2023届四川省成都市石室中学高三下学期二诊模拟考试数学（文）试题含解析

2023届四川省成都市石室中学高三下学期二诊模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接解出集合，再利用指数函数单调性即可解出集合，最后根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意可得，集合，，解得，

则，所以.

故选：C.

2．已知z的共轭复数是，且（i为虚数单位），则复数z的虚部为（    ）

A． B． C．-2 D．-2i

【答案】C

【分析】设复数，根据题意和复数的相关知识进行求解即可.

【详解】设.因为，所以，解得则，所以复数z的虚部为-2.

故选：C.

3．下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速图，由图可以知道下列结论正确的是（    ）

A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元

B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大

C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元

D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％

【答案】D

【分析】根据图逐项进行分析即可求解.

【详解】对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的平均数为：

万亿元，故选项错误；

对于，由图可知：交易规模的增速并不是越来越大，故选项错误；

对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的极差为，故选项错误，

对于，由图可知：6个增速的中位数为和的平均数，即，故选项正确，

故选：.

4．设实数，满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出可行域如图所示，表示斜率为的平行直线，平移可得过点时，取最小值，代入计算即可．

【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线，由，解得，结合图形可知，当直线过点时，取最小值，.

故选：C

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式结合二倍角余弦公式即可求得答案.

【详解】由已知，得.

故选：B.

6．已知a，b，c为直线，，，平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】利用正方体寻找反例即可判断A,B,C，利用面面平行的传递性即可判断D.

【详解】借助正方体进行判断.

对于A选项，正方体中从同一顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误；

对于B选项，选取正方体的上、下底面为，以及一个侧面为，则，故B错误；

对于C选项，选取正方体的上底面的对角线为a，b，下底面为，则不成立，故C错误；

对于D选项，选取正方体的上、下底面为，，任意作一个平面平行于下底面，则有成立，即面面平行的传递性，故D正确.

故选：D.

7．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于．

A．20 B．21 C．22 D．23

【答案】C

【详解】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.

【解析】程序框图.

【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景.

8．已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设该双曲线的左焦点为，分析可知四边形为矩形，利用三角形的面积公式、勾股定理以及双曲线的定义可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】因为双曲线的右焦点为，所以，设该双曲线的左焦点为.

由题意可知为、的中点，则四边形为平行四边形，

因为，所以，四边形为矩形，所以，，

由的面积为，得，则.

又，则，

所以.

则由双曲线的定义可得，所以，则离心率.

故选：C.

9．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为

A． B． C．4 D．

【答案】B

【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥 ，

其中面积最大的面为： .

本题选择B选项.

点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

10．已知函数满足，，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先证明函数为奇函数，再得到其周期为2，最后得，代入已知解析式即可.

【详解】因为满足，且定义域关于原点对称，所以为奇函数.

又因为，所以，

所以是周期为2的奇函数.

又因为时，，

所以

.

故选：D.

11．已知抛物线：与直线相交于，两点，为抛物线的焦点，若，则的中点的横坐标为

A． B．3 C．5 D．6

【答案】A

【解析】据题意，设AB的中点为G，根据直线方程可知直线恒过定点，据此过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|＝2|FB|，推断出|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而分析可得|OB|＝|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，又由B为P、A的中点，可得A的横坐标，进而由中点坐标公式分析可得答案．

【详解】根据题意，设AB的中点为G，

抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2，焦点为（2，0），

直线y＝k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）

如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，

由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，

点B为AP的中点、连接OB，则|OB||AF|，

又由|FA|＝2|FB|，则|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，

B为P、A的中点，则A的横坐标为4，

故AB的中点G的横坐标为；

故选A．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其性质，注意抛物线的几何性质、定义的应用，属于基础题．

12．设，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据对数函数的图象与性质得，通过比值法结合基本不等式和放缩的技巧即可得，则，最后再利用对数函数单调性得，最终得到答案.

【详解】因为，，

所以，

所以，所以，所以.

故选：A.

二、填空题

13．平面向量，满足，，且，则的值为______.

【答案】

【分析】先利用向量坐标的加减法运算求出，再用向量数量积的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为，，所以，

又因为，所以，解得.

故答案为：

14．已知直线，，圆C的圆心在第一象限，且与，都相切，则圆C的一个方程为______.（写出满足题意的任意一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据直线与圆的位置关系结合条件可得圆的标准方程，进而即得.

【详解】由题意可得，为轴，的倾斜角为，

因为圆C的圆心在第一象限，且与，都相切，

所以圆心所在直线的倾斜角为，

所以圆心C在直线上，

设圆C的圆心为，则

由题意可知，圆C的半径为，

所以圆C的方程为.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为______.

【答案】

【分析】根据已知条件及余弦定理，利用正弦定理及棱锥的体积公式，结合勾股定理及球的表面积公式即可求解.

【详解】由，，及余弦定理，得，即，解得，，

所以，

设为外接圆半径，

所以，解得，

所以，

所以，解得，即点P到平面ABC的距离为2，

所以外接球球心O（PC的中点）到平面ABC的距离，

以外接球半径，

所以.

