2023届云南省丽江市高三第一次数学模拟统测试题含解析

2023届云南省丽江市高三第一次数学模拟统测试题

一、单选题

1．集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据并集定义求解．

【详解】由题意．

故选：B．

【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．

2．设，为两条直线，以下选项中能推出的个数是（    ）

①，与同一个平面所成角相等

②，垂直于同一条直线

③，平行于同一个平面

④，垂直于同一个平面

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】本题利用空间中线线、线面的平行和垂直的性质和判定定理进行判断即可．

【详解】解：①若，与同一平面所成角相等，则，可能相交或异面，故①错误，

②若，都垂直同一直线，则，可能相交，平行，异面，故②错误，

③若，平行于同一平面，则，可能相交，平行，异面，故③错误，

④若，垂直于同一个平面，则 ④正确，

故选：．

3．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用排除法，先判断奇偶性，再取特殊值即可得结果.

【详解】解：由题意知函数的定义域为

，则，

有，得，所以函数为偶函数，排除选项A，B；

又，排除选项C.

故选：D.

【点睛】此题考查了函数图像的识别，注意奇偶性、特殊值的使用，属于基础题.

4．cos300°=

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意结合诱导公式有：.

本题选择A选项.

5．已知函数 图象上相邻两条对称轴的距离为，把 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】D

【分析】由周期求得，再由三角函数图像变换得出的表达式．

【详解】依题意，，所以，所以，解得，所以．把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，再把曲线向右平移个单位长度，得到曲线，即，故

故选：D．

【点睛】本题考查三角函数图象的变换、诱导公式等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性．

6．设函数，若，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先设，代入原式可得，再分别讨论和，两种情况求，再求.

【详解】令，，则

1°时，，则无解．

2°时，，∴，∴

时，，则；时，无解

综上：.

故选：B．

7．已知，若函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先画出函数的图象，根据图象得时有三个零点，求出当时的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果.

【详解】函数的图象如图所示，

函数有三个不同的零点，，，

即方程有三个不同的实数根，，，由图知，

当时，，

∵，∴，当且仅当时取得最大值，

当时，，，

此时，

由，可得，

∴，，

∴，

∴，

∵，∴的取值范围是.

故选：A.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

8．如图，已知四边形是底角为的等腰梯形，且，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，设，作出二面角的平面角，由余弦定理求出、、的余弦值，结合余弦函数的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】设的中点为点，连接交于点，在底面内，过点、分别作、，垂足分别为点、，

设，由四边形为底角为的等腰梯形，且，可得，，

，为的中点，则且，四边形为菱形，

所以，为线段的垂直平分线，

则，，，平面，

在翻折的过程中，点在底面内的投影在线段上，

所以，为二面角的平面角，即，

当点在底面内的投影在线段上时，，

而，所以此时；

当点在底面内的投影在线段上时，则，，，

则在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

则，当且仅当时，等号成立，

所以此时．

综上所述，.

故选：B．

【点睛】本题考查二面角、余弦定理，正确作出二面角的平面角是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

二、多选题

9．与－835°终边相同的角有(   )

A．－245° B．245° C．475° D．－475° E．－115°

【答案】BDE

【分析】终边相同的角，相差360°的整数倍.

【详解】与－835°终边相同的角可表示为－835°＋360°k，k∈Z，

k＝1时，为－475°；k＝2时，为－115°；k＝3时，为245°；k＝4时，为605°，

故选：BDE.

10．已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】ACD

【分析】分别讨论、、 即可

【详解】当时

;

当时

;

当时

；

故选: ACD

11．如图所示，圆柱OO1内有一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E为BD上的动点，则下面选项正确的是（   ）

A．△面积的最小值为

B．圆柱OO1的侧面积为

C．异面直线AD1与C1D所成的角为

D．四面体A1BC1D的外接球的表面积为

【答案】ACD

【分析】A根据圆柱体的性质知：E与O重合时△的边上的高最小，即可判断；B由圆柱体的侧面积求法求侧面积；C确定直线AD1与C1D所成角的平面角，即可确定大小；D四面体A1BC1D的外接球和正方体的外接球同一个球体，利用球体表面积公式求面积.

【详解】A：若E与O重合时，△的边上的高最小，所以，正确；

B：圆柱OO1的底面圆的半径为正方形的ABCD的对角线，母线为2，所以圆柱OO1的侧面积为，错误.

C：直线A D1//BC1， 所以为直线A D1与C1D所成的角，因为三角形BC1D为等边三角形，所以异面直线A D1与C1D所成的角为，正确；

D：四面体A1BC1D的外接球和正方体的外接球同一个球体，正方体的对角线为就是球的直径，所以四面体A1BC1D的外接球的表面积为，正确.

故选：ACD.

12．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，

B．

C．若，则实数m的最小值为

D．若有三个零点，则实数

【答案】BC

【分析】由已知条件可得，再由可求出的解析式，从而可画出的图象，然后利用图象分析判断

【详解】因为是奇函数，是偶函数，

所以，

解得，

由得，

当时，，则，

所以，

同理，当时，，

以此类推，可得到的图象如下图所示，

对于A，根据上述规律，当时，，所以A错误，

对于B，根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，所以B正确，

对于C，根据图象，当时，，，由图可得C是正确的，

对于D，有三个零点，等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象恒过点的直线，如图所示，当函数与的图象相切时，有三个交点，相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，所以有三个零点时，，所以D错误，

故选：BC

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是根据题意求出的解析式，画出的图象，根据函数图象分析求解，考查数学结合的思想，属于较难题

三、填空题

13．敲击一次音叉A所发出的声波可用函数描述，敲击一次音叉B所发出的声波可用函数描述，则两个音叉所发出的音量较大的是____.(填入A或B)

【答案】B

【分析】所发出的音量较大的，即声波振幅较高的，由题意写出A,B的振幅，比较大小即可求出结果.

