北师大版数学八下 第五章 分式与分式方程 知识归纳

第五章 分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成 的形式。如果B中含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。分式需要满足的三个条件：（1）是形如 的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。字母表示：，运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。字母表示：知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。用字母表示：将通分，，（分母都为B·D）。通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母。确定最简公分母的方法：（1）若分母是单项式，应取各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母；（2）若分母是多项式，应先进行因式分解，再取各自系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。知识点4：分式的乘除6、分式的乘法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，即7、分式的除法两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，即。8、分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。运算详情：（1）分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，按照从左往右的顺序，有括号的先算括号里面的；（2）分式的乘除混合运算要注意对各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；（3）分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式。9、分式的乘方一般地，当n是正整数时，，即，这就是说分式乘方要把分子、分母分别乘方。知识点5 分式的加减10、同分母的分式加减法法则是(1)      同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为： 。(2)      异分母分式相加减：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。用式子表示为： .11、四步搞定异分母分式相加减：(1)      第一步，通分——将异分母分式转化为同分母分式；(2)      第二步，加减——分母不变，分子相加减；(3)      第三步，合并——分子去括号，合并同类项；(4)      第四步，约分——分子、分母约分，把结果化为最简分式或整式。同分母分式相加减只需要后面三步即可。12、分式的混合运算分式的混合运算和有理数的混合运算一样，要按运算顺序进行运算，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时，要先算括号里面的。另外，在运算中，如果能运用运算律，那么要尽量运用运算律简化运算。知识详解：（1）有理数的运算顺序及运算律对分式运算同样适用；（2）分式的乘除混合运算中要注意对各分式中分子、分母符号的处理。结果的分子或分母的系数是负数时，要把“-”提到分式的前边；（3）分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式。知识点6：分式方程13、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程。方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别。分母中含有字母的方程未必是分式方程。知识点7：科学计数法14、用科学计数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中a的范围是|a|<10，n为正整数。确定n的方法：n的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数（包括小数点前的那个0）。知识点8：分式方程15、解分式方程的基本思路：去分母（即方程两边同乘最简公分母），将分式方程转化为整式方程。解分式方程的一般步骤解题模板说明示例一去去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。二解解这个整式方程解：方程的两边同时乘(x-1)(x+1),得3x+3-x-3=0,解得x=0三验把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。检验：当x=0时，(x+1)(x-1)=-1≠0.所以原方程的解为x=0.四写写出原分式方程的解。 分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根。产生增根的原因：分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0.知识点9：列分式方程解应用题16、列分式方程解应用题分式方程的应用主要是列分式方程解应用题，这与学习一元一次方程时列方程解应用题的思路和方法是一样的。17、列分式方程解应用题的步骤(1)      审——审清题意，弄清以质量和未知量的等量关系；(2)      设——设出未知数；(3)      列——列出分式方程；(4)      解——解这个方程；(5)      验——检验所求的解是不是分式方程的解，还要检验这个解是不是符合实际问题的要求；(6)      答——写出答案。