2023年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷

1.  在等差数列中，，，则(    )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

2.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在四面体ABCD中，为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则(    )

A. AB与CD可能垂直 B. A在平面BCD内的射影可能是B
C. AB与CD不可能垂直 D. 平面ABC与平面BCD不可能垂直

4.  若是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知两个单位向量，满足与垂直，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设曲线在点处的切线为l，P为l上一点，Q为圆C：上一点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  已知A，B，C为椭圆D上的三点，AB为长轴，，，，则D的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则(    )

A. 矩形ABCD的周长的最小值为
B. 矩形ABCD的面积的最小值为
C. 当矩形ABCD的面积取得最小值时，
D. 当矩形ABCD的周长取得最小值时，

11.  黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比黄金分割比在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则(    )

A.
B.
C. 在上的投影向量为
D. 是方程的一个实根
 

12.  已知是定义在R上的函数，且，，，则(    )

A. 的最大值可能为0
B. 在上单调递减
C. 的最小值可能为0
D. 可能只有两个非负零点

13.  写出一个满足下列两个条件的复数：______ .
①的实部为5；
②z的虚部不为

14.  已知随机变量X满足，，则______ ，______ .

15.  如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻上、下相邻或左、右相邻的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次例如：先按，再按，则和的最终状态都未发生改变的概率为______ .

16.  将3个的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______

17.  如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点.
过BG作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由；
求直线DE与平面所成角的正弦值.

18.  已知函数在上单调递减.
求的最大值；
若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.

19.  某体育馆将要举办一场文艺演出，以演出舞台为中心，观众座位依次向外展开共有10排，从第2排起每排座位数比前一排多4个，且第三排共有49个座位.
设第n排座位数为，求及观众座位的总个数；
已知距离演出舞台最远的第10排的演出门票的价格为500元/张，每往前推一排，门票单价为其后一排的倍，若门票售罄，试问该场文艺演出的门票总收入为多少元？取

20.  2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为百万元，带动的消费为百万元某省随机抽查的一些城市的数据如表所示.

根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.
若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？
当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式：，，当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.
参考数据：

21.  已知函数
求的最小值.
若，且证明：
；
 

22.  已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为
求C的方程；
若C上有两点P，Q满足，证明：是定值.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：因为等差数列中，，，
所以公差，
所以
故选：
根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：由解得，所以，
由得，解得或，
所以，
所以
故选：
解不等式求得集合A，B，由此求得
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，

A在平面BCD上的射影为O，即平面BCD，
由于平面BCD，所以
延长BO交CD于F，则，
由于，AO，平面ABO，所以平面ABO，
由于平面ABO，所以，所以A正确，C错误．
若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，B错误．
平面ABC与平面BCD可能垂直，D错误．
故选：
根据线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识确定正确答案．
本题主要考查空间位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：依题意，，
A选项，对于函数，，所以函数不是奇函数．
B选项，对于函数，，所以函数不是奇函数．
C选项，对于函数，，所以函数是奇函数．
D选项，对于函数，，所以函数不是奇函数．
故选：
根据函数的奇偶性确定正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：根据题意可得，
，

故选：
根据向量垂直列方程，化简求得的值．
本题考查向量垂直的性质，向量数量积的运算，方程思想，属基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：，，
的方程为，即，
圆心到l的距离为，
的最小值为
故选：
先求得切线l的方程，根据直线和圆的直至关系求得的最小值．
本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，属基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：在三角形ABC中，根据正弦定理可得：


，B，C均为锐角为锐角三角，
“”是“为锐角三角形”的充要条件．
故选：
根据正弦定理，余弦定理，充分与必要条件的概念，即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理，充分与必要条件的概念，属基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：设椭圆D的方程为，
如图，点C的横坐标为，纵坐标为，

因为，所以，
将点C的坐标代入，得，解得，
故
故选：
根据已知条件求得a，，进而求得椭圆的离心率．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：设焦点为F，
抛物线，
则准线为，
抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，
，解得或
故选：
根据抛物线的定义列方程，化简求得p的值，也即求得正确答案．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：设，，则圆锥M的侧面积为，圆锥N的侧面积为，
则，则，
则，得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的面积的最小值为，此时，所以B错误，C正确．
矩形ABCD的周长为，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以矩形ABCD的周长的最小值为，此时，所以A正确，D错误．
故选：
由题意分别表示两个圆锥的侧面积与矩形面积建立方程，对选项一一分析利用基本不等式处理即可．
本题考查圆锥的侧面积计算以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：对A选项，设，则，
，，
，正确；
对B选项，，
，正确；
对C选项，根据题意可知，，
，
过B作，垂足为E，
在上的投影向量为，错误；
对D选项，由图可知，

