2023年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2023年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，属于负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  去括号应得(    )

A.  B.  C.  D.

3.  第四届世界茉莉花大会、年中国横州茉莉花文化节于月日、日在南宁市和横州市两地举行，茉莉花产业成了横州市一张靓丽的名片，目前横州市茉莉花种植面积约亩数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的手提水果篮，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  为庆祝年月日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动经过几轮筛选，九班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表所示：

如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某活动小组购买了个篮球和个足球，一共花费元，其中篮球的单价比足球的单价多元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )
 

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

10.  如图是一个由、、三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形相似比相同，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中、、的纸片的面积分别为、、，若，则这个矩形的面积一定可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  的绝对值是______．

12.  因式分解：______．

13.  国庆节期间，小红的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共个，小红将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______个．

14.  如图、、是圆的切线，切点分别为、、，若，，则的长是______．

15.  如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，点坐标为，对角线和相交于点且若反比例函数的图象经过点，并与的延长线交于点，则        ．

16.  如图，在矩形纸片中，，，按以下步骤操作：
第一步，在边上取一点，且满足，现折叠纸片，使点与点重合，点的对应点为点，则得到的第一条折痕的长为        ．
第二步，继续折叠纸片，使得到的第二条折痕与垂直，点的对应点为，则点和点之间的最小距离为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
作图题
填空：如果长方形的长为，宽为，那么对角线的长为        ．
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点端点，分别按下列要求画图不要求写画法和证明，但要标注顶点．
在图中，画一个面积为的菱形，且邻边不垂直．
在图中，画平行四边形，使，且面积为．

19.  本小题分
已知抛物线经过点，．
求该二次函数的解析式；
用配方法将中的解析式化为原点式的形式，并写出顶点坐标．

20.  本小题分
某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写个汉字，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分，请根据统计图表的信息解决下列问题，
组别正确字数人数：

在统计表中，        ，        ，并补全直方图；
在扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是        ；
若该校共有名学生，如果听写正确的个数不少于个定为“优秀”，请你估算这所学校本次比赛听写“优秀”的学生人数．

21.  本小题分
我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨利用水力舂米的器械．天工开物中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图碓杆的简意图如图，是垂直水平地面的支柱，米，：：当点位于最低点时，；当点位于最高点时，过点作直线垂直于，分别过点，作，，垂足分别为，．
求和的度数；
求点从最高点到最低点之间的垂直距离即求的长参考数据：，，
 

22.  本小题分
小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间的函数关系根据图中提供的信息，解答下列问题：
求小王的骑车速度，点的横坐标；
求线段对应的函数表达式；
当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？

23.  本小题分
【证明体验】如图，正方形中，、分别是边和对角线上的点，．
求证：；
______；
【思考探究】如图，矩形中，，，、分别是边和对角线上的点，，，求的长；
【拓展延伸】如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，、分别是线段和上的点，，，求的长．
 

24.  本小题分
如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点．
求证：；
如图，过点作的垂线，分别与，，相交于点、、，求证：；
如图，在的条件下，连接，若，的面积等于，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是正数，不符合题意；
是负数，符合题意．
故选：．
根据正负数的定义即可解答．
本题主要考查了正负数的定义，掌握大于的数是正数，小于的数为负数，既不是正数也不是负数是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了去括号法则的应用，注意：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项的符号都不变，括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项的符号都改变．
本题先去小括号，再去中括号，即可得出答案．
【解答】
解：

．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图，注意主视图的方向，俯视图与主视图的方向有关．
 

5.【答案】 

【解析】解：丙、丁同学的平均数比甲、乙同学的平均数大，
应从丙和丁同学中选，
丙同学的方差比丁同学的小，
丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学．
故选：．
先比较平均数得到丙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到丙同学的状态稳定，于是可决定选丙同学去参赛．
本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
本题主要考查分式有意义的条件：分母，即，解得的取值范围．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的中位线，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由三角形的中位线定理得到，，，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：
，
故选：．
根据题意可得等量关系：个篮球的花费个足球的花费元，篮球的单价足球的单价元，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点的坐标是解题的关键．
先求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【解答】
解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数图象上，
，
，
由题意得关于的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
关于的不等式的解集为或，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，由、、三种直角三角形相似，设相似比为，，则，．

，，，
则有：，
整理得：，
或舍弃，
，，
，
这个矩形的面积，
故选：．
如图，由、、三种直角三角形相似，设相似比为，，则，想办法构建方程，求出定值，证明即可解决问题；
本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故答案为：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是正确解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：时，解得或，

