江苏省盐城市东台实验中学2021-2022学年中考三模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿应为（　　）

A．1915.15×108 B．19.155×1010

C．1.9155×1011 D．1.9155×1012

3．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（　　）

A．6π    B．4π    C．8π    D．4

4．一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（　　）

A．2    B．3    C．4    D．6

5．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为　　

A．14 B．13 C．12 D．10

6．（2011•雅安）点P关于x轴对称点为P1（3，4），则点P的坐标为（ ）

A．（3，﹣4）    B．（﹣3，﹣4）

C．（﹣4，﹣3）    D．（﹣3，4）

7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c–3b<0；⑤a+b>n（an+b）（n≠1），其中正确的结论有(    )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）

A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3

9．下列计算正确的是（　　）

A．3a﹣2a＝1 B．a2+a5＝a7 C．（ab）3＝ab3 D．a2•a4＝a6

10．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙

11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝(    )

A．15                               B．12                               C．9                        D．6

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．

14．计算：

（1）（）2=_____；

（2） =_____．

15．点(1，–2)关于坐标原点 O 的对称点坐标是_____．

16．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．

17．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长____．

18．已知，则______

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，∠A=∠B=30°

（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D；

（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：BC2=BD•AB．

20．（6分）定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”．已知二次函数y=ax2-2mx+c（a，m，c均为常数且ac≠0）是“完美抛物线”：

（1）试判断ac的符号；

（2）若c=-1，该二次函数图象与y轴交于点C，且S△ABC=1．

①求a的值；

②当该二次函数图象与端点为M（-1，1）、N（3，4）的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围．

21．（6分）求抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标．

22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，tanB=，求DF的值

23．（8分）已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．

24．（10分）已知二次函数 y＝mx2﹣2mx+n  的图象经过（0，﹣3）．

（1）n＝ _____________；

（2）    若二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 m 值；

（3）    若二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于 x 轴的直线 y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为     ；

（4）    如图，二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过点 A（3，0），连接 AC，点 P 是抛物线位于线段 AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．

25．（10分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间；小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间．小丽与小杰整理各自样本数据，如下表所示．

（1）你认为哪位学生抽取的样本不合理?请说明理由．专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的学生应适当减少上网的时间，估计该校全体初二学生中有多少名学生应适当减少上网的时间.

26．（12分）在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=,tanB=,AB=10,求△ABC的面积.

27．（12分）解方程：=1．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

分析：面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．

详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选A．

点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．

2、C

【解析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，是正数；当原数的绝对值<1时，是负数．

【详解】

用科学记数法表示1915.5亿应为1.9155×1011，

故选C．

【点睛】

考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.

3、A

【解析】

根据题意，可判断出该几何体为圆柱．且已知底面半径以及高，易求表面积．

解答：解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1，高为2，

那么它的表面积=2π×2+π×1×1×2=6π，故选A．

4、C

【解析】

设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长=6π，侧面积=3πR=12π，
∴R=4cm．

故选C．

5、C

【解析】
∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，

∴∠EAO=∠FCO，

∵在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴AE=CF，EO=FO=1.5，

∵C四边形ABCD=18，∴CD+AD=9，

∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.

故选C.

【点睛】

本题关键在于利用三角形全等，解题关键是将四边形CDEF的周长进行转化.

6、A

【解析】

∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，

∴点P的坐标为（3，﹣4）．

故选A．

7、B

【解析】
①观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c由此可判定②；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1，可得a=﹣，代入y=9a+3b+c＜0即可判定④；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤.

【详解】

①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；

②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；

④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；

⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确．

∴③④⑤正确．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图象与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键．

8、D

【解析】

试题分析：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；

在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：1，

所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：1．故选D．

考点：正多边形和圆．

9、D

【解析】
根据合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则依次计算后即可解答.

【详解】

∵3a﹣2a＝a，∴选项A不正确；

∵a2+a5≠a7，∴选项B不正确；

∵（ab）3＝a3b3，∴选项C不正确；

∵a2•a4＝a6，∴选项D正确．

故选D．

【点睛】

本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则，熟练运用法则是解决问题的关键.

