．函数且

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）定义在R上的函数满足，当时，．若存在满足不等式且是函数的一个零点，求实数a的取值范围．

21．已知圆：，直线过点.

（1）若与圆相切，求的斜率；

（2）当的倾斜角为时，与轴交于点，与圆在第一象限交于点，设，求实数的值.

22． 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（其中）.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）已知为曲线C上一点，求的最大值及取得最大值时点M的坐标.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】根据指数函数性质求出，再根据交集的含义即可得到答案.

【详解】，

所以，所以，

故选：C.

2．D

【分析】由向量夹角的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：由向量夹角的坐标表示得：

，解得：；

故选：D．

3．D

【解析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果.

【详解】因为是纯虚数，

所以，则，．

故选：D.

4．D

【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案.

【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为.

故选：D

5．C

【分析】求出的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果.

【详解】设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，

则，可得，

所以，椭圆的焦点在轴上，则.

故选：C.

6．C

【解析】由，，求出首项和公差，从而可得通项公式，进而可得答案

【详解】解：设等差数列的公差为，则由题意得

，解得，

所以，

故选：C

【点睛】此题考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题

7．B

【分析】根据输入，，利用给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】因为，，第一次循环除以的余数是，此时，，不符合“”，继续循环，第二次循环，除以的余数是，此时，，不符合“”，继续循环，第三次循环，除以的余数是，此时，，不符合“”，继续循环，第四次循环，除以的余数是23，此时，，符合“”，此时.

故选：B.

8．C

【分析】由题意可知球心到平面的垂线和平面截球的球面所得圆的半径与球体的半径成直角三角形，球体半径是直角三角形的斜边，结合题意求得球体半径为，根据球表面公式，代入运算．

【详解】如图所示：在中，则有，即

∴，则球的表面积为

故选：C．

9．B

【分析】根据相邻的两个零点求得，进而求得，从而判断①的正确性.由来判断②的正确性.结合三角恒等变换化简，由此求得的最小正周期、振幅，从而判断③④⑤的正确性.

【详解】因为是函数的两个相邻的零点，设的最小正周期为，

所以则所以故①正确；

所以②正确；

由图知，是函数单调增区间上的一个零点，

所以由于

所以则

故函数的最小正周期是函数的振幅为

所以③④错误，⑤正确.

故选：B

10．C

【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.

【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，

则由，得，

所以，

故正整数的最小值为.

故选：C.

【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

11．A

【分析】根据题意可知，若在线段上（不含端点）存在两点，使得，则以为直径的圆与直线相交，利用直线与圆的位置关系和点到直线距离公式求解.

【详解】双曲线的两顶点分别为，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，

则可得，

则直线的方程为

若在线段上（不含端点）存在两点，使得，

则以为直径的圆与直线相交，

圆的方程和半径分别为 ，

所以满足圆心到直线的距离小于半径，即，

化简可得 ，

又因为，代入上式化简可得，

将不等式两边同时除以可得，

令，上述不等式可化为

令解得，（舍），

所以的解集为，即，

因为两个交点位于线段上（不含端点），

所以，即，

综上可知，

故选：A.

【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线方程的斜率形式，直线与圆位置关系的应用，属于中档题.

12．A

【分析】不等式化简为，设函数，，观察两个函数的交点，求函数在点处的切线，比较切线和的斜率大小，得到的取值范围.

【详解】设，，则它们函数图象的一个公共点为，函数在点处的切线斜率为，所以在处的切线方程为，所以要存在满足，则，所以取值范围是，选A.

【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围的问题，本题的难点是合理分离两个函数和，并且观察其交于点，根据数形结合比较切线的斜率和的斜率.

13．2

【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】由题意画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

又由目标函数，可化为，

当直线过点时，直线在轴的截距最小，此时取得最小值，

由，解得，

所以目标函数的最小值为.

故答案为：.

14．91

【分析】根据平均数是10，方差是4，利用相应公式求得x，y即可.

【详解】因为样本的平均数是10，方差是4，

所以，

 ，

则 ，

解得 或 ，

所以，

故答案为：91

15．

【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.

【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0

所以，所以

故答案为：

16．

【分析】首先根据等差数列的定义可得，再由等和数列可得，即可得，再分组求和即可得解.

