浙江省宁波市鄞州区蓝青学校2022-2023学年九年级上学期返校考数学试卷（Word版含答案）

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校九年级（上）返校考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 将抛物线向左平移个单位得到的抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件是必然发生事件的是(    )

A. 打开电视机，正在转播足球比赛
B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C. 在一个只装有个红球的袋中摸出个球，是红球
D. 农历十五的晚上一定能看到圆月

4. 已知函数，，当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，中，，，将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，则(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

6. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 如图是一个钟表表盘，若连接整点时与整点时的、两点并延长，交过整点时的切线于点，若切线长，表盘的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示，下列结论：
   小球在空中经过的路程是
   小球抛出后，速度越来越快
   小球抛出时速度为
   小球的高度时，
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在面积为的正方形中放两个正方形和正方形如图，重合的小正方形的面积为，若点、、在同一直线，则阴影部分面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 从，，，四个关系中，任选个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是______．
12. 如图，在每个小正方形的边长均为的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为______．

13. 如图，正方形中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转至与对应，与对应，连接、，若，平分，则长为______．

14. 如图，在中，，，，线段绕点旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值是______．

15. 如图，中，，在的延长线上截取，连接，过点作于点，交于点，连接，点为射线上一个动点，若，，当与相似时，的长为______．
16. 如图，抛物线与轴交于点和点．
    已知点在第一象限的抛物线上，则点的坐标是______；
    在的条件下，连接，为抛物线上一点，且，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知，且，求的值．
18. 本小题分
    已知：二次函数的图象经过点，和．
    求二次函数的解析式并求出图象的顶点的坐标；
    设点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围．
19. 本小题分
    在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，为圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作于点，交的延长线于点，连接．
    若，则圆心到“杠杆”的距离是多少？说明你的理由；
    若，求阴影部分的面积．结果保留
     

20. 本小题分
    从甲、乙、丙、丁名学生中选名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
    甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，恰好选中丙的概率是______；
    任意选取名学生参加比赛，求一定有乙的概率．用树状图或列表的方法求解．
21. 本小题分
    在小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．
    的三个顶点都在格点上．
    在图中，画出一个与成中心对称的格点三角形；
    在图中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的三角形．
    如图是由个边长为的小正方形拼成的图形，请用无刻度的直尺画经过点的一条直线，使它平分该图形的面积，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
22. 本小题分
    如图，为的直径，点和点是上的两点，连接，，，交的延长线于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．

23. 本小题分
    “垃圾分一分，明天美十分”，环保部门计划订制一批垃圾分类宣传海报，海报版面不小于平方米，当宣传海报的版面为平方米时，价格为元平方米，为了支持垃圾分类促进环保，广告公司给予以下优惠：宣传海报版面每增加平方米，每平方米的价格减少元，但不能低于元平方米假设宣传海报的版面增加平方米后，总费用为元．
    求关于的函数表达式；
    订制宣传海报的版面为多少平方米时总费用最高？最高费用为多少元？
    环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多少平方米的海报？
24. 本小题分
    基础巩固
    
    如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，与交于点求证：．
    尝试应用
    在的条件下，连接，如图，若，，求的长．
    拓展提高
    如图，点是等边三角形外一点，连接，，交于点，，，，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位所得抛物线解析式为：；
故选：．
根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项是随机事件，不符合题意；
选项是随机事件，不符合题意；
选项是必然事件，符合题意；
选项是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据必然事件的定义进行判断即可．
本题考查了随机事件，必然事件的概念，注意农历十五当遇到阴天或者雨天时可能就看不到圆月．
 

4.【答案】 

【解析】解：联立，并解得或，
，故抛物线开口向上，
则时，，
时，，
，
，
故选：．
联立，并解得或，则时，，进而求解．
本题考查的是抛物线与一次函数交点问题，弄懂题意，明确、代表的意义是本题解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，
，，
，
，
故选：．
由三角形内角和求出，由旋转的性质可得是等腰三角形，从而可得旋转角大小．
本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后对应边线段．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
点是中点，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
：：，
故选：．
通过证明∽，可求，，可得，，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明∽是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设钟表的中心为点，连接，，

由题意得：
点在上，，
，
与相切于点，
，
，
表盘的半径长为，
故选：．
设钟表的中心为点，连接，，根据题意可得：点在上，，然后利用圆周角定理可得，再利用切线的性质可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象知小球在空中达到的最大高度是；故错误；
小球抛出秒后，速度越来越快；故正确；
小球抛出秒时达到最高点即速度为；故正确；
设函数解析式为：，
把代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故错误；
故选D．
根据函数的图象中的信息判断即可．
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
 

