2023年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，边长为的菱形绕点旋转，当、两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直角三角板中，，，一边平行于的直尺将三角板分成面积相等的三部分，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的(    )

A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

5.  如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，、、在直线上，若，且、、都是等边三角形，从左到右的小三角形阴影部分的面积分别记为、、、、则可表示为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  分式可取的最小值为(    )

A.  B.  C.  D. 不存在

7.  如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于若，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  表示不超过的最大整数若实数满足方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）

9.  已知，则的值是______．

10.  有背面完全相同的张卡片，正面分别写有这九个数字，将它们洗匀后背面朝上放置，任意抽出一张，记卡片上的数字为，则数字使不等式组有解的概率为______ ．

11.  如图，在中，，，，，则线段的长______ ．

12.  函数对任意实数都有，且是三角形的内角，则的取值范围是______

13.  如图，在中以，为边向外作正方形与正方形，连结，并过点作于并交于若，，，则的长为______．

14.  如图，在矩形中，是直径，是的中点，是直线上任意一点，，，、相切于点、，当最大时，的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

15.  已知，求的值．

四、解答题（本大题共5小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知二次函数的图象是．
求关于点成中心对称的图象的解析式；
当时，的最大值为，求的值．

17.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点，设小正方形的边长为仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积；
在图中，在边上画点，使，并求出：的值．
 

18.  本小题分
在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点、，且点的坐标为．
如图，当点的横坐标为，求点的坐标和的值．
如图，当点在第三象限时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连结当时，求点的坐标和的值．
若，直接写出的值．
 

19.  本小题分
如图，菱形中，，点从出发，以的速度沿边、、匀速运动到终止，点从与同时出发，沿边匀速运动到终止，设点运动的时间为的面积与之间函数关系的图象由图中的曲线段与线段、给出．
求点运动的速度；
求图中线段的函数关系式；
问：是否存在这样的，使将菱形的面积恰好分成：的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由．
 

20.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
求的值．
已知点，是射线上的动点不与点重合，过，，三点的圆与轴交于点，求证：．
在的条件下，设，两点的横坐标分别为，．
求与的数量关系；
当时，求，的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用．
连接，根据题意可得为等边三角形，从而可得到的度数，再根据弧长公式求得弧的长度．
【解答】
解：连接，可得，则，根据弧长公式，可得
弧的长度等于
故选C．
  

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
∽，∽，
，，
，，
，
，
在中，，
，
同理可得，
，
故选：．
由平行推∽，∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，，再根据含度角的直角三角形的性质得出，，进而得到的长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质，掌握这两个性质定义的应用是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设直线平分的周长和面积，，分别在边和上，作的平分线交于，记到，的距离为，到的距离为，于是依题意有

解得，即为的内心，
故选：．
设直线平分的周长和面积，，分别在边和上，作的平分线交于，记到，的距离为，到的距离为，得出方程组，解得，再选出答案即可．
本题考查了三角形的内切圆，此题难度较大．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
直线与轴的成角，可得，，，，，；根据等腰三角形的性质可知，，，，；根据勾股定理可得，，，，再由面积公式即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键．
【解答】
解：、、都是等边三角形，
，，
直线与轴的成角，，
，
，
，
，
同理，，，
，，，，
易得，，，
，，，，
，，，；
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：
，
，
即，，，
可取的最小值为．
故选：．
分子与分母比较，基本上相比是倍的，因而将分子转化为，再进一步转化为，这样就转化为求的最小值，问题得以解决．
本题需注意从推导到的过程中，取倒数、取相反数“”“”相互转换．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，过点作于，

，
，
，
，
，
，，
，
为的直径，
，
，
设，，
根据勾股定理，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，，过点作于根据圆周角定理得出，则，从而得出，解直角三角形求得、，利用三角形面积公式即可求得阴影的面积．
本题考查扇形的面积，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，．
．
．
故选：．
根据二次根式的非负性解决此题．
本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式的运用．关键是利用换元法消去所求代数式中的由已知得，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．
【解答】
解：：，
，
．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
要使不等式组有解，
，
符合题意的只有，，，共个，
故数字使不等式组有解的概率为：．
故答案为：．
首先解不等式，进而利用不等式组有解得出的取值范围，即可利用概率公式得出答案．
此题主要考查了不等式的解集以及概率公式，正确得出的值是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过作，垂足为交于，如图，

过作，垂足为交于，
，
，，
，

∽，
，
，
，
又，
∽，
：：，
设长为，则：
：：，
解得：或舍去，
．
故答案为：．
过作，垂足为交于，证明∽，推出，可得，由∽推出：：，设长为，由此构建方程求解，进一步求得结果；
本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得
即
，
解得，又因为
所以的取值范围为．
故答案为．
因为，所以只要，函数值恒为正．由，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方和为记住特殊角的三角函数值．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，作交的延长线于点，连接，作于点，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
，
，，
，，
，
，
于点，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
作交的延长线于点，连接，作于点，先求得，通过解直角三角形求出的长，再证明≌，得，则四边形是平行四边形，由求得的长．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、同角的补角相等、同角的余角相等、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是矩形，
，