【详解】由知数列是公差为1的等差数列，

则，由知，

所以，又因为，所以，则，

由等和数列通项可得，所以，

所以由分组求和可得，

故答案为：.

17．(1)

(2)18

【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为，再用余弦定理求得角；

（2）由△BCD和△ACD的面积之和等于△ABC的面积求出，利用基本不等式求出故的最小值.

【详解】（1）设外接圆的半径为R，由正弦定理得：

，

则可化为，

整理得.

由余弦定理得，

又，所以.

（2）由和的面积之和等于的面积，得，

可得，即.

则，

当且仅当，即时，等号成立.

故的最小值为18.

18．(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）由线面垂直证，再依次证平面、平面；

（2）建立如图所示空间直角坐标系，由向量法求面面角的余弦值.

【详解】（1）∵ 底面，平面，∴ 、，

又∵ ，且，平面，∴平面，

又∵ ，∴ 平面．

（2）由底面，得与底面所成角即为，

，，则，，，

以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，，

设平面的一个法向量为，，．

则  ∴ ，令，则，．

∵，平面，∴平面，

而，则平面的一个法向量，

则，

由图可知平面与平面夹角为钝二面角，所以平面与平面AED夹角的余弦值为．

19．(1)模型②适宜作为y关于x的回归方程.

(2)，3.97千吨.

【分析】（1）根据图形判断即可.

（2）根据表中数据和参考数据，利用公式求解即可.

【详解】（1）由散点图得模型②适宜作为y关于x的回归方程.

（2）由题知：

，

，

所以y关于t的回归方程为，

即y关于x的回归方程为，

2022年对应的年份代码为，得，

所以，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量约为3.97千吨.

20．（1）（2）

【分析】（1）将代入，求其导函数，得的值，进而可得切线方程．

（2）构造函数，根据已知得到其是奇函数，求导可得在上的单调性，将转化为关于的不等式，利用的单调性解该不等式，可求得的范围，即的零点的范围，转化为在的范围上有零点，利用导数知识和零点存在性定理，可求出a的取值范围．

【详解】解：（1）当时，因为

所以，

所以，

又，所以函数在点处的切线方程为，

即

（2）令，因为，

所以，

所以为奇函数．

当时，，

所以在上单调递减，

所以在R上单调递减，

又满足不等式，即，

所以，

化简得，所以，即

令

因为是函数的一个零点，

所以在时有一个零点：

当时，，

所以在上单调递减，

又，又因为，

所以要使在时有一个零点，只需，解得，

所以实数a的取值范围为

【点睛】本题考查利用单调性解不等式以及函数的零点问题，考查学生计算能力和分析能力，其中通过观察条件，得到，构造的函数解题，是一道难度较大的题目．

21．（1）为0或（2）

【分析】（1）设直线，若与圆相切，求出斜率；

（2）当的倾斜角为时，设直线，由联立解方程求出，，所以．

【详解】解：（1）直线过点且与圆相切，

若斜率不存在则直线方程为，圆心到直线的距离为，不成立。

故斜率存在， 设斜率为，则直线方程为：与圆相切，所以圆心到直线的距离，

，

解得或

所以斜率为0或

（2）当的倾斜角为时，：，令，得，所以

过点作的垂线交于点，则，

，

又

所以

【点睛】考查圆的切线方程，向量与圆和直线问题，两点间的距离公式，中档题．

22．（1）（）；（2）点的坐标为，取得最大值.

【分析】（1）根据极坐标和直角坐标互化公式即可求出；

（2）设，可得，其中满足，即可知当时，取最大值，再根据诱导公式可得，即可得到点M的坐标．

【详解】（1）由得，，，

因为，所以曲线的直角坐标方程为（）.

（2）设，则

，

其中满足.当时，取最大值.此时，.

所以当点的坐标为时，取得最大值.

23．(1)；

(2).

【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解；

（2）由绝对值三角不等式化简可求.

【详解】（1）当时，不等式可化为，

当时，不等式可化为，解得，

；

当时，不等式可化为，解得，

；

当时，不等式可化为，解得，

，

所以不等式的解集为．

（2）由绝对值三角不等式，可得

，当且仅当时等号成立，

，

或，

所以的取值范围为．