冲刺2023年高考数学考点押题模拟预测卷02（新高考全国Ⅰ卷）（解析版）

2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷02

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接解出集合，再求交集即可.

【解析】，，则.

故选：D.

2．在等差数列中，若，，则（    ）

A．16 B．18 C．20 D．22

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解.

【解析】因为是等差数列，设其公差为，

所以，解得，

所以.

故选：B．

3．在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】证明,为直角三角形后可得的中点为外接球的球心，为半径,分别计算外接球的表面积与三棱锥的体积即可.

【解析】

取的中点,连接，

因为面 面面

所以，

所以，

所以，，

因为面 面

所以面，

又因为面，

所以，

所以，所以，

所以为三棱锥的外接球的圆心,半径，

所以球的表面积为，

三棱锥的体积为，

故.

故选：D

4．已知函数，则的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用导数判定单调性即可得出选项.

【解析】，

令，所以在和上单调递增，

故选：C

5．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．考虑第一次取球甲、乙都取到红球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，分别求出其概率，即可求出答案.

【解析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．

若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，

则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，

第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，

故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，

盒子A有8个球的概率为，

同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，

盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，

盒子A中恰有8个球的概率是．

故选:A．

6．已知p：，q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】令,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.

【解析】令，，

且，

故为奇函数，

时，递增，则也递增，

又为奇函数，则在上递增，

，若，则，

则，即

即；

，若，

则等价于，即，

由在上递增，则， 即，

故p是q的充要条件，

故选：C.

7．意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】B

【分析】根据图示规律和数列递推关系即可求解.

【解析】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，

所以，

整理可得，

由此可推断出也可构成以下正三角形，

所以，

整理可得，

所以

故选：B

8．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.

【解析】由题意如图所示：

由双曲线，知，

所以，

所以，

所以过作垂直于轴的直线为，

代入中，解出，

由题知的内切圆的半径相等，

且，的内切圆圆心

的连线垂直于轴于点，

设为，在中，由等面积法得：

由双曲线的定义可知：

由，所以，

所以，

解得：，

因为为的的角平分线，

所以一定在上，即轴上，令圆半径为，

在中，由等面积法得：

，

又

所以，

所以，

所以，

，

所以

，

故选：A.

二、多选题

9．有两组样本数据1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，则这两组样本数据的（    ）

A．样本平均数相同 B．样本中位数相同 C．样本方差相同 D．样本极差相同

【答案】ABD

【分析】根据平均数，中位数，方差和极差的定义依次计算得到答案.

【解析】对选项A：平均数分别为，，正确；

对选项B：中位数分别为，，正确；

对选项C：方差分别为，

，不正确；

对选项D：极差分别为，，正确.

故选：ABD.

10．已知角的终边与单位圆交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.

【解析】角的终边与单位圆交于点，

，，，

当时，；

当时，．

故选：AC.

11．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（    ）

A．有水的部分始终是棱柱

B．水面所在四边形EFGH为矩形且面积不变

C．棱始终与水面平行

D．当点H在棱CD上且点G在棱上（均不含端点）时，不是定值

【答案】AC

【分析】利用棱柱的几何特征判断A；根据水面矩形变化情况判断B；利用线面平行的判定判断C；利用盛水的体积判断D作答.

【解析】对于A，有水部分的几何体，有两个面都垂直于BC，这两个面始终平行，而，

并且BC始终与水面平行，即有，若点H在棱上，由面面平行的性质知，

，若点H在棱CD上，，因此该几何体有两个面互相平行，其余各

面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，A正确；

对于B，因为水面为矩形，边的长不变，随旋转角的变化而变化，矩形的面积不是定值，B错误；

对于C，因为始终与平行，而始终与水面平行，并且不在水面所在平面内，即棱始终与水面平行，C正确；

对于D，当点在棱上且点在棱上（均不含端点）时，有水部分的棱柱的底面为三角形，

而水的体积不变，高不变，则底面面积不变，即为定值，D错误.

故选：AC

12．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】分析题意发现是一个等比数列，按照等比数列的性质逐一验证即可，其中B选项是化简成一个等差数列进行判断，CD两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证单调性.

【解析】由题可知，；，；，

由此可知，即一个等比数列；

A：，A错误；

B：，因为，所以该数列为递减数列，

又因为当时，，所以恒成立，B正确；

C：，即，两边约去得到，

当时，，原式成立；

当时，恒成立，所以成立，

即成立，C正确；

D：令，再令，

令解得，因为，所以取，

由此可知时；时，

故为最大值，，根据单调性，即不恒成立，D错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知点D为△ABC的边BC的中点，，，，，的夹角为，则______．

【答案】

【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得，两边同时平方即可代入求模长.

【解析】因为，所以，

所以，

所以．

故答案为：.

14．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（，，）.

【答案】0.4262

【分析】设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.

【解析】设每个人需要的化验次数为X，

若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；

因此，X的分布列为，，

，

说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.

