押题预测卷06（解析版）决胜2023年高考数学押题必刷仿真模拟卷（新高考地区专用）

决胜2023年高考数学考前押题预测卷06

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】由题意得，解得，则，

根据对数型函数定义域得，

∴．

故选：C．

2．已知复数（为虚数单位），复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】因为复数（为虚数单位），且复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，

所以，

所以，

故选：C

3．正六边形ABCDEF中，用和表示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设边长为2，如图，设交于点，有，，

则，

故选：B

4．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】由题意，火箭的最大速度为时，可得，

即，

因为，所以近似计算可得，

故选：B

5．若直线l：将圆C：分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】令直线与圆交于点，依题意，，而圆的圆心，半径，

，因此点到直线的距离，于是，

整理得，所以直线的斜率.

故选：D

6．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）

A. 0.23 B. 0.47 C. 0.53 D. 0.77

【答案】D

【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，

记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，

所以，

又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，

记事件为“选到绑带式口罩”，则

所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.

故选：D.

7．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面，点E，F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内.

延长到M，使得，则四点P，E，F，M在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值.可得，∴.∴点E为的中点.

如图所示，设的外心为，外接圆的半径为r，则.

设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，连接，则，

则.∴三棱锥外接球的表面积.

故选：B.

8．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）

A. f（x）为奇函数 B. g（x）为奇函数

C.  D.

【答案】D

【解析】因为，所以，又，

则有，因为是奇函数，所以，

可得，即有与，

即，所以是周期为4的周期函数，

故也是周期为4的周期函数．

因为，所以，所以为偶函数．故错误；

由是奇函数，则，所以，

又，

所以，所以选项错误；

由得，所以选项错误；

因为，

，

所以，所以，

所以选项正确．

故选：.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：

假设经验回归方程为，则（    ）

A.

B. 当时，y的预测值为2.2

C. 样本数据y的40%分位数为0.8

D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变

【答案】ABD

【解析】对于A选项：线性回归方程必过点，，，解得，所以选项A正确；

对于B选项：当时，可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；

对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则是整数，则第40百分位数为从小到大排列的第3个数据，

即第40百分位数为3，所以C选项错误；

对于D选项：因为相关系数为,

5组样本数据的相关系数为：
，

去掉样本中心点后相关系数为，

 所以相关系数r不变,所以D选项正确；

故选：ABD.

10．已知向量，，，则下列命题正确的是（    ）

A. 当且仅当时， B. 在上的投影向量为

C. 存在θ，使得 D. 存在θ，使得

【答案】ABD

【解析】向量，，，

对于A，，A正确；

对于B，因为，则在上的投影向量为，B正确；

对于C，，假定存在θ，使得，则有，

而，即不成立，因此不存在θ，使得，C错误；

对于D，，即，

则，因此存在θ，使得，D正确.

故选：ABD

11．已知函数，则下列结论正确的有（    ）

A．将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象

B．若，则当时，的取值范围为

C．若在区间上恰有3个极大值点，则

D．若在区间上单调递减，则

【答案】BC

【解析】由题可得

对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；

对于B，，，则，，所以，B正确；

对C，由可得，

由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；

对于D，，则，

因为单调递减，

所以，，且即，

解得，，且，

当时，，当时，，D错误.

故选：BC.

12．正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（    ）

A．与垂直

B．与一定是异面直线

C．存在点E，F，使得三棱锥的体积为

D．当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为

【答案】ACD

【解析】如图建立空间直角坐标系，设，

则，

A：由题可得，所以,

所以，即，故A正确；

B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时与不是异面直线，故B错误；

C：由，可得，

则，由于，故C正确；

D：直线与分别交于，连接分别交，于点M，N，

则五边形为平面截正方体所得的截面，

因为E，F分别是，的中点，

所以易得，故可得，

因为，所以，

可得，同理可得，所以五边形的周长为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中x2的系数为 　    　．

【答案】﹣200

【解析】因为的展开式中x2的项为，

所以的展开式中x2的系数为﹣200．

故答案为：﹣200．

14.已知，则___________.

