辽宁省辽阳市2023届高考第一次模拟考试数学试卷（含解析）

辽宁省辽阳市2023届高考第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．等差数列的前项和为，满足：，则（    ）

A．72 B．75 C．60 D．100

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

3．如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图（2），使三点重合于，下面结论成立的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

4．已知函数，则（    ）

A． B．为奇函数

C．在上单调递增 D．的图象关于点对称

5．已知非零平面向量、，“”是“”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要   D．既不充分也不必要

6．已知函数．若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是（    ）

A．                 B．

C． D．

7．下列命题中正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”

C．命题“”的否定是“”

D．若则恒成立

8．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于 ，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A．, B．,

C．, D．,

9．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．5 D．9

二、多选题

10．已知，则（    ）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为1

11．已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ）

A． B． C． D．

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．当时，

C．若函数有两个零点，则

D．设，若对，，使得成立，则

三、填空题

13．已知i为虚数单位，则复数的虚部是_______.

14．某射击选手共射击8枪，其中有4枪命中目标，恰好3枪连中，有________种方法．

15．将3个6cm×6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______.

四、双空题

16．已知随机变量X满足，，则______，______.

五、解答题

17．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点.

(1)过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由；

(2)求直线DE与平面所成角的正弦值.

18．函数为上的奇函数，其中点是一个对称点，且在上单调

（1）求值

（2）求解析式

19．在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.

问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且______.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

20．已知x与y及v与u的部分成对数据如下：

计算得y关于x的回归直线方程为，，.

(1)求m值，并根据y关于x的回归直线方程求u关于v的回归直线方程；

(2)通常用成对样本数据的相关系数r来衡量u与v的线性相关性强弱，当时，认为u关于v的线性相关性较弱，当时，认为u关于v的线性相关性一般，当时，认为u关于v的线性相关性较强，判断u关于v的线性相关性的强弱.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

，.相关系数，.

21．设m为实数，函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；

(3)若方程有两个实数根，，证明：．

22．已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.

参考答案

1．B

【分析】由，可得，再利用等差数列的求和公式可求出结果

【详解】设等差数列的公差为，则由，得

，

化简得，

所以，

故选：B

2．D

【分析】集合中元素的共同特征是一元二次不等式的形式，我们将其化解，即可得出两个集合的交集.

【详解】，即：，或，即：，

，即：，

∴.

故选：D.

3．A

【分析】由折叠前后不变的垂直关系可得，，由线面垂直的判定可得结论.

【详解】，，

由折叠前后不变的元素关系可知：，，

，平面，平面.

故选：A.

4．D

【分析】得，再代入求判断A;由函数定义域即可判断求B;由图象平移可判断的在区间的单调性和对称中心，从而判断C、D

【详解】因为，则，故A错误；

由解析式知定义域为，显然不关于原点对称，不是奇函数，故B错误；

的图象可看作是由反比例函数的图象向右移动1个单位长度得到，且在上单调递减，且关于对称，

故在上递减且关于对称，故C错误，D正确，

故选：D

5．C

【分析】对于平面向量垂直的数量积表示判断可得出结论.

【详解】对于非零平面向量、，.

因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

6．D

【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.

【详解】，设切点坐标为（），则切线方程为，

又切线过点（2,0），可得，整理得，

曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足

，解得或，

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.

7．D

【分析】本题考查充分不必要条件的判断，逆否命题的改写，特称命题的否定形式，以及恒成立问题.综合性考察题目.

【详解】对于A，，，则“”是“”的充要条件，则A错误.

对于B ,逆否命题应该是“若且，则”，则B错误.

对于C，否定形式应该是，则C错误.

对于D，令，，当时恒成立，

即，恒成立.则D正确．

故选:D.

【点睛】条件推结论为充分，结论推条件为必要，如果互相推出，则为充要条件；对“且”命题否定应改为“或”，对“或”命题否定应改为“且”；特称命题改写否定形式注意x取值范围不变；恒成立问题，导数求解更简单．

8．C

【分析】设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得．根据点到直线的距离不小于，可得范围，根据离心率即可得出．

【详解】

设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：，，

所以，解得．

点到直线的距离不小于，

，解得，

又，

．

离心率．

故选：C．

9．A

【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.

【详解】如图，

设抛物线的准线为，过作于，过作于，

因为，所以当，，三点共线时，

取得最小值，故的最小值为．

故选:A.

10．BC

【分析】根据基本不等式可求A,B,D,根据判别式判断方程有根可判断C.

【详解】由，即，当且仅当时等号.故A错，，

进而可得：，当且仅当取等号，故B正确，

令，则，所以，故可化为，整理得，

由，得，即，解得或（舍去），C正确，

，，当且仅当时等号成立，D错误

故选：BC．

11．AC

【分析】由题可得，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可.

