2022-2023学年山西大学附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西大学附中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，，，，，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，在中，，，于点，于点，若，，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：≌；；四边形的面积，其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是(    )

A. 已知两边及其中一边的对角 B. 已知三边
C. 已知两边及其夹角 D. 已知两角及其夹边

6.  如图，、是的中线，则下列结论中，正确的个数有(    )
；       ；
；       ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数(    )
平分；；；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  下面由卡塔尔世界杯组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线，相交于点，点为这两直线外一点，且，若点关于直线，的对称点分别是点、，交直线与点，交直线与点，则，之间的距离可能是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是(    )

A. 矩形 B. 正八边形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  把等腰直角三角形纸板按如图所示的方式直立在桌面上，顶点顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为和，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离为______ ．

12.  如图，已知在和中，，点、、在同一条直线上，若使≌，则还需添加的一个条件是          只填一个即可

13.  如图，若、，，，则 ______ ．

14.  一张长方形纸片沿直线折成如图所示图案，已知，则 ______ ．

15.  如图，已知，，，点是边上任意一点，连接，将沿翻折，得到当时，的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中，

17.  本小题分
“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料氢已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径单位：的计算公式是．，其中，为万有引力常数；表示星球的质量单位：；，为光在真空中的速度．
已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径．

18.  本小题分
如图，，，，且．
求证：．

19.  本小题分
如图，点、在上，，，，与交于点，求证：．

20.  本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
请在图中画出关于轴对称的；
点、的距离是______ ．

21.  本小题分
阅读下列材料，回答问题如图，小明将三角形纸片折叠，使点和重合，折痕为，连接，展开纸片后小明认为和的面积相等理由如下：由折叠知，，过点作于点，，，所以请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图中的三角形分为面积相等的两个三角形．
 

22.  本小题分
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：．
组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
 

23.  本小题分
【问题情境】如图，已知点，在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小．
小军的思路是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求．
【启发应用】请参考小军同学的思路，探究并解答下列问题：

如图，在图的基础上，设与直线的交点为点，过点作，垂足为点若，，，求出此时的最小值；
如图，若，，，则此时的最小值为        ；
【解决问题】根据以上解决问题的思路，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，解题的关键是全等三角形的对应角相等．证≌，得出，，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】
解：在和中

≌，
，，
，
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，．
故选：．
由“”可证，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】分析
易证，即可证明，可得，根据，即可解题．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法、、、等和性质全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键．
详解
解：，于点，于点，
，，
，
在和中，

，
，
，
，
，，
．
故选B．
 

4.【答案】 

【解析】解：在与中，
，
≌，故正确；
，
在与中，
，
≌，
，，
，故正确；
四边形的面积，故错误；
故选：．
先证明与全等，再证明与全等即可判断．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等和利用证明与全等．
 

5.【答案】 

【解析】解：三角形全等的判定定理有，，，，
、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确；
B、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
C、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误；
故选：．
三角形全等的判定定理有，，，，根据以上内容判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是的中线，
，；
设为，
设为，
，
；
同理可证：，
即，；
选项、、均成立，
选项不成立，
故选C．
如图，首先证明设为，设为；进而证明，，得到，进而得到，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题
该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
点在的角平分线上，故正确；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
，正确；
平分，平分，
，，
，正确；
由可知≌，≌
，，
，故正确，
故选：．
过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断；证明≌，根据全等三角形的性质得出，判断；根据三角形的外角性质判断；根据全等三角形的性质判断．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，

是关于直线的对称点，
直线是的垂直平分线，点为的中点，
，
是关于直线的对称点，
直线是的垂直平分线，点为的中点，
，为的中位线，
即，
，
只有选项C符合题意，
故选：．
连接，，，，根据轴对称的性质和三角形三边关系及中位线的性质可得结论．
此题主要考查了轴对称变换及三角形中位线的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、矩形一定是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形一定是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
在和中
，
≌，
，，
．
故答案为：．
利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而，，．
本题考查了全等三角形判定及性质的应用；通过三角形全等，对应线段相等，对线段长度进行转化．本题的关键是证明≌，利用全等三角形的性质进行等量代换求解．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
利用全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【解答】
解：，，
当添加时，可根据“”判断≌；
当添加时，可根据“”判断≌；
当添加时，可根据“”判断≌．
当添加时，可根据“”判断≌．

故答案为答案不唯一．  

13.【答案】 

【解析】解：连接，如下图

、、
≌
，

于是
故答案为．
连接，可以证明≌，从而可求得，再利用周角计算的度数．
本题考查的是全等三角形的应用，利用全等对相等的角及线段进行转化是解题中常用的思想．本题也可以利用连接，利用等腰三角形的性质解题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由折叠可得出，
，
，
故答案为：．
根据折叠的性质可得出，代入的度数即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由翻折可知：
，
，
，
∽，
，
过点作交延长线于点，

，，
，
，
在中，，
，
；
如图，

由翻折可知：
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
的长为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，根据翻折的性质证明∽，过点作交延长线于点，根据勾股定理即可求出的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用分类讨论是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简进而求出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】解：．
答：太阳的施瓦氏半径为 

【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

18.【答案】证明：，，
，，
．
在和中，

≌．
． 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等的方法一般是先证明与之有关的两个三角形全等，根据全等三角形的性质再说明线段相等．先证明，结合已知可得≌，从而．
 

19.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
求出，根据推出≌，得出，由等腰三角形的性质可得结论．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求；

，
故答案为：．
利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
根据勾股定理即可得到结论．
本题主要考查了作图轴对称变换，解答本题的关键是运用轴对称的性质得到对称点的位置．
 

21.【答案】解：
 

【解析】作的垂直平分线交于点，再连接即可．
本题考查了复杂作图，掌握中线的作用是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，

直线，直线，
，
，

，

在和中，

≌，
，，
；            
成立：．
如图，

证明如下：
，
，
，
在和中．
．
≌，
，，
；      
如图，

过作于，，交的延长线于．
，
由和同理可证≌，≌，


在和中，

≌，

是的中点． 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
由条件可证明≌，可得，，可得结论；
由条件可知，且，可得，结合条件可证明≌，同可得出结论；
过作于，，交的延长线于由条件可知，可得，结合条件可证明≌，可得出结论是的中点．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为；
作，交的延长线于，如图，则四边形是矩形，

，，
，
，
即，
在中，，
，
故答案为：；
如图，设，，则，
设，，则，
，
，，
，
．
根据等腰三角形的判定证得和为等腰直角三角形，利用勾股定理求得和，从而求得；
作，交的延长线于，根据已知条件求得、，然后根据勾股定理即可求得，从而求得的值；
设，，可得，设，，可得，结合即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．