押题预测卷08（解析版）决胜2023年高考数学押题必刷仿真模拟卷（新高考地区专用）

决胜2023年高考数学考前押题预测卷08

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则集合可能是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】∵，

∴

又∵

∴

故选：C.

2．为了研究某班学生脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由已知,

，

故选:C.

3． 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（    ）

A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种

【答案】A

【解析】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.

故选：A

4．过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 16

【答案】A

【解析】化为标准形式由此知；

设直线l的方程为：， ，，根据抛物线定义知；

将，代入，可得，

由此代入.

故选：A

5．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】以为原点建系，，

，即，故圆的半径为，

∴圆，设中点为，

，

，∴，

故选：D.

6．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（    ）

A. 110 B. 100 C. 90 D. 80

【答案】A

【解析】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，

因为，

所以数列的前20项和为：

，

故选：A

7．已知，则（    ）

A.  B. －1 C.  D.

【答案】C

【解析】由，

所以，则，

所以，则，故，

由.

故选：C

8．已知实数，且，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】由，，得，，，因此，，.

设函数，则，，，

，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，又，

所以，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设z为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ）

A. 若z∈R，则z＝ B. 若z2∈R，则z∈R

C. 若z2＋1＝0，则z＝i D. 若（1＋i）z＝1－i，则|z|＝1

【答案】AD

【解析】设.

A选项，因z∈R，则，则，故A正确；

B选项，注意到，但，故B错误；

C选项，注意到，则有可能为，故C错误；

D选项，，则，故D正确

故选：AD

10．已知函数，则（    ）

A. 是一个最小正周期为的周期函数

B. 是一个偶函数

C. 在区间上单调递增

D. 的最小值为，最大值为

【答案】BC

【解析】对于A选项，

，

所以，函数为周期函数，且该函数的最小正周期不是，A错；

对于B选项，对任意的，。

所以，函数为偶函数，B对；

对于C选项，当时，，

，

令，则，因为函数在上单调递减，

函数在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，C对；

对于D选项，，

因为，令，，

则二次函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，

又因为，，所以，，

因此，的最小值为，最大值为，D错.

故选：BC.

11．在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（    ）

A. 异面直线与的距离为

B. 直线与平面所成的角的余弦值为

C. 若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为

D. 以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为

【答案】ACD

【解析】由已知两两垂直，

故以为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，

故，，

设向量，，

则，取，可得，

所以满足条件的一个向量，

所以向量在向量上的投影向量的模为，A正确；

设平面的法向量为，，

则，又，

所以，令，则，

所以为平面的一个法向量，又，

所以，

设直线与平面所成的角为，

则，又，

所以，B错误；

由正四棱柱的性质可得其外接球的球心为的中点，为外接球一条直径，

因为，

所以正四棱柱的外接球的半径为，

其表面积为，C正确；

如图，以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线由四段圆弧组成，

由已知，，

所以，

所以圆弧的长为，

因为，

所以，

所以圆弧的长为，

又圆弧的长为，

圆弧的长为，

所以以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱

表面的交线的总长度为，D正确.

故选：ACD.

12．已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称

B．

C．g(2023)＝2

D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点

【答案】ABD

【解析】因为f(1－x)是偶函数，

所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；

由，令，得，因此选项B正确；

因为g(x＋2)为偶函数，所以有，

因此函数关于直线对称，

由，

因此函数关于点对称，由

，所以函数的周期为4，

在中，令，得，

在中，令，得，

所以，故选项B不正确；

因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，

所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，

所以函数在上单调递增，且，

所以当时，函数有两个零点，

当时，由函数的周期为4，

可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为____________（结果填整数）.

附：若，则，.

【答案】23（22也可以）

【解析】由每名学生的成绩，得，

则

，

则优秀的学生人数为.

故答案为：23.

14.已知，其中，则___________．

【答案】

【解析】的二项式展开式第项为，

令，则，

所以，解得.

故答案为：

15.已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为_________.

【答案】

【解析】由题意得，

又由椭圆的定义得，

记，则，，

则，所以，

故，

则，则，即

等价于，得：或（舍）

故答案为：

16．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.

【答案】    ①.     ②.

【解析】若选择线路，设，其中，，，

则，，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，此时，

所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；

若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，

直线的方程为，设点，其中，

，，

所以，

，

令，则，

所以，

，

当且仅当时，即当，即当时，等号成立，

所以，，

当且仅当时，等号成立，

此时，，

所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列的前项的和为,且.

（1）当时,求证数列为等比数列,并求的通项公式;

（2）当时,不等式对于任意都成立,求的取值范围.

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）当时,

当,则

当

两式相减得,即

所以

所以是首项为,公比为3的等比数列

所以,所以

（2）当时,,即

当时,

由,得,即对于任意都成立,令

则

因为在上单调递减,在上单调递增

所以当时,,所以

18．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1）取的中点Q，连接,

则有，且，又，且，

故，且，

则四边形EFPQ为平行四边形，则，

又平面，平面，故平面．

（2）取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则可得，，，，

由P为中点，故，

则，，，

设平面BFP的法向量，

则，即，故取，

故所求角的正弦值为，

所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为．

19．如图，在平面四边形ABCD中，，，，设．

（1）当时，求BD的长；

（2）求BD的最大值．

【答案】（1）    （2）3

【解析】（1）在中，．

在中，因为，由余弦定理得，

，

因此．

（2）在中，．

在中，因为，由余弦定理得，

，

所以．

所以当，即时，BD最长，的最大值为．

20．元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？

（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：，其中．

【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关    （2）分布列见解析，

【解析】（1）补全的2×2列联表如下：

零假设为：性别与对活动的观感程度相互独立.

根据表中数据，计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.

（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，

则，，，

由题意，X可取．

，，

，，

，

所以X的分布列为：

.

21．过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）由题意可知：双曲线过点，，

将其代入方程可得：，解得：，

双曲线的标准方程为：.

（2）方法一：设，

点与三点共线，，

（其中，），，

，又，

整理可得：，

当时，，，不合题意；

当时，由得：，

设，则，

，

若为定值，则根据约分可得：且，解得：；

当时，，此时；

当时，为定值.

方法二：设，直线，

由得：，

为方程的两根，

，

则，

由得：，

由可得：，

同理可得：，

则，

若为定值，则必有，

解得：或或，

又点在直线上，点坐标为；

当直线斜率为时，坐标为，若，

此时；

当直线斜率不存在时，坐标为，若，

此时；

综上所述：当时，为定值.

22．已知函数，.

（1）当时，讨论方程解的个数；

（2）当时，有两个极值点，，且，若，证明：

（i）；

（ii）.

【答案】（1）答案见解析；    （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】（1）方法一：，.

设，则.

设，则，单调递减.

，当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减.

，

当时，方程有一解，当时，方程无解；

方法二：设，则.

设，则.单调递增

当时，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

，方程有一解.

当时，.

令,

令，则在上单调递增，又

，则在上单调递减，

在上单调递增，则.

即，

无解，即方程无解.

综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．

（2）（i）当时，，则，

，是方程的两根.

设，则，

令，解得，在上单调递减，在上单调递增.

，，当时，，，.

由.

令，，，.

等价于.

设，，

则，

单调递增，，

，即，，

综上，；

（ii）由（i）知，，.

.

由（i）知，，

设，，则.

单调递减，，即.

.

设，，

则.

单调递增，又，当时，.

，，即命题得证.