故答案为：.

16．已知函数，，，且在上单调,则的最大值为_________.

【答案】5

【详解】解答：

函数f(x)=2sin(ωx+φ)，

∴f(−)=2sin(−ω+φ)=0，

∴−ω+φ=kπ，k∈Z①；

又f(−x)=f(+x)，

∴x=是f(x)图象的对称轴，

∴ω+φ=k′π+π2,k′∈Z②；

由①②得,φ=k+k′2π+，k∈Z，

∴取φ=，且ω=−4k+1，k∈Z；

∴f(x)=2sin(ωx+)的最小正周期为T=；

又f(x)在上单调，

∴−⩽,即⩽，

解得ω⩽6；

综上，ω的最大值为5.

故答案为5.

点睛：等价于对称中心为（，0）；等价于对称轴为x=；在上单调隐含者区间长度小于等于周期的一半.

三、解答题

17．针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；

(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在50岁以下的概率.

【答案】(1)120

(2)

【分析】（1）根据题意求出参与调查的总人数，利用分层抽样的特征即可求解；

（2）根据题意画树状图，利用古典概型的概率公式即可求解.

【详解】（1）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人，所以.

（2）由已知易得，抽取的5人中，50岁以下与50岁以上人数分别为2人（记为，），3人（记为，，）.

画树状图如下：

由树状图可知，从这5人中任意选取2人，基本事件共10个，

其中，至少有1人年龄在50岁以下的事件有7个，

故所求概率为.

18．已知数列的前n项和为

(1)求数列的通项公式；

(2)令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据的关系求通项公式；

(2)选①，利用错位相减法求和，选②，利用裂项相消求和，选③，利用并项求和以及等差数列前项和公式.

【详解】（1），

两式相减得，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

；

（2）由（1）可知，

若选①：，

.

两式相减得：，

所以.

若选②：

.

若选③：

当为偶数时，

当为奇数时，.

综上得：.

19．如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，.

(1)证明：平面ABC；

(2)求三棱锥N－ABC的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即得证；

（2）取AB的中点O，连接OC，OE，设，由勾股定理即可求出，进而可求解三棱锥N－ABC的体积.

【详解】（1）取CF的中点D，连接DM，DN，

∵M，N分别是AF，CE的中点，∴，，

又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.

又，∴，同理可得， 平面ABC.

∵平面MND，平面MND，，

∴平面平面ABC.

∵平面MND，∴平面ABC.

（2）取AB的中点O，连接OC，OE.

由已知得OAEF且OA=EF，∴OAFE是平行四边形，∴OEAF且OE=AF

∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，

∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，

又平面ABEF，∴OC⊥OE.

设，，

在Rt△COE中，由，解得，即.

由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离

又平面ABC，∴.

20．已知函数.

(1)当时，求的最大值；

(2)若，，求a的取值范围.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）代入值，直接求导得，讨论其单调性即可得到最值；

（2）分，和，结合零点存在定理讨论即可.

【详解】（1）当时，，，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以.

（2）由，得，

根据减函数加减函数为减函数的结论易知在上单调递减.

①由（1）可知，当时，，符合题意.

②当时，，，

所以存在时，使得，

故当时，，单调递减，

所以，不符题意，舍去.

③当时，，，

所以存在，使得，

故当时，，单调递减，.

令，则，故在上单调递减，

所以，故，符合题意.

综上所述，a的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于对进行分类讨论，当时，在寻找右边界时，需要代入一个特殊的值，即，根据的范围则可判断其符号，再根据零点存在定理和函数单调性证明，从而排除此类情况，当时，依然计算，得到，再构造新函数求出右边的值域即可.

21．已知椭圆经过点，其右焦点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出，则椭圆方程可求；

（2）设，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理计算，可得的关系，利用的关系表示出，利用二次函数的性质求出最值.

【详解】（1）依题可得解得

所以椭圆的方程为；

（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，

故可设，

由可得，，

所以，即，

而，即，

化简可得，

，

化简得，

所以或，

所以直线或，

因为直线不经过点，

所以直线经过定点.

所以直线的方程为，易知，

设定点

，

因为，且，

所以，所以，

设，

所以，

当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：

（1）常规面积公式：底高；

（2）正弦面积公式：；

（3）铅锤水平面面积公式：

过轴上的定点：（为轴上定长）

过轴上的定点（为轴上定长）

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线，（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的普通方程；

(2)在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数即可得到曲线的普通方程；

（2）写出直线l的极坐标方程为，得到，曲线C的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，，代入条件结合二倍角公式及同角三角函数关系即可得到的值.

【详解】（1），，

则，

故曲线C的普通方程为，.

（2）直线l的极坐标方程为，易得.

曲线C的极坐标方程为，易得.

由已知，得，，

，，

两边平方并整理得.

又，即，所以，则.

23．已知存在，使得成立，，.

(1)求的取值范围；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用绝对值不等式即可；

（2）利用柯西不等式即可.

【详解】（1）由题意，知.

因为存在，使得，

所以只需，即的取值范围是.

（2）由柯西不等式，得，

当，时，取得最小值.