押题预测卷05（解析版）决胜2023年高考数学押题必刷仿真模拟卷（新高考地区专用）

决胜2023年高考数学考前押题预测卷05

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A. A=B B.  C.  D.

【答案】D

【解析】因为，，

所以且，所以A错，B错，

，C错，

，D对，

故选：D.

2．已知复数满足，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】由可得，

所以，所以，

故选：D

3．过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（    ）

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【解析】如图，结合题意绘出图像：

因为圆：，直线、是圆的切线，

所以，，，，

因为，所以，，

根据圆的对称性易知，则，

解得，，

故选：C.

4．已知正四面体P﹣ABC的棱长为1，点O为底面ABC的中心，球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵正四面体P﹣ABC的棱长为1，

∴正四面体P﹣ABC的高为，

由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为r，

则VP﹣ABC＝VO﹣PAB+VO﹣PBC+VO﹣PAC，

∴，

∴．

故选：B．

5．已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知在内有且仅有两个解．

因为，所以，

则需，解得．

故选：C

6．已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.

因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.

故选：A

7．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】如图可知,，，

因为是的中点，所以，

所以，

即，

所以，

由条件可得，，，

因为P为AC边上的一个动点，

故当P为AC中点时，最小，此时，

当P为A或C时，最大，，

所以，

所以，又因为，

所以.

故选：C.

8．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】对于任意，，，的范围恒定，

只需考虑的情况，

设对应的切点为，，，

设对应的切点为，，，

，，，

只需考虑，，其中的情况，

则，

，其中，

；

又，，

，；

令，则，

在上单调递增，又，

，又，，

；

令，则，

令，则，

在上单调递增，

，

即，在上单调递减，，

，；

综上所述：.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．上级某部门为了对全市名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本数学水平分数数据进行整理分析，全部的分数可按照，，，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图则下列说法正确的是（    ）

A. 图中的值为

B. 估计样本数据的分位数为

C. 由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于分的人数约为

D. 由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数分及以上的人数占比为

【答案】AB

【解析】对于A;频率分布直方图中小长方形的总面积为，组距为，故，解得，故A正确；

对于B;设的百分位数为，落在区间中，即，解得，故B正确；

对于C;分以下的人占比为，故全市初二学生数学水平分数低于分的人数约为，故C错误，

对于D;分以下的人占比为，故D错误.

故选：AB

10．已知正数a，b满足，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】AC

【解析】对于A，，

当且仅当时成立，A正确；

对于B，，即，可得，

所以，当且仅当时成立，B错误；

对于C，，当且仅当时成立，C正确；

对于D，由，

当且仅当，即，等号成立，

所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.

故选：AC.

11．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（    ）

A. 数列是公比为的等比数列 B.

C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前项和

【答案】BD

【解析】由图可知，

所以，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故A错误；

则，由题可得，

所以，故B正确；

因为，所以数列是公比为的等比数列，故C错误；

，故D正确.

故选：BD.

12．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有（    ）

A. 抛物线焦点F的坐标为

B. 过点N作抛物线的切线，则切点坐标为

C. 在△FMN中，若，，则t最小值为

D. 若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则

【答案】BCD

【解析】对于A项，如图所示，过A向准线作垂线，垂足为C，则由抛物线定义可得AF=AC=3，

又F为AD中点，则F到准线的距离为1.5，所以F，故A错误；

对于B项，由上可得，即，抛物线方程为，

设过N的切线方程为：，联立可得

由相切可得，即切点横坐标，

代入抛物线得切点坐标，故B正确；

对于C项，如图所示过M作准线的垂线垂足为E，，

根据正弦单调性知越小正弦值越小，

即MN与抛物线相切时此角最小，由上可知此时M，

易得，故C正确；

对于D项，设M，

由得，则过M的切线方程为，

化简得：，

同理可得，过A、B的切线方程分别为、，联立可得，

则，，故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，含的项的系数是______．

【答案】

【解析】因为，所以含的项为：，

所以含的项的系数是．

故答案为：．

14.已知向量，，，若，则___________.