，
设，则，
整理得，正确．
故选：
根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查三角恒等变换，诱导公式，同角三角函数的基本关系式，余弦定理，投影向量，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：因为，，，
所以的解析式可能为最小值为，
也可能为最大值为，所以A，C都正确；
若，则，
当时，，单调递增，所以B错误．
若，则，
则，令，的导函数，
所以单调递减，
因为，所以存在唯一的，使得，
则当时，单调递增，当时，单调递减．
因为，，所以可能只有两个非负零点，故D正确．
故选：
通过或对选项进行分析，结合函数的最值、单调性、零点、导数等知识确定正确答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设，则，
依题意可得，
故可取，，
故答案为：答案不唯一
根据复数运算、实部、虚部的知识写出正确答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部、虚部的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，

故答案为：2；
根据数学期望、方差的计算公式求得正确答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差的概念，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：要使得的状态发生改变，则需要按，，，，这五个开关中的一个，
要使得的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个，
所以要使得和的最终状态都未发生改变，
则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个或，，中的两个，
故所求概率为
故答案为：
根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可．
本题主要考查古典概型及其概率的计算公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】108 

【解析】解：将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，
由对称性知其体积为正方体体积的一半，即
故答案为：
根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积．
本题主要考查棱柱的体积，考查运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：取的中点H，连接，，BH，GH，
即截面为要求作的截面．理由如下：
因为E，F分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面
在正方形中，因为G为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
由于平面，平面，
所以平面
又，，平面，
所以平面平面
连接，易证，，则，
所以，B，H，G四点共面，从而截面为要求作的截面．
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
令，得平面的法向量为，
所以，
故直线DE与平面所成角的正弦值为 

【解析】通过构造面面平行的方法作出截面．
建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线DE与平面所成角的正弦值．
本题主要考查直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定与性质定理，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由条件知，则，
由正弦函数的性质可知，，所以，，
又有，所以，
当时，，符合题意；
当时，不等式，舍去，
所以的最大值为
因为的图象关于点中心对称，
所以，，
即，
由得，所以，则，
当时，，
因为在上的值域为，所以，
则，解得，
即m的取值范围是 

【解析】将看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；
根据正弦型函数的对称中心及第一问可得解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可知是公差为4的等差数列，
因为，
所以
观众座位的总个数为
设第n排座位的门票价格为元/张，则为等比数列，
则，由，得，
因此
记门票售罄该场文艺演出的门票总收入为T元，
则，，
则，
两式相减得，
则，
所以，
故若门票售罄，则该场文艺演出的广]票总收入为445570元． 

【解析】根据等差数列的知识求得并求得观众座位的总个数．
利用错位相减求和法求得正确答案．
本题主要考查数列的应用，考查等差数列的通项公式及前n项和公式，等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，，，，，
代入公式可得相关系数，
由于且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系，
经计算可得，，
所以所求线性回归方程为；
当时，，所以预计能带动的消费达百万元；
因为，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的，
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，
比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；
A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量只要写出一个原因即可 

【解析】通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程；
利用回归直线方程求得预测值．根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了求相关系数和线性回归方程，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以
证明：由可知，，
因为，所以，，
则，所以；
由得，
要证，只需证，只需证，
即证
令函数，
则，
所以，
因为，
所以，在上单调递减．
所以，则，故 

【解析】利用导数求得的单调区间，进而求得的最小值；
利用差比较法证得不等式成立；
将证明转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
 

22.【答案】解：设C的方程为，
不妨设右焦点为，渐近线方程为
右焦点到渐近线的距离
因为C为等轴双曲线，所以
所以C的方程为
证明：设，，
由，得，
且，，
所以，
则，
即，
平方后得，
等式两边同时除以，
得，
即，即
所以是定值，且该定值为 

【解析】根据焦点到渐近线的距离求得b，a，进而求得等轴双曲线C的方程．
由进行化简，通过化归与转化，求得为定值．
本题主要考查双曲线的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于难题．