2022-2023学年江苏省盐城市东台实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市东台实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列调查，适合采用普查的是(    )

A. 全国中学生对“社会主义核心价值观”的了解程度
B. 数学课本中的印刷错误
C. 东台市全体中小学生对“甲流”相关知识的知晓程度
D. 一批电视机的使用寿命

3.  空气由多种气体混合而成，为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是(    )

A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 三种统计图都可以

4.  若分式中、的值同时扩大到原来的倍，则分式的值(    )

A. 不变 B. 扩大倍 C. 扩大倍 D. 缩小倍

5.  下列事件中是必然事件的是(    )

A. 打开电视机，正在播放开学第一课 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定会中奖

6.  为了解我校八年级名学生对“创建全国文明校园”知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是(    )

A. 名学生是总体 B. 我校八年级每名学生的测试成绩是个体
C. 样本容量是 D. 被抽取的名学生是样本

7.  如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是(    )

A. 互相垂直 B. 相等 C. 互相平分 D. 互相垂直平分

8.  如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    )

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若式子有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  在“请党放心，强国有我”这句话中，“党”字出现的频率是______ ．

11.  若分式的值为零，那么的值为______．

12.  从一副扑克牌中任意抽取张，则下列事件：这张牌是“红色的”；这张牌是“红心”；这张牌是“大王”；这张牌是“”；发生可能性最大的是只填写序号 ______ ．

13.  分式，，的最简公分母是______ ．

14.  已知菱形的两条对角线长分别为和，则该菱形的面积为______．

15.  如图，有一个平行四边形和一个正方形，其中点在边上若，，则的度数为______ ．

16.  如图，正方形的边长为，为与点不重合的动点，以为一边作正方形连，，当的值最小时，正方形的边长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为．
画出绕点顺时针旋转后得到的；
画出关于原点对称的，此时点的坐标为______ ．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，、是对角线上两个点，且，证明：．
 

21.  本小题分
在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余完全相同的黑、白两种颜色的球共只，搅匀后，学习小组做摸球试验，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______ 精确到；
假如你摸球一次，摸到黑球的概率的估计值为______ 精确到；
请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？

22.  本小题分
为了增强同学们垃圾分类的意识，我校了举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试学校从八年级名学生中随机抽取部分学生的成绩，并将调查数据进行如下整理．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表：

由图表中给出的信息回答下列问题：
______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
如果成绩在分以上包括分为优秀，估计全校八年级名学生中成绩为优秀的人数．

23.  本小题分
我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“实中式”，这个常数称为关于的“实中值”如分式，，，则是的“实中式”，关于的“实中值”为已知分式，，判断是否为的“实中式”，若是，请证明并求出关于的“实中值”；若不是，请说明理由．

24.  本小题分
如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

25.  本小题分
方法回顾：课本上“三角形中位线定理”的证明已知：如图，在中，点、分别是边、的中点求证：，，证明：如图，延长到点，使得，连接；请继续完成证明过程；
问题解决：如图，，为的中点，、分别为射线、上的点，，线段、、有怎样的数量关系？请说明理由；
思维拓展：如图，在四边形中，，，，为的中点，、分别为、边上的点，是的中点，若，注：，的长为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：观察四个选项可知，只有选项中的图形绕某一点旋转后能与自身重合，因此选项中的图形是中心对称图形，
故选：．
利用中心对称图形的定义即可得出答案．
本题考查中心对称图形的识别，掌握定义是解题的关键．平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、调查全国中学生对“社会主义核心价值观”的了解程度，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查数学课本中的印刷错误，适合全面调查，故本选项符合题意；
C、调查东台市全体中小学生对“甲流”相关知识的知晓程度，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D、调查一批电视机的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：空气由多种气体混合而成，为了介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图．
故选：．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
本题考查了统计图的选择，掌握各统计图的特点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
分式的值不变，
故选：．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，进行计算即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、打开电视机，正在播放开学第一课，是随机事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，不符合题意；
D、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

6.【答案】 

【解析】解：名学生的测试成绩是总体，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.我校八年级每名学生的测试成绩是个体，说法正确，故本选项符合题意；
C.样本容量是，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.被抽取的名学生的测试成绩是样本，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：．
分别根据总体，样本容量，样本，个体的定义逐一判断即可．
本题考查统计知识的总体，样本，个体等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，即，
，
即原来四边形的对角线一定满足的条件是：互相垂直．
故选：．
由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．
此题主要考查了矩形的性质有一个角为直角的平行四边形为矩形，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解答】
解：、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：要使式子有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：分式中，分母．
 

10.【答案】 

【解析】解：在“请党放心，强国有我”这句话中，“党”字出现的频率是．
故答案为：．
根据频率频数总次数，进行计算即可解答．
本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，
且，
解得，
故答案为：．
直接利用分式的值为零，则分子为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从一副扑克牌中任意抽取一张，
这张牌是“红色的”的概率为；
这张牌是“红心”的概率为；
这张牌是“大王”的概率为；
这张牌是“”的概率为；
故发生可能性最大的是．
故答案为：．
分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：分式，，的最简公分母是．
故答案为：．
根据最简公分母的定义求出所求即可．
此题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线的一半求出结果．因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
【解答】
解：菱形的面积为：．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
平行四边形对角相等．
故答案为：．
由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
当，，，四点共圆时，的值最小，
如图，

此时，，
故答案为：．
连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，于是得到，推出点，，，四点共圆时，的值最小，于是得到结论．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】利用分式的减法的法则进行运算即可；
把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算除法，再算减法即可将所求式子化简，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图所示，

如图所示，，
故答案为：．
根据旋转的性质，画出绕点顺时针旋转后得到的；
找到，，关于对称的点，，，顺次连接得到，根据坐标系直接写出点的坐标即可．
本题考查了画旋转图形，画中心对称图形，掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
． 

【解析】先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质得到，最后根据“”可证，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：摸到白球的频率约为，
当很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
摸到白球的概率，
摸到黑球的概率为；
摸到白球的频率为，共有只球，
则白球的个数为只，
黑球的个数为只．
答：白球的个数为只，黑球的个数为只．
计算出其平均值即可；
根据摸到白球的概率，可知摸到黑球的概率为；
用总数乘以其频率即可求得频数．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
 

22.【答案】   

【解析】解：样本容量为，
，，
故答案为：、；
补全直方图如下：

人，
答：估计全校八年级名学生中成绩为优秀的人数约为人．
先求出样本容量，再根据频率频数样本容量求解即可得出答案；
根据所求的值即可补全图形；
总人数乘以成绩在分以上包括分的人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：是的“实中式”．
理由：



．
关于的“实中值”为． 

【解析】已知分式，，判断是否为的“实中式”，若是，请证明并求出关于的“实中值”；若不是，请说明理由．
本题考查分式的加减法，理解题意，掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
四边形是矩形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
根据勾股定理得：，
四边形是矩形，
． 

【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形；
根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，根据矩形的性质可得的长．
本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用．
 

25.【答案】 

【解析】证明：如图，延长到点，使得，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，．

解：结论：．
理由：如图，延长、交于点，

为中点，
，且，
在和中，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
；

解：如图，过点作的平行线交的延长线于点，过作的垂线，垂足为，连接，
同可知≌，，
，，
，
，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，，
．
故答案为：．
用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；
先判断出≌，进而判断出垂直平分，即可得出结论；
如图，作辅助线构建全等三角形，先求出，进而判断出为度的直角三角形，再用勾股定理求出即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形和直角梯形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解的关键是判断出≌，解的关键是判断出垂直平分，解的关键是作出辅助线，是一道比较典型的中考题．