连接，，
，是的切线，
，
要最大，则最大，
是的切线，
，
在中，，
，
要最大，则最短，
即，
如图，延长交直线于，
四边形是矩形，
，，
，

点是的中点，
，
≌，
，
是的直径，
，
，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
先判断出时，最大，判断出≌，求出，再用勾股定理求出，再判断出∽，求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论．
此题主要考查了切线的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出是解本题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
原式




． 

【解析】先化简，再代入求值即可．
本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．
 

16.【答案】解：依题得，，且，
故图象的顶点为，由对称性可知，图象的顶点为，
且其开口方向与的相反，
，
即；
当时，抛物线的开口向上，对称轴为，
若，则当时，取得最大值，
由得，． 

【解析】先求出的顶点坐标，由中心对称得出的顶点坐标，又由于和的开口方向相反，且开口大小相同，故值相同，因此可确定解析式．
由于的开口向下，且对称轴位于内，故顶点纵坐标为，则的值便可求出．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知关于定点中心对称时抛物线的解析式的求法是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图中，点，直线即为所求；

如图中，点即为所求．
设，则，
，
，
：：：． 

【解析】取格点，，连接交于点，连接，交于点，作直线即可；
设，利用勾股定理构建方程求出，可得结论．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：在上，
，即双曲线解析式是，
当点横坐标为时，纵坐标为，
．
直线过点，，得，
解得，
故直线的解析式为，
，，
，
，，

；

设，则，
，而，
；
两三角形同底，
两三角形的高相同，
，
，，
四边形与四边形都是平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
设，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
．
，，
，，
直线的解析式为，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得，
解得，，
．

如图：过分别作于，作于，过作于，

则，，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
直线方程的解析式为，
的坐标为，，
再将直线方程代入双曲线方程有，
解得或，
当，，
∽，
，
，，
，
如图，

直线与双曲线过点，代入双曲线方程，
解得：，
代入直线方程，，，
所以直线方程变为，
，
同理直线方程为，
的坐标为，，
再将直线方程代入双曲线方程有，解得或，
当，，
过作平行于轴的直线，过作平行于的直线，两直线相交于，
∽，
，
，，所以．
综上所述：的值为或． 

【解析】把代入上，得到，求得解方程组得到直线的解析式为，根据勾股定理得到于是得到结论；
设，则，根据三角形的面积得到两三角形的高相同，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设，，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论；
如图，如图，过分别作于，于，过作于，得到，，设，，根据相似三角形的性质得到，求得直线方程的解析式为，得到的坐标为，，根据相似三角形的性质得到结论．
本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，三角函数定义，题目综合性较强．
 

19.【答案】解：由题意，可知题图中点表示点运动至点时的情形，所用时间为，则菱形的边长．
此时如答图所示：

边上的高，
，解得，
点的运动速度为：．

由题意，可知题图中段表示点在线段上运动时的情形．如答图所示：

点运动至点所需时间为：，点运动至点所需时间为，至终点所需时间为．
因此在段内，点运动至点停止运动，点在线段上继续运动，且时间的取值范围为：．
过点作交的延长线于点，则．
，
段的函数表达式为：．

菱形的面积为：．
当点在上运动时，将菱形分成和五边形两部分，如答图所示．
此时的面积，
根据题意，得，
解得舍去负值；

当点在上运动时，将菱形分为梯形和梯形两部分，如答图所示．
此时，有，即，
解得
存在和，使将菱形的面积恰好分成：的两部分． 

【解析】根据函数图象中点所代表的实际意义求解．点表示点运动到与点重合时的情形，运动时间为，可得；再由，可求得的长度，进而得到点的运动速度；
函数图象中线段，表示点运动至终点之后停止运动，而点在线段上继续运动的情形．如答图所示，求出的表达式，并确定的取值范围；
当点在上运动时，将菱形分成和五边形两部分，如答图所示，求出的值；
当点在上运动时，将菱形分为梯形和梯形两部分，如答图所示，求出的值．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

20.【答案】解：在中，令，得，令，得，
，，
，，
，
；
证明：作轴交于，
轴，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
即．
解：过点作于点，交的延长线于点，连接，，
，，
，
，，
，
，，
≌，
，
设，，
，
，，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，． 

【解析】求出点和点的坐标，根据三角函数的定义即可得到结论；
作轴交于，证明∽，得出，求出的长，证得，则可得出结论；
过点作于点，交的延长线于点，连接，，证明≌，由全等三角形的性质得出，设，，则可得答案；
证出，得出，则，解方程组可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．