【答案】

【解析】依题意：

，

解得m=-4，

故答案为：-4.

15.已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为__________．

【答案】

【解析】如图，取中点，过点作交于，

则，

因为平面，所以平面，

因为，

所以，

所以，即为三棱锥外接球球心，为球的半径，

因为，

所以，，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，，当且仅当时等号成立

所以，球的半径，

所以，，

所以三棱锥外接球体积的最小值为

故答案为：

16．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________

【答案】    ①. ##0.5    ②.

【解析】设，，

当时，则，即，

当时，则，即，

当时，则，即

当时，则，即，

故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：

则.

如下图，设，，显然，，

，

求的最小值，即的最小值，的最大值，

又，下面求的最小值，

令，，即，

令，解得：，令，解得：，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以时，有最小值，且，

所以.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知为等差数列，且．

（1）求的首项和公差；

（2）数列满足，其中、，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）设等差数列的公差为，则，

由可得，即，

所以，，解得，.

（2）因为，则，

所以

；

；

.

因此，

18．在锐角中，角，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围．

【答案】（1）条件选择见解析，    （2）

【解析】（1）选条件①：

因为，

所以，所以．

又因为，所以，所以，所以．

选条件②：

因为

由正弦定理可得．

即，

又因为，所以．

因为，所以．

（2）由正弦定理得，则，

又，则，且在锐角中，所以，，则，

所以

因为，所以，则

所以，即周长的取值范围为．

19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1BA⊥平面ABC，侧面A1B1BA为菱形，，AB1⊥AC，AB＝AC＝2，E是AC的中点．

（1）求证：A1B⊥平面AB1C；

（2）点P在线段A1E上（异于点A1，E），AP与平面A1BE所成角为，求的值．

【答案】（1）证明见解析，    （2）

【解析】（1）证明：因为四边形A1B1BA为菱形，所以A1B⊥AB1，

又因为A1B⊥AC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A，

所以A1B⊥平面AB1C．

（2）解：取AB的中点O，连接B1O，四边形A1B1BA为菱形，且，

所以B1O⊥AB．

因为平面A1B1BA⊥平面ABC，平面A1B1BA∩平面ABC＝AB，B1O⊂平面A1B1BA，

所以B1O⊥平面ABC，所以B1O⊥AC，又因为A1B⊥AC，B1O∩AB＝O，

所以AC⊥平面A1B1BA．取BC中点D，连结OD，

以O为原点，OB，OD，OB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B（1，0，0），A（﹣1，0，0），，E（﹣1，1，0），

所以，．

设平面A1BE的一个法向量为＝（x，y，z），

所以，即，令x＝1，可得平面A1BE的一个法向量．

设，可得点，，

由题意＝，

解得或λ＝0（舍），即．

20．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

（1）根据独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：

【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关；    （2）；    （3）分布列见解析，.

【解析】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.

据表中数据计算得：

根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；

（2）∵，

∴估计的值为；

（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.

，，

，，

∴的概率分布列为：

∴数学期望

21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．

【答案】（1）    （2）证明见解析

【解析】（1）因为，则，

由双曲线的定义可得，

所以，，则，

因此，双曲线的方程为.

（2）证明：设点、、，

则，可得，

设，则，其中，

即，整理可得，

所以，，，

将代入可得，

将代入可得

，即，

所以，点恒在直线上

22．已知函数，（其中a为非零实数）

（1）讨论的单调性：

（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点，求证：.

【答案】（1）答案见解析    （2）证明见解析

【解析】（1）的定义域为

，

若，则时，，单调递增；

当时，，单调递减

若，则当时，，单调递减；

当时，单调递增.

（2）由已知得有两个不等的正实根，

所以方程，即，即有两个不等正实根.

要证，只需证，即证.

令，所以只需证.

由得，

所以，

消去得，只需证

设，令，则，所以只需证.

令，则，

所以，即当时，成立.

所以，即，即.