2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期3月二诊模拟考试数学（文）含解析

  成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试

文科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知z的共轭复数是，且（i为虚数单位），则复数z的虚部为（    ）

A． B． C．-2 D．-2i

3．下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（    ）

A．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元

B．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大

C．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元

D．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%

4．设实数x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A．-8 B．-6 C．-4 D．-2

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知a，b，c为直线，，，平面，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如．如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（    ）

A．20 B．21 C．22 D．23

8．已知双曲线的右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若，且的面积为4，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

9．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（    ）

A． B． C．4 D．

10．已知函数满足，，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知抛物线与直线相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若，则AB的中点的横坐标为（    ）

A． B．3 C．5 D．6

12．设，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．平面向量，满足，，且，则x的值为______．

14．已知直线，，圆C的圆心在第一象限，且与，都相切，则圆C的一个方程为______．（写出满足题意的任意一个即可）

15．已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为______．

16．已知函数，，，且在上单调，则的最大值为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；

（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在50岁以下的概率．

18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，从①，②，③三个条件中任选一个，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）如图，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，，平面平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，．

（Ⅰ）求证：平面ABC；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）若，，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）已知椭圆经过点，其右焦点为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求面积的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程；

（Ⅱ）在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值．

23．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知存在，使得成立，，．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求的最小值．

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试

文科数学参考答案

答案及解析

1．C【解析】由题意可得，集合，，所以．故选C．

2．C【解析】设．因为，所以，解得则，所以复数z的虚部为-2．故选C．

3．D【解析】这7年我国跨境电商交易规模的平均数为（万亿元），故A错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故B错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为（万亿元），故C错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为，故D正确．故选D．

4．B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线．由解得则．结合图形可知，当直线过点时，z取最小值，．故选B．

5．B【解析】由已知，得．故选B．

6．D【解析】可借助正方体进行判断．对于A选项，正方体中从同一顶点出发的三条棱两两垂直，故A错误；对于B选项，选取正方体的上、下底面为，以及一个侧面为，则，故B错误；对于C选项，选取正方体的上底面的对角线为a，b，下底面为，则不成立，故C错误；对于D选项，选取正方体的上、下底面为，，任意作一个平面平行于下底面，则有成立，故D正确．故选D．

7．C【解析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，且最小为两位数，所以输出的．故选C．

8．C【解析】因为双曲线的右焦点为，所以．设其左焦点为．因为，点P，Q关于原点O对称，所以．由的面积为4，得，则．又，所以．又由双曲线的对称性可得，则由双曲线的定义可得，所以，则离心率．故选C．

9．B【解析】如图，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥，其中面积最大为．故选B．

10．D【解析】因为满足，所以为奇函数．又因为，所以，所以是周期为2的奇函数．

又因为时，，

所以

．故选D．

11．A【解析】如图，设AB的中点为G，抛物线的准线为，焦点为，直线过定点，过点A，B分别作于点M，于点N．由，得，所以点B为AP的中点．连接OB，则，做点B的横坐标为1，则点A的横坐标为4，所以AB的中点G的横坐标为．故选A．

12．A【解析】因为，，

所以，所以，所以，所以．故选A．

13．【解析】因为，，所以，．又因为，所以，解得．

14．（答案不唯一）【解析】由题意可得，圆心C在直线上，圆C的方程形如．

15．【解析】由，，，得，所以，得（r为外接圆半径）．又，则，所以，即点P到平面ABC的距离为2，所以外接球球心O（PC的中点）到平面ABC的距离，所以外接球半径，所以．

16．5【解析】因为函数，，所以，①．又因为，所以直线是图象的对称轴，所以，②．由①②可得，．又．所以，则，．又在上单调，的最小正周期为，所以，即，解得，故的最大值为5．

17．解：（Ⅰ）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人，所以．

（Ⅱ）由已知易得，抽取的5人中，50岁以下与50岁以上人数分别为2人（记为，），3人（记为，，）．

画树状图如下：

由树状图可知，从这5人中任意选取2人，基本事件共10个，

其中，至少有1人年龄在50岁以下的事件有7个，

故所求概率为．

18．解：（Ⅰ）因为，所以．

将上述两式相减，得．

因为，，即，所以，所以，

所以．

因为，所以，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．

若选①：，

则，

．

将上述两式相减，得，

所以．

若选②：，

则．

若选③：．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

综上，．

19．（Ⅰ）证明：如图，取CF的中点D，连接DM，DN．

因为M，N分别是AF，CE的中点，所以，．

又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．

又因为，所以，同理可得，平面ABC．

因为平面MND，平面MND，，

所以平面平面ABC．

又因为平面MND，所以平面ABC．

（Ⅱ）解：如图，取AB的中点O，连接OC，OE．

由已知可得，且，

所以四边形OAFE是平行四边形，所以且．

因为是正三角形，O是AB的中点，所以．

又因为平面平面ABEF，平面平面，所以平面ABEF．

又平面ABEF，所以．

设，则，．

在中，由，得，则，

所以，，则，．

由题意易得，，

则点M到AB的距离，即点M到平面ABC的距离为．

又平面ABC，

所以．

20．解：（Ⅰ）当时，，，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以．

（Ⅱ）由，得，

易知在上单调递减．

①由（Ⅰ）可知，当时，，符合题意．

②当时，，，

所以存在时，使得，

故当时，，单调递减，

所以，不符题意，舍去．

③当时，，，

所以存在，使得，

故当时，，单调递减，．

令，则，故在上单调递减，

所以，故，符合题意．

综上所述，a的取值范围是．

21．解：（Ⅰ）依题意，得解得所以椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，

故可设，，．

由得，

所以，，，即．

由，得，

消去，得，

即，

所以，

整理得，所以或，

所以直线或．

又因为直线PQ不经过点，所以直线PQ经过定点，

所以直线PQ的方程为，易知，设定点，

则

．

因为即，且，所以，所以，

所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．

22．解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为，．

（Ⅱ）直线l的极坐标方程为，易得．

曲线C的极坐标方程为，易得．

由已知，得，，

，，

两边平方并整理得．

又，即，所以，则．

23．解：（Ⅰ）由题意，知．

因为存在，使得，

所以只需，即的取值范围是．

（Ⅱ）由柯西不等式，得，

当，时，取得最小值．