9.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接．
是的内心，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：．
延长到，使，连接想办法求出，证明是的中位线即可解决问题．
本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，
设正方形的边长为，则，，，，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，，舍去，
即，则，
阴影部分的面积是：，
故选：．
根据题意和图形，可以求得和的长，然后根据图形可知，阴影部分的面积就是正方形的面积减去正方形的面积和正方形的面积，再加上正方形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：选到能够判定平行四边形是菱形的有、这种结果，
选到能够判定平行四边形是菱形的概率是，
故答案为：．
选到能够判定平行四边形是菱形的有、这种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接、、，
，
是直径，
，
根据网格图形可知：，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
所对的圆心角是，
的长为以为直径的圆周长的，
即．
故答案为：．

连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可．
本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，交于，如图：

将绕点逆时针旋转至，
，
，
平分，
，
，，
，即，
，即，
设，
，
或舍去，
，
故答案为：．
设，交于，根据将绕点逆时针旋转至可得，根据平分，可得，，即有，故，即，设，有，即可解得．
本题考查了旋转变换的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是证明，用三角函数解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：作的中点，连接，如图：

由题意知：，
点为的中点，点为中点，
，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当点在延长线上时，最大，
，，
，
点为中点，
，
最大为，
故答案为：．
作的中点，连接，根据为的中点，为中点，可得，从而知点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，可求得最大值为．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：连接．
在中，，，，
，
，，
，
，
，
，
设，则有，
，
，
，，
，
当∽时，，
，
．
当∽时，，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
证明，分两种情形：当∽时，，当∽时，，分别求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】   

【解析】解：抛物线，点在第一象限的抛物线上，
，得，
点的坐标为，
故答案为：；
过点作交的延长线于点，作轴于点，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
当时，或，
点的坐标为
点，点，
，
，
设，则，，，
点的坐标为，
解得，，舍去，
点的坐标为，
故答案为：．
根据函数解析式和点在第一象限的抛物线上，可以求得的值，从而可以得到点的坐标；
根据题意，画出图形，然后作出合适的辅助线，然后根据题目中的条件，可以表示出点的坐标，再根据点在抛物线上，即可求得点的坐标，本题得以解决．
本题是一道二次函数综合题、主要考查二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

17.【答案】解：设，则，，，
，
，
，
，，，
． 

【解析】设，得出，，，再根据，求出的值，然后得出，，的值，从而得出的值．
此题考查比例的性质，关键是设，得出的值．
 

18.【答案】解：设抛物线解析式为，
把，和代入，
得，解得：，
抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为；
抛物线的对称轴为直线，
关于直线的对称点为，
，在该抛物线上，且，
． 

【解析】设一般式为，然后把三个点的坐标代入得到、、的方程组，再解方程组即可；
先得出抛物线的对称轴直线，再利用二次函数的对称性得出点的对称点，最后利用二次函数的增减性解答即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：连接，

为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
的长是圆心到“杠杆”的距离，
，
；
，
，
由得：，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
． 

【解析】直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出，即可得出圆心到“杠杆”的距离为圆的半径；
利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，有种可能性，其中选中丙的有种可能性，
故恰好选中丙的概率是，
故答案为：；
树状图如下：

由上可得，一共有种可能性，其中一定有乙的可能性有种，
故一定有乙的概率是．
根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余名学生中任意选取名，有种可能性，其中选中丙的有种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率；
根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率．
本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
如图，利用中心对称图形的性质即可画出直线． 

【解析】以点为对称中心，画出图形即可；
根据旋转的性质，即可画出；
根据中心对称图形的性质即可解决问题．
本题主要考查了作图旋转变换，中心对称图形的性质等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，，如图，

在和中，
，
≌，
，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，如图，

由可知，
是的直径，
，
，
．
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，，
，
． 

【解析】连接，，证得≌，可得，从而得到，进而得到，利用切线的判定定理即可求证；
连接，证明∽，利用相似三角形的性质得出比例式即可求解．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
即关于的函数表达式为；
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，，
答：订制宣传海报的版面为平方米时总费用最高，最高费用为元；
，，
当时，取得最小值，此时，，
答：环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多平方米的海报． 

【解析】根据题意可以写出关于的函数表达式；
根据中的函数解析式和的取值范围，可以解答本题；
根据题意和的取值范围可以求得应该订制多少平方米的海报，可以使得环保部门总费用尽可能低．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
设，则，
解得或舍去，
；
解：过点作的垂线，分别交，于点，作于点，

，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
，
，，
∽，
，
即，
或舍去，
，
，，
，，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，列出方程可得出答案；
过点作的垂线，分别交，于点，作于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，由勾股定理可得出答案．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．