冲刺2023年高考数学考点押题模拟预测卷05（新高考全国Ⅰ卷）（解析版）

2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷05

一、单选题

1．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算即可化简求值.

【解析】由得，

故选：A

2．已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简集合M，N，根据集合的运算判断为两集合交集即可得解.

【解析】，，

,

由Venn图知，A符合要求.

故选：A

3．已知抛物线的焦点在圆上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据焦点坐标即可求解，由的几何意义即可求解.

【解析】由于抛物线的焦点为正半轴上，与正半轴的交点为，故抛物线的焦点为，所以，

因此抛物线的焦点到准线的距离为，

故选：C

4．已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】C

【分析】判断的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调性.

【解析】函数的定义域为R，

因为，所以函数为奇函数，

又因为函数在R上都是减函数，

所以函数在R上是减函数.

故选：C.

5．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（    ）

A． B． C．8 D．

【答案】B

【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.

【解析】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，

又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，

又极差为，所以最小数字为，

所以这组数据为、、、、，

所以平均数为.

故选：B

6．已知事件A、B满足，，则（    ）

A． B．

C．事件相互独立 D．事件互斥

【答案】C

【分析】利用对立事件概率求法得，结合已知即独立事件的充要条件判断C，由于未知其它选项无法判断.

【解析】由题设，

所以，即相互独立，同一试验中不互斥，

而未知，无法确定、.

故选：C

7．在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程．

【解析】圆的圆心为，半径为2，

以、为直径,则的中点坐标为，，

以为圆心，为直径的圆的方程为，

因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，

所以是两圆的公共弦，

将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：.

故选：A．

8．已知函数，若实数a、b、c使得对任意的实数恒成立，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】设，得到，根据题意转化为，由此得出方程组，分和，两种情况讨论，即可求解.

【解析】设，

可得，其中，且，

因为实数使得对任意的实数恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

所以

由上式对任意恒成立，故必有，

若，则由式①知，显然不满足式③，所以，

所以，由式②知，则，

当时，则式①，③矛盾.

所以，由式①，③知，所以.

故选：B.

【点睛】知识方法：有关三角函数综合问题的求解策略：

1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.

2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.

二、多选题

9．已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.

【解析】对于A，，，，A错误；

对于B，，，，，，，

，即，B正确；

对于C，，，，即，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．若数据的方差为0，则此组数据的众数唯一

B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6

C．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大

D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

【答案】AD

【分析】对于A，利用方差的公式及众数的定义即可求解；

对于B，利用第百分位数的定义即可求解；

对于C，利用线性相关系数的值越接近于，相关性越强即可求解；

对于D，利用残差图中残差点的分布情况与模型的拟合效果即可求解.

【解析】对于A，由方差，得，即此组数据的众数唯一，故A正确；

对于B，数据2，3，5，7，8，9，9，11共有个，由可知，该组数据的第40百分位数为，故B错误；

对于C，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于，

故C错误；

对于D，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高,故D正确.

故选：AD.

11．函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.

【解析】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，

A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；

B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；

C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；

D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误.

故选：BC

12．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为

B．的周长最小值为

C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为

D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为

【答案】ACD

【分析】A选项：连接AD.证明出，即可求出直线AE与PB所成角为；B选项，把沿着CD展开与面BDC同一个平面内，利用余弦定理求出，即可判断；C选项，判断出小球是正四面体的内切球，设半径为r.利用等体积法求解；D选项，判断出要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为，利用几何关系求出.

【解析】A选项：连接AD.

在正四面体中，D是PB的中点，所以.

因为平面，平面，,

所以直线平面.

因为平面.

所以，所以直线AE与PB所成角为.故A选项正确；

B选项，把沿着CD展开与面BDC同一个平面内，

由，，

所以，所以，所以的周长最小值为不正确.故B选项错误；

C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r.由等体积法可得：，所以半径.故C选项正确；

D选项，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为，四个角小球球心连线是棱长为的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径是高的得，

如图正四面体，

则，正四面体高为，得.故D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知，则__________．

【答案】

【分析】利用向量的线性运算及向量的模公式即可求解.

【解析】由，得，即，解得，

所以.

故答案为：.

14．数列满足，若，，则＝____________．

【答案】-6

【分析】由递推公式可得数列的周期为4，又因为，再由计算即可.

【解析】解：因为，，

所以，，，，

所以数列的周期为4，

又因为，

所以.

故答案为：-6

15．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为________.

【答案】

【分析】作出函数f(x)的图象，分别利用对数函数和幂函数的单调性和最值，结合已知条件分析出实数m的取值范围．

【解析】作出函数f(x)的图象，

当x≤－1时，函数f(x)＝单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令＝2，解得x＝－8；当x＞－1时，函数f(x)＝在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f（2）＝2，又f(4)＝＜2，f(－1)＝－1，所求实数m的取值范围为

故答案为：

【点睛】本题考查对数函数和幂函数的性质，考查函数的单调性和最值，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于中档题．

16．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.

【答案】

【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值.

【解析】连接CD，CE，由半圆半径为1得：.

由对称性，设，又，，

所以，，

易知，所以的长为.

又，故，故，

令且，则，，

所以.

所以栈道总长度最小值.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若D为BC上一点，且，，求的面积.