【详解】因为声波振幅越大，则音量越大，

由可得，其振幅为；由函数可得，其振幅为；

，

所以B的音量较大.

【点睛】本题主要考查三角函数的最值，属于基础题型.

14．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为：_____________．

【答案】

【分析】由图1，得出每10年总的沙化面积，求出平均值，作图即可.

【详解】由图1知，1950~1960年：土地沙化面积增加了（万平方公里），每年平均沙化面积为0.16（万平方公里）=160（百平方公里）；

1960~1970年：土地沙化面积增加了（万平方公里），每年平均沙化面积为0.16（万平方公里）=160（百平方公里）；

1970~1980年：土地沙化面积增加了（万平方公里），每年平均沙化面积为0.21（万平方公里）=210（百平方公里）；

1980~1990年：土地沙化面积增加了（万平方公里），每年平均沙化面积为0.21（万平方公里）=210（百平方公里）；

1990~2000年：土地沙化面积增加了（万平方公里），每年平均沙化面积为0.25（万平方公里）=250（百平方公里）.

故答案为：

.

15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）

附参考数据：；；．

【答案】

【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.

【详解】由题意可知，，事件为，，，

所以，，

，

由条件概率公式得，故答案为.

【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.

16．三棱锥对棱相等，且，，，点分别是线段，的中点，直线平面，且与平面、平面、平面、平面均有交线，若这些交线围成一个平面区域，则的面积的最大值为______.

【答案】

【分析】将三棱锥拓展为以三棱锥的边为面的对角线的长方体，根据三棱锥的棱长求出长方体的边长，根据已知可得平面平行长方体的底面，再由线面平行的性质定理，可得平面与平面、平面、平面、平面的交线构成平行四边形，且该平行四边形两相邻的边所成的角与底面两对角先所成的角相等或互补，再由线面平行和线线平行的线段的比例关系，可得平行四边形两相邻边的和，最后由平行四边形的面积公式结合基本不等式，即可得出结论.

【详解】三棱锥拓展为以三棱锥的边为面的对角线的长方体，如下图所示，

，，，设，

则有 ，解得，

因为点，分别是线段，的中点，所以底面，

又有直线平面，所以底面，

设平面与平面、平面、平面、平面的交线分别为：

，底面，

平面分别与平面，底面交于，所以，

同理，所以，同理，

所以四边形为平行四边形，且，

在中，，

，

所以，

设，则，由，

所以，

由，同理可得，

所以，

设平行四边形围成一个平面区域面积为，

，

当且仅当时，取等号.

故答案为：.

【点睛】本题考查三棱锥的截面面积，等价转化为长方体的截面面积是解题的关键，根据面面平行和线面平行的性质确定截面的特征是常用的方法，考查直观想象能力、推理能力，属于较难题.

四、解答题

17．已知的三个顶点的直角坐标分别为

(1)若，求的值；

(2)若为钝角，求的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据向量夹角公式计算,再结合同角函数基本关系即可求出;

(2)应用向量的数量积公式因为为钝角,所以,计算的取值范围即可.

【详解】（1）， ，

当时，，

，

又，

所以.

（2）若为钝角，则,

解得,

显然此时有和不共线，故当为钝角时，的取值范围为.

18．已知数列中，，．

（1）求；

（2）若，求数列的前5项的和.

【答案】(1);(2)77.

【分析】（1），则数列是首项为2，公比为2的等比数列，求解即可．

（2）利用分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，利用数列求和公式求解．

【详解】（1），

则数列是首项为2，公比为2的等比数列，

；

（2），

.

【点睛】当两个数列不为同类数列求和时，采用分类求和．

19．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

（1）求的值；（2）求的数学期望．

【答案】(1) ,

(2)

【详解】分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值. （2）先计算出a,b的值再求的数学期望．

详解：（1）由题意，得   

又，解得，

（2）由题意，   

所以

点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.

20．已知，.

(1)求的值；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先确定的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用求解；

（2）先确定的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用并结合第（1）问的数据求解.

【详解】（1），∴，故，所以

，

；

（2）因为，，则，

又，∴，∴，，

结合（1）中数据知，

，所以

.

21．如图，四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，，是上一点，且，设.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合题中条件，即可证明线面垂直；

（2）由题意，先得到，，两两互相垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据向量夹角公式，即可得出结果.

【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，

∴是的中点，，

∵，，，平面，

∴平面，

∵平面，∴，

∵，是的中点，∴，

∵平面，平面，，

∴平面.

（2）由（1）知平面，，

∴，，两两互相垂直，

∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示：

设，

∵四边形是菱形，，

∴和都是等边三角形，∴，

∴，，，

∵，∴，

∴，即，

∴，，

设平面的法向量为，

则

令，得，，

∴，

设平面的法向量为，

则，

令，得，，

∴，

设二面角的平面角为，结合图象可知，

，

∴二面角的余弦值为.

【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查向量的方法求二面角，属于常考题型.

22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.

(1)若的面积为，求直线AB的方程；

(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即可求解；

（2）联立直线和双曲线方程，先求出，再根据的范围即可求解.

【详解】（1）解：由题得，解得，所以椭圆的方程为，

等轴双曲线的方程为.

由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：，

联立，消去得，

所以，又，所以，则

将换成，得，所以，

设，

由，消去得，

，所以得，

则，，，

所以，解得，

所以直线AB的方程为；

（2）解：由，消去得，解得，

所以，

，，则，

，，

所以的取值范围为．