2023年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校中考数学模拟试卷（4月份）（含答案）

这是一份2023年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校中考数学模拟试卷（4月份）（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2023年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）
1．（5分）手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可．下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时（　　）

A． B． C． D．
3．（5分）如图，直角三角板Rt△ABC中，∠C＝90°，一边平行于BC的直尺将三角板ABC分成面积相等的三部分，若，则EF的长为（　　）
​

A． B． C． D．
4．（5分）如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
5．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　）

A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
6．（5分）分式可取的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不存在
7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，将弧BC沿BC翻折，sin∠ABC＝，则图中阴影部分的面积为（　　）
​

A． B． C．8 D．10
8．（5分）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题（本题有6小题，每小题6分，共36分）
9．（6分）已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值是　 　．
10．（6分）有背面完全相同的9张卡片，正面分别写有1﹣9这九个数字，将它们洗匀后背面朝上放置，记卡片上的数字为a，则数字a使不等式组　 　．
11．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CD＝3，，则线段AD的长 　 　．​

12．（6分）函数y＝（cosθ）x2﹣4（sinθ）x+6对任意实数x都有y＞0，且θ是三角形的内角　 　
13．（6分）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，则MD的长为 　 　．

14．（6分）如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，P是直线AE上任意一点，AB＝4，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时　 　．

三.解答题：（本题有6小题，共74分）
15．（10分）已知a＝，求的值．
16．（10分）已知二次函数的图象是M．
（1）求M关于点R（1，0）成中心对称的图象N的解析式y2；
（2）当2≤x≤5时，y2的最大值为5，求a的值．
17．（10分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图2中，在边AB上画点H，使BH＝DH

18．（12分）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为（1，6）．
（1）如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和
（2）如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，垂足为F时，求点C的坐标和tan∠OAB的值．
（3）若，直接写出的值．
​
19．（16分）如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值，请说明理由．

20．（16分）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求cos∠OAB的值．
（2）已知点C（0，﹣2），D是射线AB上的动点（不与点A重合），过A，C，求证：∠OAB＝∠CAG．
（3）在（2）的条件下，设D，m．
①求m与n的数量关系；
②当AC∥DF时，求m，n的值．


2023年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校中考数学模拟试卷（4月份）（参考答案）
一、选择题（本题有8小题，每小题5分，共40分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）
1．（5分）手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可．下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．（5分）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接AC，可得AB＝BC＝AC＝1，根据弧长公式
弧BC的长度等于＝，故选C．

3．（5分）如图，直角三角板Rt△ABC中，∠C＝90°，一边平行于BC的直尺将三角板ABC分成面积相等的三部分，若，则EF的长为（　　）
​

A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：EH∥FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，△AEH∽△AFG，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，
∴FG＝×＝，
EH＝×＝3，
在Rt△AEH中，∠A＝30°，
∴AE＝2EH＝2，
同理可得AF＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝2﹣2，
故选：A．
4．（5分）如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解答】解：设直线DE平分△ABC的周长和面积，D，E分别在边AB和AC上，记P到AB，P到BC的距离为r1，于是依题意有

解得r＝r6，即P为△ABC的内心，
故选：A．
5．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（　　）

A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3
【解答】解：∵△A1B1A5、△A2B2A6…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B6∥A2B2∥A7B3∥…∥AnBn，B1A6∥B2A3∥B8A4∥…∥BnAn+1，
∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA4＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB5A1＝30°，
∴OA1＝A3B1，
∵A1（6，0），
∴A1B4＝1，
同理∠OB2A6＝30°，…，∠OBnAn＝30°，
∴B2A2＝OA5＝2，B3A7＝4，…，BnAn＝2n﹣4，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+5＝90°，
∴B1B2＝，B2B3＝5，…，BnBn+1＝5n﹣1，
∴S8＝×2×＝，S2＝×2×2，…，Sn＝×2n﹣1×6n﹣1＝；
故选：D．
6．（5分）分式可取的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不存在
【解答】解：＝＝＝
∵（x+2）2≥0，
∴（x+7）2+1≥8，
即，，＝4，
∴可取的最小值为5．
故选：A．
7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，将弧BC沿BC翻折，sin∠ABC＝，则图中阴影部分的面积为（　　）
​

A． B． C．8 D．10
【解答】解：如图，连接AC，过点C作CH⊥AB于H，

∵∠ABC＝∠DBC，
∴＝，
∴AC＝CD，
∵CH⊥AD，
∴AH＝HD，
∵BC＝4，sin∠ABC＝，
∴CH＝BC•sin∠ABC＝4，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠ABC＝＝，
∴设AC＝m，AB＝2m，
根据勾股定理，AC2+BC2＝AB2，
∴5m2+80＝25m3，
∴m＝2，
∴AC＝CD＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AD＝5AH＝4，
∴S阴影＝S△ACD＝AD•CH＝，
故选：C．
8．（5分）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得，1﹣，a﹣0．
∴a≥1．
∴[a]＝5．
故选：A．
二.填空题（本题有6小题，每小题6分，共36分）
9．（6分）已知a﹣b＝1，则a2﹣b2﹣2b的值是　1　．
【解答】：∵a﹣b＝1，
∴a＝b+1，
∴a4﹣b2﹣2b＝（b+2）2﹣b2﹣7b＝b2+2b+8﹣b2﹣2b＝7．
故答案为：1．
10．（6分）有背面完全相同的9张卡片，正面分别写有1﹣9这九个数字，将它们洗匀后背面朝上放置，记卡片上的数字为a，则数字a使不等式组　　．
【解答】解：≥7，
解得：x≥5，
∵要使不等式组有解，
∴a≥6，
∴符合题意的只有8，7，8，8共4个，
故数字a使不等式组有解的概率为：．
故答案为：．
11．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CD＝3，，则线段AD的长 　2+3　．​