10、B

【解析】

分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．

详解：乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，

所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，

所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△ABC全等；

故选B．

点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

11、A

【解析】
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，

∴m＜，

故选A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

12、A

【解析】
根据三角函数的定义直接求解.

【详解】

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，

∵，

∴，

解得AB＝1．

故选A

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】

分析：

由题意可知，从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.

详解：

∵从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0，3.14，6共3个，

∴抽到有理数的概率是：．

故答案为．

点睛：知道“从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”并能识别其中“0，3.14，6”是有理数是解答本题的关键.

14、        

【解析】
（1）直接利用分式乘方运算法则计算得出答案；

（2）直接利用分式除法运算法则计算得出答案．

【详解】

（1）（）2=；

故答案为；

（2） ==．

故答案为．

【点睛】

此题主要考查了分式的乘除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

15、（-1,2）

【解析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

【详解】

A（1，-2）关于原点O的对称点的坐标是（-1，2），
故答案为：（-1，2）．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

16、

【解析】

分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．

详解：如图所示：

∵∠C=90°，tanA=，

∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，

则sinB=.

故答案为： ．

点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．

17、3.

【解析】
先根据同角的余角相等证明∠ADE＝∠ACD，在△ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和DC=3k，从而根据勾股定理得出AC=5k，又AC=5，从而求出DC的值即为AB.

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AB＝CD，

∵DE⊥AC，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°，

∴∠ADE＝∠ACD，

∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝＝，

设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，

∴5k＝5，

∴k＝1，

∴CD＝AB＝3，

故答案为3.

【点睛】

本题考查矩形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，解决此类问题时需要将已知角的三角函数、已知边、未知边，转换到同一直角三角形中，然后解决问题.

18、34

【解析】

∵，∴=，

故答案为34.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、见解析

【解析】
（1）利用过直线上一点作直线的垂线确定D点即可得；
（2）根据圆周角定理，由∠ACD=90°，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到∠DCB=∠A=30°，推出△CDB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）如图所示，CD即为所求；

（2）∵CD⊥AC，

∴∠ACD=90°

∵∠A=∠B=30°，

∴∠ACB=120°

∴∠DCB=∠A=30°，

∵∠B=∠B，

∴△CDB∽△ACB，

∴，

∴BC2=BD•AB．

【点睛】

考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质和作图：在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

20、 (1) ac＜3；(3)①a=1；②m＞或m＜．

【解析】
（1）设A （p，q）．则B （-p，-q），把A、B坐标代入解析式可得方程组即可得到结论；
（3）由c=-1，得到p3＝，a＞3，且C（3，-1），求得p＝±，①根据三角形的面积公式列方程即可得到结果；②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，根据M（-1，1）、N（3，4）．得到这些MN的解析式y＝x+（-1≤x≤3），联立方程组得到x3-3mx-1=x+，故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，根据题意得到（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3，（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：列方程组即可得到结论．

【详解】

（1）设A （p，q）．则B （-p，-q），
把A、B坐标代入解析式可得：

，
∴3ap3+3c=3．即p3＝−，
∴−≥3，
∵ac≠3，
∴−＞3，
∴ac＜3；
（3）∵c=-1，
∴p3＝，a＞3，且C（3，-1），
∴p＝±，
①S△ABC=×3×1=1，
∴a=1；
②由①可知：抛物线解析式为y=x3-3mx-1，
∵M（-1，1）、N（3，4）．
∴MN：y＝x+（-1≤x≤3），
依题，只需联立在-1≤x≤3内只有一个解即可，
∴x3-3mx-1=x+，
故问题转化为：方程x3-（3m+）x-=3在-1≤x≤3内只有一个解，
建立新的二次函数：y=x3-（3m+）x-，
∵△=（3m+）3+11＞3且c=-＜3，
∴抛物线y＝x3−(3m+)x−与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴．
不妨设方程x3−(3m+)x−＝3的两根分别为x1，x3．（x1＜x3）
则x1+x3＝3m+，x1x3＝−
∵方程x3−(3m+)x−＝3在-1≤x≤3内只有一个解．
故分两种情况讨论：
（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x3＞3：则

