2023年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（金卷）（含解析）

2023年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（金卷）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据统计，宁波市年全年为亿元，位列浙江省第二，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某学习小组名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如表：

那么这名学生所得分数的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，将绕顶点旋转得到，且使得恰好落在边上，与交于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  孙子算经是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  当时，二次函数的最小值为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10.  已知长方形，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，图两种方式放置图，图中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为当时，(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  比较大小： ______填“”、““或“”

12.  分解因式：______．

13.  一个不透明的袋子里装有个红球和个白球和个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______ ．

14.  定义一种新运算：对于任意的非零实数，，若，则的值为______ ．

15.  如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、，连接，若，圆的半径为，是线段上的动点，当是直角三角形时，则的长为______ ．

16.  如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，则 ______ ；的面积 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，在的方格纸中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点，，，重合．
在图中画一个格点，使点，，分别落在边，，上，且．
在图中画一个格点四边形，使点，，，分别落在边，，，上，且．
 

19.  本小题分
如图，点在第一象限内，轴于点，反比例函数的图象分别交，于点，已知点的坐标为，．
求的值及点的坐标．
已知点在该反比例函数图象上，且在的内部包括边界，直接写出点的横坐标的取值范围．

20.  本小题分
某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图和图所示的不完整统计图．
被调查员工的人数为______人：
把条形统计图补充完整；
若该企业有员工人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？
 

21.  本小题分
我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．
求阿育王塔的高度；
求小亮与阿育王塔之间的距离．
注：结果精确到，参考数据：，，
 

22.  本小题分
某电商的商品平均每天可销售件，每件盈利元临近春节，电商决定降价促销经调查表明：每件商品每降低元，其日平均销量将增加件设商品每件降价元，日销量为件．
写出关于的函数表达式；
当降价多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图，连接．
填空：______；
如图，连接，作，垂足为，求的长度；
如图，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为单位秒，点的运动速度为单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？
 

24.  本小题分
如图，经过等边的顶点，圆心在内，分别与，的延长线交于点，，连结，交于点．
求证：．
当：：，时，求的长．
设，．
求关于的函数表达式；
如图，连结，，若的面积是面积的倍，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、和是同类项，能合并，故本选项错误；
B、，原式计算错误，故本选项错误；
C、，原式计算错误，故本选项错误；
D、，计算正确，故本选项正确．
故选：．
结合选项分别进行同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．
本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从正面看底层是三个正方形，上层中间是一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
排序后处于中间位置的那个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；可得答案．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：．
故选：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
，，
．
设，则，
由勾股定理得，
由射影定理得：．
由旋转变换的性质得：
，，而，
，，
，，
∽，
，
故选：．
如图，作辅助线．首先求出的长度，进而求出、的长度；证明∽，得，即可解决问题．
主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
等量关系为：鸡的只数兔的只数；鸡的只数兔的只数，根据等量关系列方程组即可．
【解答】
解：设鸡有只，兔有只，可列方程组为：
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：．
抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，若时，随的增大而增大，
当时，有最小值，
，
，
不合题意，舍去．
当时，，有最小值．
．
，
，
．
当时，若，随的增大而减少．
当时，有最小值．
．
．
．
不合题意，舍去．
综上：．
故选A．
将二次函数化成顶点式，再求最值．
本题考查二次函数的最值，对的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，



，
，，
，
．
故选：．
利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由，，列出方程求得便可．
本题考查了列代数式，正确表示出阴影部分面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据被开方数越大，算术平方根越大，即可进行比较．
本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；、绝对值法：两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：摸出红球的概率为．
故答案为：．
应用简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
去分母，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
检验：当，．
该分式方程的解为．
故答案为：．
根据题干的新定义，得到再解这分式方程，进而求得．
本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：连接，如图，
射线与相切于点，
，
，
，，
，
当时，点在点，此时；
当时，如图，
，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
连接，如图，先根据切线的性质得到，则利用含度角的直角三角形三边的关系求出，讨论：当时，易得；当时，如图，先计算出，则．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含度角的三角形三边的关系．
 

16.【答案】   

【解析】解：连接，
设点，则点，
点是反比例函数图象上一点，
，
反比例函数的图象经过的中点，
，
的面积的面积．
故答案为：，．
连接，表示出点的坐标，即可求得的值，根据的面积的面积，即可求得．
本题考查的是反比例函数的性质、面积的计算等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集是：． 

【解析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可；
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了整式的混合运算和解一元一次不等式组，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：满足条件的，如图，所示．


满足条件的四边形如图所示．
 

【解析】利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．
如图中，构造矩形即可解决问题．如图中，构造即可．
本题考查作图应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得，
．
点的纵坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得，
即点的坐标为；
点，点，点在该反比例函数图象上，且在的内部包括边界，
点的横坐标的取值范围是． 

【解析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，再把代入函数解析式，即可得到点的坐标；
根据题意和点、的坐标，可以直接写出点的横坐标的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 

20.【答案】；

“剩少量”的人数为人；
补全条形图如下：

估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有：
人．
故估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有人． 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．
由“不剩”的人数及其所占百分比可得答案；
用总人数减去其它类型人数求得“剩少量”的人数，据此补全图形即可；
用总人数乘以样本中“剩少量”人数所占百分比可得．
【解答】
解：被调查员工人数为人，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：在中，，
，
，
，
在中，，
，解得；
答：阿育王塔的高度约为；
由题意知：，，
∽，
，即，
解得，
答：小亮与阿育王塔之间的距离是． 

【解析】本题考查解直角三角形仰角问题，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程求出的长．
由，，可得，在中，可得，即可解得阿育王塔的高度约为；
由∽，可得，可解得小亮与阿育王塔之间的距离是．
 

22.【答案】解：由题意得：，
与的函数关系式为；
设日销售利润为元，
则

，
，抛物线开口向下，有最大值，
当时，最大．
答：当降价元时，每天的利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据利润等于每件的利润乘以销售量写出与的函数关系式；
将中所得的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】；
如图中，

，，
，，
，
由可得是等边三角形，
，，
，
，
．
当时，在上运动，在上运动，此时过点作且交于点．
则，

，
，
时，有最大值，最大值．

当时，在上运动，在上运动．

作于则，，
，
由可知：；

当时，、都在上运动，作于．

，，
，
当，最大，
当时，、重合；
综上所述，当时，取最大值，最大值． 

【解析】

【分析】
本题考查度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，属于中考压轴题．
只要证明是等边三角形，即可得解；
求出的面积，进行求解即可；
分情形讨论求解，即可解决问题．
【解答】
解：由旋转性质可知：，，
是等边三角形，
．
故答案为．
见答案；
见答案．  

24.【答案】证明：是等边三角形，
，
，，
，
；
如图，过点作于点，
是等边三角形，，
，
在中，，
，
，
，
：：，
，
，
在中，；
如图，过点作于点，

，
在中，，
，，
，
，
，
，
在中，，
；
如图，过点作于点，

设，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的面积，
的面积，
的面积是的面积的倍，
，
，
解得：，
， 

【解析】根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
过点作于点，根据三角函数和函数解析式解得即可；
过点作于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质解答．