【答案】

【解析】等式，

两边同时平方得，，

两式相加，得，，整理得，即，

因为，所以，得，

代入，得，即，则，

则.

故答案为：.

15.弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则______;若取最小值时，则椭圆离心率为______.

【答案】    

【解析】设，有，

得，所以数列是等差数列，

，

由题意，的横坐标为八等分，所以，

而，又，所以，

所以

，

当且仅当即时取得等号，此时离心率为，

故答案为:    .

16．设函数的两个极值点分别为.若恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】∵函数有两个极值点分别为，

的定义域为，

令，其判别式，

当时，在上单调递减，不合题意.

当时，的两根都小于零，在上，，

则在上单调递减，不合题意.

当时，，设的两个根都大于零，

令，

当时，，当时，，当时，，

故分别在区间，上单调递减，在区间上单调递增，

则，∴a的取值范围是.

∵，

∴，

若恒成立，则，

∴，

不妨设，则.又，

∴，

∴①恒成立，

记，，

记的两根为，

，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且易知.又，

∴当时，；当时，.

故由①式可得，，代入方程，

得.又，

∴a的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列满足，，且数列是公比为2的等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）令，数列是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．

【答案】（1）；    （2）有最大项，.

【解析】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，则,

当时，

，又也满足上式，

所以的通项公式为.

（2）由（1）知，，则，

则有，当时,，则有，

当时，，即有，数列是递减的，

所以数列有最大项，为.

18．设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．

（1）求角A；

（2）若BC边上的高，求．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）由题意得：，

则，

有，即，因为所以．

（2）由，则，所以，

有，则，

又，则．

19．如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；

（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1）∵平面，平面，

∴.

∵，由，且是直角梯形，

∴，

即，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴平面平面

（2）∵平面，平面，

∴.

由（1）知.

∵，平面，平面，

所以平面，

∴即为直线与平面所成角.

∴，

∴，则

取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以､､为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，

设为平面的法向量，则，

令，得，，得

设为平面的法向量，

则，令，则，，得.

∴.

由图知所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

20．某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次．为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次．假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立．

（1）若a＝0.2，n＝20，试估算该小区化验的总次数；

（2）若a＝0.9，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费n+9元．求n为何值时，每位居民化验费用的数学期望最小．

（注：当p＜0.01时，（1﹣p）n≈1﹣np）

【答案】（1）180    （2）n＝10

【解析】（1）设每位居民需化验的次数为X，

若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，

所以，，，

所以2000名居民总化验次数约为2000×0.09＝180次；

（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则Y＝n+9，若混合血样为阳性，则Y＝11n+9，

所以P（Y＝n+9）＝0.991n，P（Y＝11n+9）＝1﹣0.991n，

所以E（Y）＝（n+9）×0.991n+（11n+9）（1﹣0.991n）＝11n﹣10n×0.991n+9，

每位居民的化验费用为：元，

当且仅当，即n＝10时取等号，

故n＝10时，每位居民化验费用的期望最小

21．已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．

（1）若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；

（2）若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由

【答案】（1）1    （2）是在定直线上，定直线

【解析】（1）由题意得，所以，

设，，，

则，

作差得，

又MN的斜率，，

所以.

（2）∵，∴，，，

直线l：，，

设，，

联立得，

所以，所以，

设直线AN：，BM：，

所以，

所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．

22．设函数.

（1）证明：当时，有唯一零点；

（2）若任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1） ，

令 ，则 ，则 单调递增，

且 ，∴ ，

单调递减，  单调递增，

且 ，则，

∴存在唯一零点 ，使得，即有唯一零点；

（2），

则 ，又令 ，

①当，即时， 恒成立，∴在区间上单调递增，

∴，∴ ，∴在区间上单调递增，

∴（不合题意）；

②当即时，  在区间上单调递减，

∴，∴ ，∴在区间上单调递减，

∴（符合题意）；

③当，即时，由 ，

∴ ，使 ，且时， ，

∴在上单调递增，∴（不符合题意）；

综上，a的取值范围是；