【答案】(1).

(2).

【分析】（1）利用三角函数恒等变形得到，即可求出角A;

（2）先由余弦定理求得，利用向量的运算求出，直接代入面积公式即可求出的面积.

【解析】（1）在中，因为，

所以由正弦定理得：，即.

因为,所以，即.

因为,所以.

（2）在中，因为，，所以.

由余弦定理得：，即，解得：（舍去）.

因为.

所以，即.

因为，所以，解得：，

所以的面积 .

即的面积为.

18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；

(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x，y)，两个变量满足一元线性回归模型  （随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．

(ii)令变量，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．

附：样本相关系数，，，，

【答案】(1),这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

(2)（i）；（ii）经验回归方程;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

【分析】（1）根据相关系数计算，若两个变量正相关，若两个变量负相关，越接近于1说明线性相关越强.

（2）(i)整理得，根据二次函数求最小值时的取值；

(ii) 根据计算公式求得经验回归方程， 并代入可预测2024年移动物联网连接数.

【解析】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.

因为,

所以 ,

所以 ,

所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.

（2）(i)

，

要使取得最小值，当且仅当.

(ii) 由(i)知 ，

所以y关于x的经验回归方程，又，

所以当 时，则，

所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

19．已知数列的前项的和为，且满足.

(1)求数列的通项公式及；

(2)若数列满足，求数列的前项的和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由求出，由求得数列的递推关系得其为等比数列并得出公比，从而易得通项公式、前项和；

（2）根据绝对值的定义按正负分类讨论去绝对值符号，然后分组求和．

【解析】（1）由得：，即，

由得：，两式相减得：，

即，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

则，则；

（2）由（1）知：，则，

则当时，，

，

当时，

，

则.

20．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，A1D⊥BD1．

(1)证明：四边形ADD1A1为正方形；

(2)若直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为，CD＝2AB，求平面ABD1与平面BCD1的夹角的大小．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）易证平面，从而得到，再由，得平面，从而得到，然后由正方形的定义证明；

（2）建立空间直角坐标系，设，根据直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为求得a，b的关系，再分别求得平面ABD1的一个法向量为和平面BCD1的一个法向量为，由求解.

【解析】（1）解：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知：，

又，且，

所以平面，

又平面，

所以，又，且，

所以平面，

又平面，

所以，

因为四边形是矩形，

所以是正方形；

（2）建立如图所示空间直角坐标系：

，

设，

则，所以，

设ABCD的一个法向量为，

直线BD1与平面ABCD所成的角为，

则，即，解得，

则，

所以，

设平面ABD1的一个法向量为，

则，即，

令，则，

设平面BCD1的一个法向量为，

则，即，

令，则，

所以，

因为，则，

所以平面ABD1与平面BCD1的夹角为.

21．已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）.

(1)求直线l的倾斜角的取值范围；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）由求出，将代入抛物线C的方程得，设直线l的方程为，与抛物线方程联立利用判别式得的范围，再由向量共线得点E，F均在y轴上，可得k的取值范围及直线l的倾斜角的取值范围；

（2）设，根据M，A，B三点共线得，再由，求出，，求出直线的方程令得，同理可得，代入可得答案.

【解析】（1），，，，

将代入，解得，

抛物线C的方程为，

直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点，

直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，

由得，，

且，即，

且，

，，

，，点E，F均在y轴上，

，均与y轴相交，直线l不过点，，

k的取值范围为且且，

直线l的倾斜角的取值范围为；

（2）设，

M，A，B三点共线，，，

，，，，

由（1）知，，且，

直线的方程为，

令得，同理可得，，

.

【点睛】思路点睛：直线方程与圆锥曲线方程联立利用韦达定理是解决直线与圆锥曲线的位置共线的常用方法，三点共线要利用斜率线段或向量共线，本题考查了学生的思维能力、运算能力.

22．已知函数.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，且，求证：且.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）解法一：当时，成立；当时，即为，利用导数研究的最大值，即可得解；

解法二：由题意得，构造函数，利用导数研究的最小值，即可得解；

（2）解法一：根据的单调性可知．证，即证，即证，设，利用的单调性即可证明；证，即证．设，即证．设，则，设，利用导数研究其性质可知，，使得，从而得出的单调性，证得，可得结论.

解法二：证明的方法同解法一．在处的切线方程为，先证，设，利用导数研究其性质可知，，使得，从而得的单调性及，可得结论.

【解析】（1）解法一：当时，由，且时，故成立；

当时，即为.

由，令，得，

当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减，

所以，即.

综上，.

解法二：，由，且时，所以.

设，则，令，得，

当时，；当时，；

所以在单调递减，在单调递增，

所以，即.

（2）解法一：，

当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减，故.

先证，由，故即证，

由，故即证，

设，

则，

所以在上单调递减，所以.

所以，从而.

现证，即证.

设，故即证，即证.

设，

则，设，则，

当时，；当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又，

所以，使得，

故在单调递增，在单调递减，

又，

所以，即，故.

解法二：证明的方法同解法一.

，，

则在处的切线方程为，下面证.

设，

，

设，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，使得，

故在单调递减，在单调递增，

又，

故，即，所以.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：

（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；

（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.