【解答】解：过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，

过B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，
∵tan∠BAE＝，
∵∠C+∠EBC＝90°，∠C+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠EBC，
∵∠AEF＝∠BEC＝90°
∴△AFE∽△BCE，
∴，
∵BC＝BD+CD＝8，
∴AF＝7，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴FD：DC＝BD：AD，
设FD长为x，则：
x：3＝5：（x+4），
解得：x＝2﹣7或﹣2，
∴AD＝AF+FD＝2+2﹣7＝2．
故答案为：3+3．
12．（6分）函数y＝（cosθ）x2﹣4（sinθ）x+6对任意实数x都有y＞0，且θ是三角形的内角　0°＜θ＜60°　
【解答】解：由题意得
即
（2cosθ﹣1）（cosθ+3）＞0，
解得，又因为0°＜θ＜180°
所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°．
故答案为4°＜θ＜60°．
13．（6分）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，则MD的长为 　　．

【解答】解：如图，作FL∥CD交HM的延长线于点L，作DK⊥CF于点K，
∵四边形ACFG和四边形BCDE都是正方形，
∴CF＝AC＝3，BC＝CD＝2，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵∠CKD＝∠FKD＝90°，
∴＝sin60°＝，，
∴DK＝×3＝×2＝1，
∴FK＝4﹣1＝2，
∴DF＝＝，
∵CH⊥AB于点H，
∴∠AHC＝90°，
∴∠FCL＝90°﹣∠ACH＝∠CAB，
∵∠CFL＝180°﹣60°＝120°＝∠ACB，
∴△CLF≌△ABC（ASA），
∴LF＝BC＝CD，
∴四边形LFCD是平行四边形，
∴MD＝DF＝，
故答案为：．

14．（6分）如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，P是直线AE上任意一点，AB＝4，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时　　．

【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，

连接OP，OM，
∵PM，PN是⊙O的切线，
∴∠OPM＝∠MPN，
要∠MPN最大，则∠OPM最大，
∵PM是⊙O的切线，
∴∠OMP＝90°，
在Rt△PMO中，OM＝OD＝，
∴sin∠OPM＝＝，
∴要∠OPM最大，则OP最短，
即OP⊥AE，
如图2，延长DC交直线AE于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠ECG，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，

∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∴△ABE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AB＝6，
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝CD＝5，
∴OG＝OC+CE＝6，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE＝8，
∵∠OPG＝90°＝∠B，∠G＝∠BAE，
∴△ABE∽△GPO，
∴，
∴，
∴OP＝，
在Rt△PMO中，PM＝＝＝，
故答案为：．
三.解答题：（本题有6小题，共74分）
15．（10分）已知a＝，求的值．
【解答】解：∵a＝，
∴a＝2﹣＜5，
∴原式＝﹣
＝a﹣1﹣
＝a﹣1+
＝4﹣﹣1+5+
＝4﹣4
＝3．
16．（10分）已知二次函数的图象是M．
（1）求M关于点R（1，0）成中心对称的图象N的解析式y2；
（2）当2≤x≤5时，y2的最大值为5，求a的值．
【解答】解：（1）依题得，a≠01＝ax8+4ax+4a﹣5＝a（x+2）2﹣4，
故图象M的顶点为A（﹣2，﹣1），图象N的顶点为B（4，
且其开口方向与M的相反，
∴y2＝﹣a（x﹣4）5+1，
即y2＝﹣ax6+8ax﹣16a+1；
（2）当a＜8时，抛物线N的开口向上，
若2≤x≤5，则当x＝4时，y2取得最大值1﹣4a，
由1﹣4a＝6得，a＝﹣1．

17．（10分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，使EF平分矩形ABCD的面积；
（2）在图2中，在边AB上画点H，使BH＝DH

【解答】解：（1）如图1中，点E；

（2）如图2中，点H即为所求．
设DH＝BH＝x，则x3＝32+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴AH＝2﹣＝，
∴AH：BH＝：＝8：17．
18．（12分）在直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线，且点D的坐标为（1，6）．
（1）如图1，当点C的横坐标为3，求点C的坐标和
（2）如图2，当点C在第三象限时，过点C作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，垂足为F时，求点C的坐标和tan∠OAB的值．
（3）若，直接写出的值．
​
【解答】解：（1）∵D（1，6）在y＝上，
∴k＝3，即双曲线解析式是 y＝，
当C点横坐标为3时，纵坐标为4，
∴C（3，2）．
直线AB过点C（5，2），6），得，
解得，
故直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，
∴B（0，8），2），
∴AB＝4，
∵C（5，2），6），
∴CD＝＝8
∴＝＝；