，
故答案为：
先求出一元二次方程的两个实数根，再因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握在实数范围内因式分解的方法，一元二次方程的求根公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设红球的个数为，
红球的频率在附近波动，
摸出红球的概率为，即，
解得．
所以可以估计红球的个数为．
故答案为：．
因为摸到红球的频率在附近波动，所以摸出红球的概率为，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：、、是圆的切线，
，，
，
．
故答案为．
根据切线长定理得到，，然后求出即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于，

，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形是菱形，
，
为的中点，
，
又在反比例函数上，
，
，
的纵坐标为，
又在反比例函数上，
的横坐标为，
，
，
，
故答案为：．
如图所示，过点作于，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和两点中点坐标公式求出，将代入反比例函数解析式可得，进而求出点坐标，最后根据三角形面积公式分别求得即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．
 

16.【答案】  

【解析】解：过点，作，于点，，
得矩形，矩形，矩形，
，，

由翻折可知：，，
设，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
如图中，过点作，连接，过点作于点，交的延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形．

，
，
，
，
，
，，
同法在中，可得，
，，
，

，
点在直线上运动，
当与重合时，的最小，最小值为，
故答案为：．
过点，作，于点，，得矩形，矩形，矩形，设，根据，可得，根据勾股定理列式求出，进而可以解决问题；
如图中，过点作，连接，过点作于点，交的延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形．由题意，点在直线上运动，推出当与重合时，的最小，求出即可解决问题．
本题主要考查了矩形的折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】根据有理数的加减法则计算即可答案；
先去绝对值，开立方，再乘，最后算加减．
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
 

18.【答案】 

【解析】：长方形的长为，宽为，
对角线的长为，
故答案为：；
如图，四边形即为所求的菱形，

由网格知，和互相平分，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积是，
故菱形满足题意；
如图，平行四边形满足题意，

由图可知，，，
四边形是平行四边形，
则平行四边形的面积，
，
平行四边形满足题意．
根据勾股定理即可得到答案；
根据正方形的性质得到和互相平分，，则四边形是菱形，再用勾股定理和菱形面积等于对角线乘积的一半，即可验证满足题意；利用网格的特点构造一条边长为，此边上的高为，的平行四边形即可．
此题考查了菱形的判定和面积公式、平行四边形的判定和面积、勾股定理、正方形的性质等知识，充分利用网格的特点作图是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
所以抛物线解析式为；
，
所以抛物线的顶点坐标为． 

【解析】把两个已知点的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式；
利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】     

【解析】解：根据组的数据可知，抽查的总人数是人，
组中的，组中的，
补全直方图如图．

故答案为：，；
“组”的人数是人，占本次抽查人数的，
扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：．
听写正确的个数不少于个，即大于或等于个的为优秀，此次抽查中大于或等于个的人数是人，与总人数的比是，
该校共有名学生中优秀人数约是人．
故听写“优秀”的学生人数约为人．
根据组有人，所占的百分比是即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
利用度乘以对应的比例即可求解；
利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题主要考查概率统计，用样本估算总体，掌握统计中的相关计算方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
，
．

米，：：，
米，
米，米，
点从最高点到最低点之间的垂直距离为米． 

【解析】利用角的和差定义求解即可；
解直角三角形，分别求出，即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：由图可得，
小王的骑车速度是：千米小时，
点的横坐标为：；
设线段对应的函数表达式为，
，，
，
解得：，
线段对应的函数表达式为；
当时，，
此时小李距离乙地的距离为：千米，
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有千米． 

【解析】根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点的坐标；
用待定系数法可以求得线段对应的函数表达式；
将代入中的函数解析式求出相应的的值，再用减去此时的值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
，
四边形为正方形，，为对角线，
，
；
解：四边形为正方形，，为对角线，
，
，
，
∽，
，
故答案为：；
解：连接交于点，

在矩形中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
；
解：在菱形中，，
连接交于点，

，且与互相平分，
，，
在中，，
，
为菱形对角线，
，
，，
，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
∽，
，
．
说明，，即可证明；
由∽得，；
连接交于点，通过计算，得出，再由同理可得∽，则；
连接交于点，同理得，则∽，得，求出的长，再利用∽，得，从而结论问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明∽是解题的关键，注意解题方法的延续性．
 

24.【答案】证明：连接，

在中，为的中点，
，
，
，，
，，
．

证明：连接．

是直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

解：作于，于．

，，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，作于，
在中，，
，设，，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
在中，，设，，，
，
，
． 

【解析】连接由，推出，由，，推出，，推出．
只要证明，即可推出．
由≌，推出，由≌，推出，是等腰直角三角形，推出，在中，，作于，在中，由，推出，设，，由，推出，推出，推出，，由，推出，过作于，在中，，设，，，可得，得，再根据即可解决问题．
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．