【详解】若与广义互余，则，即．

又由，可得．

对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确；

对于B，若与广义互余，则，由可得  ，故B错误；

对于C，综上可得，，所以，由此可得C正确，D错误．

故选：AC．

12．BD

【分析】利用函数的定义域判断A选项的正确性；利用的单调性来判断B选项的正确性；结合的图象来判断C选项的正确性；通过求和在给定区间上的取值范围来判断D选项的正确性.

【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误.

对于B选项，，当时，，递减.

由于，所以，

由于，

所以由两边乘以得 ，所以B选项正确.

对于C选项，令，

由于，所以在区间递减；

在区间递增.

当时，；当时，；.

函数是定义域为的偶函数.

由此画出的图象如下图所示，

由图可知，直线与的图象有两个交点，即当时，

函数有两个零点，所以C选项错误.

对于D选项，由上述分析可知，，则，

，，要使“对，，使得成立”，

则需，所以D选项正确.

故选：BD

【点睛】利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下进行求解.求解恒成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.

13．

【详解】,所以其虚部为-1.

14．20

【分析】利用插空法进行求解即可得到答案

【详解】解：把不中的四枪看作是四个隔板，它们排成一列，分出五个空隙，

其中有3枪连中，将它们绑定看作一个物体，再将剩下的1枪当做一个物体，将两个物体插入空隙中，有种方法，

故答案为：20．

15．108

【分析】根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积.

【详解】将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即.

故答案为：

16．     2    

【分析】根据数学期望、方差的计算公式求得正确答案.

【详解】，

.

故答案为：；

17．(1)作法见解析，理由见解析

(2)

【分析】（1）通过构造面面平行的方法作出截面.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线DE与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）取的中点H，连接，，BH，GH，

即截面为要求作的截面.

理由如下：

因为E，F分别为，的中点，所以，

又平面，平面，所以平面.

在正方形中，因为G为的中点，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

由于平面，平面，

所以平面.

又，平面，

所以平面平面.

连接，易证，，则，

所以，B，H，G四点共面，从而截面为要求作的截面.

（2）如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，.

设平面的法向量为，则，

令，得，

所以.

故直线DE与平面所成角的正弦值为.

18．（1）

（2）

【分析】（1）先由诱导公式将原函数转化为，再由奇函数性质即可求得值；

（2）由图像关于对称可得，又在上是单调函数得，联立求解即可解得具体，进而求得解析式

【详解】（1）是上的奇函数,

，

，，

（2），图像关于对称，，

，，.①

又在上是单调函数，，

，②

，.

【点睛】本题考查三角函数中由奇偶性求解具体参数值，由单调性求解具体参数值，属于中档题

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；

（2）根据错位相减法计算求解即可.

【详解】（1）解：若选①，则，，故不能选①，

若选②：依题意可得，解得

故．

（2）解：由（1）知，，

则，

所以，

所以

，

故．

20．(1)，；

(2)u关于v的线性相关性较强.

【分析】（1）根据线性回归直线方程过样本数据中心点可求m，再由表中数据及参考公式求出，，即可得出u关于v的回归直线方程；

（2）根据所给数据计算相关系数r，即可判断 u关于v的线性相关性的强弱.

(1)

，

，解得，

又，，

，

，

，

故回归直线.

(2)

，

，

故u关于v的线性相关性较强.

21．(1)当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减．

(2).

(3)证明见解析.

【分析】(1)先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；

(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，求出最小值.

 (3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.

【详解】（1），函数定义域为，

，

当时，在上恒成立，函数在上单调递增；

当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．

（2）当时，，

设切点为，，则切线斜率，

切线方程为，，

，，，

令，函数定义域为，，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，即的最小值为

（3）证明：，即，则，

令，函数定义域为，，

，；，

∴在上单调递增，在上单调递减，，

，不妨设，，

令，，所以，，，

要证，只要证，只要证，

令，，

，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，，（1），则存在，使得，

在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，

，，

在上恒成立，

得证．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点

1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．

2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.

3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.

4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.

22．(1)

(2)1

【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线C的方程为，代入点，运算求解即可得结果；

（2）设，根据题意求点的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与轴垂直.

【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，

代入点，即，

故双曲线C的方程为.

（2）由双曲线C的方程为的方程可得，

由题意可得点，则有：

当直线l与轴垂直时，则，

可得直线，令，则，

即点，

同理可得：点，

故，即；

当直线l不与轴垂直时，设直线，

联立方程，消去x得，

则，

可得直线，

令，则，

即点，

同理可得：点，

∵

，

即点关于x轴对称，故，即；

综上所述：的值为1.

【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论．