．即：，
可得：m＞．
（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x3≤3：则

．即：，
可得：m＜，
综上所述，m＞或m＜．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，三角形面积公式，正确的理解题意是解题的关键．

21、（1，0）、（﹣2，0）

【解析】

试题分析：抛物线与x轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可．

试题解析：解：令，即．

解得：，．

∴该抛物线与轴的交点坐标为（－2，0），（1，0）．

22、（1）见解析；（2）4

【解析】

分析：（1）欲证明AE是⊙O切线，只要证明OA⊥AE即可；

（2）由△ACD∽△CFD，可得，想办法求出CD、AD即可解决问题.

详解：（1）证明：连接CD．

∵∠B=∠D，AD是直径，

∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，

∵∠B=∠EAC，

∴∠EAC+∠1=90°，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．

（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，

∴CG∥AE，

∴∠2=∠3，

∵∠2=∠B，

∴∠3=∠B，

∵∠CAG=∠CAB，

∴△ABC∽△ACG，

∴，

∴AC2=AG•AB=36，

∴AC=6，

∵tanD=tanB=，

在Rt△ACD中，tanD==

CD==6，AD==6，

∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，

∴△ACD∽△CFD，

∴，

∴DF=4，

点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23、1

【解析】
先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．

【详解】

解：a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ab+b2）

=ab（a+b）2，

将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=1．

故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是1．

24、（2）－2；（2）m=﹣2；（2）（﹣2，5）；（4）当a=时，△PAC的面积取最大值，最大值为

【解析】
（2）将（0，-2）代入二次函数解析式中即可求出n值；

（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；

（2）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；

（4）将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2-2a-2），则点Q的坐标为（a，a-2），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC面积的最大值．

【详解】

解:（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣2），

∴n=﹣2．

故答案为﹣2．

（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象与x轴有且只有一个交点，

∴△=（﹣2m）2﹣4×（﹣2）m=4m2+22m=0，

解得：m2=0，m2=﹣2．

∵m≠0，

∴m=﹣2．

（2）∵二次函数解析式为y=mx2﹣2mx﹣2，

∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣=2．

∵该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4，

∴另一交点的横坐标为2×2﹣4=﹣2，

∴另一个交点的坐标为（﹣2，5）．

故答案为（﹣2，5）．

（4）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象经过点A（2，0），

∴0=9m﹣6m﹣2，

∴m=2，

∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（2，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x﹣2．

过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，如图所示．

设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣2），则点Q的坐标为（a，a﹣2），点D的坐标为（a，0），

∴PQ=a﹣2﹣（a2﹣2a﹣2）=2a﹣a2，

∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=PQ•OD+PQ•AD=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+，

∴当a=时，△PAC的面积取最大值，最大值为 ．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（2）代入点的坐标求出n值；（2）牢记当△=b2-4ac=0时抛物线与x轴只有一个交点；（2）利用二次函数的对称轴求出另一交点的坐标；（4）利用三角形的面积公式找出S△ACP关于a的函数关系式．

25、（1）小丽；（2）80

【解析】
解：（1）小丽；因为她没有从全校初二学生中随机进行抽查，不具有随机性与代表性．

（2）．

答：该校全体初二学生中有80名同学应适当减少上网的时间．

26、

【解析】
根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解．

【详解】

如图：

由已知可得：∠A=30°，∠B=60°，

∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°，AB=10，

∴BC=AB·sin30°=10=5，

AC=AB·cos30°=10=，

∴S△ABC=.

【点睛】

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

27、x=1

【解析】
方程两边同乘转化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.

【详解】

解：方程两边同乘得:

，

整理，得，

解这个方程得，，

经检验，是增根，舍去，

所以，原方程的根是．

【点睛】

本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是方程两边同乘分母的最简公分母化为整式方程然后求解，注意要进行检验.