辽宁省鞍山市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

辽宁省鞍山市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若，则(   )

A.-2 B.-1 C.1 D.2

2、设全集，集合，，则(   )

A. B. C. D.

3、数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了(，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算，不是质数.现设(，2，…)，表示数列的前n项和，若：，则(   )

A.5 B.7 C.6 D.8

4、已知平面向量a与b的夹角为，，，则的值为(   )

A. B.2 C.4 D.

5、已知，则(   )

A. B. C. D.

6、为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有(   )

A.50种 B.60种 C.80种 D.100种

7、已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为，那么该圆锥的体积是(   )

A. B. C. D.

8、函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则(   )

A.4 B.2 C.1 D.0

二、多项选择题

9、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图(如图)：

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是(   )

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元

C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

10、已知函数(，).的最小正周期为，且的图象过点，则下列结论中正确的是(   )

A.的最大值为

B.的图象一条对称轴为

C.在上单调递减

D.把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

11、已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段，为直径的圆经过点M，则(   )

A.双曲线C的渐近线方程为

B.以线段为直径的圆的方程为

C.点M的横坐标为2或-2

D.的面积为

12、如图所示，从一个半径为(单位：m)的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是(   )

A.四棱锥的体积是

B.四棱锥的外接球的表面积是

C.异面直线PA与CD所成角的大小为60°

D.二面角所成角的余弦值为

三、填空题

13、在的展开式中，常数项是_________；

14、若函数的图象在点处的切线方程为，则实数_________；

15、若正实数a，b满足，则的最小值为_________；

16、已知椭圆C：，()的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为_________.

四、解答题

17、设数列的前n项和为，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和T.

18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为.

(1)求AB的长；

(2)求外接圆的面积.

19、甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89.

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高(单位：cm)的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率P，②视频率为概率，从抽出的10名男生中再选2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估测这10位男生的体重).

20、如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD.

(1)若M为BC中点，求证：；

(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值.

21、已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.

22、已知函数(，).

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：因为，所以，所以，所以.故选D.

2、答案：A

解析：由题意，，所以，

所以.

故选：A.

3、答案：C

解析：因为，所以，当时，，此时，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.所以，解得.

4、答案：B

解析：由已知，，所以.

5、答案：A

解析：解：，

又，

所以，故选：A.

6、答案：C

解析：可根据甲学校的人数进行分类：第一类：甲校2人，；第二类：甲校3人，，根据分类加法计数原理可得总数种.

7、答案：D

解析：设圆锥底面半径为r，高为h，

，

，

.

故答案为：D.

8、答案：B

解析：因为，且是定义在R上的偶函数，

所以，

令，则，

所以，即，

所以函数的周期为2，

所以，

故选：B.

9、答案：ABC

解析：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的频率为，所以比例估计为6%，故A正确；

对于B，因为，所以该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确；

对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C正确；

对于D，该地农户家庭年收入的平均值约为，

所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，

故D错误.

故选ABC.

10、答案：AC

解析：，

最小正周期为，，得，则，的图象过点，，即，得，得，，，当时，，则

则最大值为，故A正确，

，即图象的一条对称轴为错误，当Error! Digit expected.时，Error! Digit expected.，此时，为减函数，故C正确，把的图象向左平移个单位长度，得到无法得到的图象，故D错误，故选：AC.

11、答案：CD

解析：由双曲线方程知：，，C的渐近线方程为，A错误；

，为直径的圆方程为，B错误；

由得：或，点M的横坐标为2或-2，C正确；

，，D正确.

故选：CD.

12、答案：BCD

解析：设正方形边长为x，则由如图1知，

又因为，所以，解得，

对于A，因为平面ABCD，所，

因为，，所以，

所以，，

所以A错；

对于B，因为，所以四棱锥的外接球的半径为，

所以四棱锥的外接球的表面积为，所以B对；

对于C，因为，所以异面直线PA与CD所成角等于，

又因为为正三角形，所以，所以C对；

对于D，取PB中点Q连接AQ，CQ，则，，

所以二面角的平面角为，，所以D对.

故选：BCD.

13、答案：-6

解析：

14、答案：-2

解析：，则，

依题意有，

则.

故答案为：-2.

15、答案：5

解析：，，且，

，

当且仅当，即，时，等号成立，

即的最小值为5.

故答案为：5.

16、答案：

解析：，，以线段为直径的圆与直线相切，

，化为：，

椭圆C的离心率.

故答案为：.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)，，

是以2为公差的等差数列，

，，

即，解得，

，

(2)，

.

18、答案：(1)或6

(2)外接圆的面积为

解析：(1)因为，所以，

又，所以，又因，

所以为等边三角形，故，

由，可得，

故，

解得或6；

(2)由(1)得：当时，，

则，所以，

设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，

所以，所以外接圆的面积为，

当时，，

则，

所以，同理外接圆的面积为，

综上所述，外接圆的面积为.

19、答案：(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

解析：(1)依题意可知，，，

，

故y关于x的线性回归方程为.

(2)令，得，

故这10位男生的体重有3位体重超过60kg，

X的可能取值为0，1，2，

，，，

则X的分布列为：

.

20、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)取AD中点O，连接OM.

因为在梯形ABCD中，O，M分别为AD，BC的中点，

所以，又，所以.

因为为等边三角形，故，

又面底面ABCD，面面，

面ADP，故底面ABCD.

因为面ABCD，所以.

又因为，所以面POM，

而面POM，故.

(2)由(1)可知，以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

设为平面PAD的一个法向量，

则，即，令，则.

设为平面PBC的一个法向量，

则，即，令，

则.

于是，

因为由图可知面PAD与面PBC所成的二面角为锐角，

所以面PAD与面PBC所成的二面角的余弦值为.

21、答案：(1)

(2)以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，

解析：(1)由题意可设抛物线方程为，､，

由.可得，即.解得

抛物线方程为：.

(2)设直线l：，，，

由联立得，.则.

直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得.

以AB为直径的圆的圆心为，半径为，

则圆的方程为.

令.则.即，解得或.

即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，.

22、答案：(1)当时，函数的递增区间为；

当时，函数的递增区间为，递减区间为

(2)实数a的取值范围为

解析：(1)该函数的定义域为，

，

①当时，恒成立，函数的递增区间为；

②当时，令，解得或，

所以函数的递增区间为，递减区间为，

所以当时，函数的递增区间为；

当时，函数的递增区间为，递减区间为.

(2)对任意的，都有成立，只需任意的，，

①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，，所以只需，而，所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，在上是增函数，

所以只需即可，而，从而不满足题意；

综上①②③可得：实数a的取值范围为.