故答案为：0.4262.

15．已知数列的前项和为，，，若对任意，等式恒成立，则_______.

【答案】＃＃0.5

【分析】根据的关系可得数列是以为首项，1为公差的等差数列，进而由等差数列的求和公式即可化简求解.

【解析】因为，

所以当时，有，

两式相减得，

即有，

整理得：，

所以，

所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，

所以，

，

则，

所以，

又因为对任意，等式恒成立，

所以，解得.

故答案为：

16．若等差数列满足，则n的最大值为___．

【答案】50

【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.

【解析】由题意知：等差数列满足

，

故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，

设，等差数列的公差为，不妨设，此时，，

则，且，即，故，.

又，则，故，即有，

则

，

可得，解得，又，

即有的最大值为，的最大值为.

故答案为：50

四、解答题

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．

(1)求的值；

(2)若，求cosB的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；

（2）根据余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案.

【解析】（1）由，则，

设，则，

根据余弦定理，可得，

化简可得，根据正弦定理可得：，则.

（2）由，根据余弦定理，可得，整理可得，

则，，由，则，

由，则，根据正弦定理，可得，即，故，

.

18．已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)， ；，

(2) ．

【分析】（1）设等比数列的公比为，由求得公比，再由求解；进而由求解.

（2）由对于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.

【解析】（1）解：设等比数列的公比为，

由，显然，所以，解得，

由于，所以的通项公式为，；

所以，，

所以的通项公式为，．

（2）因为恒成立，即对于任意的恒成立．

令，，

则，

当时，所以，即的最小值为，

所以实数的取值范围为.

19．如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．

(1)证明；平面；

(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连接，根据圆的性质知△、△都为等腰直角三角形，进而有为平行四边形，则，根据线面平行的判定证明结论.

（2）构建空间直角坐标系，根据已知求得，再求出、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.

【解析】（1）连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，

所以△为等腰直角三角形，即，

又在圆上，故△为等腰直角三角形，

所以且，又是母线且，则，

故且，则为平行四边形，

所以，而面，面，

故平面.

（2）由题设及（1）知：、、两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，

过作，则为的中点，再过作，连接，

由圆，即圆，圆，则，又，则，

故二面角的平面角为，而，

所以.

则，，，，

所以，，，

若为面的一个法向量，则，令，则，

，故与平面所成角的正弦值.

20．某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.

(1)若，，试估算该小区化验的总次数；

(2)若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小.

（注：当时，）

【答案】(1)180次；

(2)10.

【分析】（1）设每位居民需化验的次数为，则可取，，分别求概率，进而可得期望，即得；

（2）设每组n人总费用为Y元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得.

【解析】（1）设每位居民需化验的次数为X，

若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，

所以，，

，

所以2000名居民总化验次数约为次；

（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，

所以，，

所以，

每位居民的化验费用为：

元，

当且仅当，即时取等号，

故时，每位居民化验费用的期望最小.

21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由．

【答案】(1)

(2)可以在同一个圆上，和

【分析】（1）由抛物线焦点坐标得，抛物线准线方程代入椭圆方程求得弦长，从而可求得，得椭圆方程；

（2）由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，，，，，

直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，用直线上的弦长公式表示后，代入（同理得的相减表达式），从而求得值，得直线方程．

（1）

抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    

设，由已知得，

，，，

所以，即，，解得，，

则椭圆E的标准方程为．

（2）

因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点，且互相垂直，

由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，    

，，，，

将直线l的方程代入椭圆方程得，

，

所以，，    

若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，

则，    

所以，

所以，

所以，

，

同理，

所以，    

则，所以，

此时存在这样的直线m与直线l，其方程为和．

当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上．

综上，存在这样的直线m与直线l，其方程为和．

22．已知函数.

(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；

(2)设的导函数为，若满足，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意可得在上恒成立，令，求导，分、讨论在上恒成立即可；

(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求导得当时，，即有，于是得以，代入①式中化简即可得证.

【解析】（1）解：当时，，，

因为在上是单调递增函数，

所以在上恒成立，

令，则，

当时，，

令，，

所以在上递增，

即，

所以在上恒成立，符合题意；

当时，，，且在为单调递增函数，

所以存在唯一使得，

所以当时，，在递减，

即，，不符合题意；

综上所述；

（2）证明：，

当时，由（1）可知是增函数，所以，

设，

，

移项得，

由（1）知，即，

所以，

即，①

设，，

所以当时，，

即，

所以，即，

所以，

代入①式中得到，

即，

所以，命题得证.

【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数求参数的范围及证明不等式成立问题:

对于函数在所给区间上单增(减)，等价于其导数在所给区间上恒为正(负)；

对于恒成立问题，常采用方法有二：

一是求导，利用导数求出函数的最值，转化为最值与参数之间的关系；

二是分离参数，再利用导数求函数的最值，转化为参数与函数的最值之间的关系.