（2）设C（a，b），
∵S△EFC＝（﹣a）（﹣b）＝，而S△EFD＝×1×5＝3，
∴S△EFC＝S△EFD；
∵两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE＝BF，∠FDB＝∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
，
∴△DFB≌△AEC（ASA），
∴AC＝BD，
∵，
设CD＝5k，AB＝k，
∴，
∵∠DFB＝∠AOB，∠DBF＝ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴，
∵DF＝4，
∴OA＝2，
∵OF＝6，
∴OB＝4，
∴tan∠OAB＝＝2．
∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），6），
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得，
解得，，
∴C（﹣3，﹣2）．

（3）如图4：过D分别作DE⊥OB于E，作DF⊥OA于F，

则DE＝1，DF＝6，
∵，
∴设OB＝m，OA＝3m，
∵DE⊥OB，
∴△BDE∽△BAO，
∴，
∴＝，
∴m＝，
∴B（0，），
∴直线方程AB的解析式为y＝﹣x+，
∴A的坐标为（19，8），），
再将直线方程代入双曲线方程有＝﹣，
解得x＝8或18，
当x＝18，y＝，
∵△AOB∽△CPD，
∴＝，
∵CP＝18﹣3＝17，AO＝54，
∴＝，
如图2，

直线与双曲线过D点（1，4），
解得：k＝6，
代入直线方程，3＝k+b，
所以直线方程变为y＝kx+6﹣k，
∵tan∠OAB＝，
同理直线方程为y＝x+，
∴A的坐标为（﹣17，0），），
再将直线方程代入双曲线方程有＝x+，
当x＝﹣18，y＝﹣3，
过C作平行于x轴的直线，过D作平行于y的直线，
∴△AOB∽△CMD，
∴，
CM＝1﹣（﹣18）＝19，AO＝17＝．
综上所述：的值为或．
19．（16分）如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，则菱形的边长AB＝2×4＝6cm．
此时如答图1所示：

AQ边上的高h＝AB•sin60°＝3×＝cm，
S＝S△APQ＝AQ•h＝＝，解得AQ＝3cm，
∴点Q的运动速度为：8÷3＝1cm/s．

（2）由题意，可知题图6中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形

点Q运动至点D所需时间为：6÷1＝7s，点P运动至点C所需时间为12÷2＝6s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，且时间t的取值范围为：2≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE＝PD•sin60°＝（18﹣2t）×＝．
S＝S△APQ＝AD•PE＝t+t+，
∴FG段的函数表达式为：S＝t+．

（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°＝．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分．
此时△APQ的面积S＝AQ•AP•sin60°＝＝t2，
根据题意，得t2＝×，
解得t＝s（舍去负值）；

当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分．
此时，有S梯形ABPQ＝S菱形ABCD，即（2t﹣4+t）×6×＝×，
解得t＝s．
∴存在t＝和t＝．
20．（16分）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求cos∠OAB的值．
（2）已知点C（0，﹣2），D是射线AB上的动点（不与点A重合），过A，C，求证：∠OAB＝∠CAG．
（3）在（2）的条件下，设D，m．
①求m与n的数量关系；
②当AC∥DF时，求m，n的值．

【解答】（1）解：在y＝2x+3中，令y＝7，令x＝2，
∴A（﹣，6），3），
∴OA＝，OB＝3，
∴AB＝＝，
∴cos∠OAB＝＝＝；
（2）证明：作CG⊥y轴交AB于H，
∵CH∥x轴，
∴∠AHC＝∠DAF，
∵C（0，﹣7），
∴OC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵OA∥CH，
∴△OAB∽△CHB，
∴，
∴，
∴CH＝，
∴CH＝AC，
∴∠AHC＝∠HAC，
∴∠DAF＝∠GAC，
即∠OAB＝∠CAG．
（3）解：①过点D作DN⊥AF于点N，DM⊥AC交CA的延长线于点M，DF，
∵∠CAG＝∠MAD，∠CAG＝∠DAF，
∴∠MAD＝∠DAF，
∵DM⊥AM，DN⊥AF，
∴DM＝DN，
∵∠M＝∠DNF＝90°，∠DFN＝∠DCM，
∴△DMC≌△DNF（AAS），
∴MC＝NF，
设D（n，2n+6），0），
∴NF＝m﹣n，
∵OA＝，AC＝，
∴AN＝MA＝+n，
∴MC＝MA+AC＝+n+，
∴7+n＝m﹣n，
∴m﹣2n＝4；
②∵OA＝，OC＝2，
∴tan∠CAO＝＝，
∵DF∥AC，
∴∠DFA＝∠FAC，
∴tan∠CAO＝tan∠DFA＝，
∴，
∴，
∴4m﹣10n＝9，
又∵m﹣2n＝4，
∴m＝11，n＝．