2023年安徽省合肥市庐阳中学中考模拟数学试题（含答案）

2023年安徽省合肥市庐阳中学中考模拟

数学试题

                                                         2023.5

注意事项：

1．   你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2．  本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。

3．  请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。

4．  考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回。

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．﹣2的绝对值是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．卡塔尔世界杯中卢塞尔体育场是由中国建造的规模最大的体育场．世界杯后，将有约170000个座位捐赠给需要体育基础设施的国家，数字170000用科学记数法表示是（　　）

A．0.17×106 B．1.7×106 C．17×104 D．1.7×105

3．如左图所示的几何体，其俯视图是（　　）

A． B． 

C． D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．2a3+2a3＝2a4 B．a6÷a3＝a2 

C．（﹣2a2）3＝﹣6a6 D．a3•a3＝a6

5．已知x，y为实数，且，则x﹣y的平方根为（　　）

A． B．2 C． D．±2

6．如图，已知a∥b，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．115° B．120° C．125° D．135°

7．方程＝的解是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9

8．如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）经过△ABO边AB的中点C，与边AO交于点D，且OD＝2AD，连接OC，若△AOC的面积为，则k＝（　　）

A． B．2 C． D．

9．如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．3

10．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点M，N分别在OA，AB上，△CMN是等边三角形，连接AC，交MN于点G．若AM＝4，则点G的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（，2） C．（2，2） D．（，2）

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．分解因式：4a3b2﹣4a2b+a＝　   　．

12．如果单项式﹣x2yb﹣1与3xa﹣2y4是同类项，那么（a﹣b）2022＝　   　．

13．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，cos∠AIE＝　   　．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D在AB上，且BD＝4，点E是BC上任意一点，则ED+EA的最小值为 　   　．

三．（本答题共2题，每小题8分，满分16分）

15．计算：|﹣2|﹣tan30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（﹣1，﹣2），若点C关于x轴的对称点为点A，关于y轴的对称点为点B．

（1）请在图中画出△ABC；

（2）将△ABC向上平移2个单位，再向右移4个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出B1的坐标．

四．（本答题共2题，每小题8分，满分16分）

17．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？

18．观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：；

第5个等式：；

…

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　   　．

（2）写出你猜想的第n个等式：　   　（用含n的等式表示），并证明．

五．（本答题共2题，每小题10分，满分20分）

19．如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米（即CD＝20米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为26.7°．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.5）

（1）求点C到点D的水平距离CE的长；

（2）求楼AB的高度．

20．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）已知AC＝12，AF＝15，求BE的长．

六．（本大题满分12分）

21．某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样的学生人数是 　   　，捐款10元的人数是 　   　；

（2）本次捐款金额的中位数是 　   　元；

（3）已知捐款金额为5元的6名同学中有4名男生和2名女生，若从这6名同学中随机抽取一名进行访谈，且每一名同学被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 　   　；

（4）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款 　   　元．

七．（本大题满分12分）

22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求a，b的值；

（2）点P是第四象限内抛物线上一点，连接AC，过点P作AC的平行线，交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为t．

①若直线PE的解析式为y＝kx+c（k≠0），试用含t的代数式表示c；

②若点D是线段PE的中点，试求点P的坐标．

八．（本大题满分14分）

23．如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于H．

（1）探索AF与DE的关系；

（2）求证：点H为DG中点；

（3）求的值．

参考答案与试题解析

1-5 ADDDD   6-7 ADBCB

11． a（2ab﹣1）2．    12． 1．     13． ．      14． 4．

14.【解答】解：如图，

作点A关于BC的对称点A′，连接A′E，DA′，CA′

由对称性可得，

A′E＝AE，

∴DE+AE＝DE+A′E≥DA′，当D，E（图中E′），A′共线时，DE+AE最小，最小值是DA′的长，

作DF⊥AA′于F，

在Rt△ADF中，∠DAF＝BAC＝60°，AD＝AB﹣BD＝12﹣4＝8，

∴DF＝8•sin60°＝4，AF＝8•cos60°＝4，

在Rt△DFA′中，DF＝4，FA′＝AA′﹣AF＝2AB•cos∠BAA′﹣AF＝2×12•cos60°﹣4＝8，

∴DA′＝＝4，

∴ED+EA的最小值为：4，

故答案为：4．

15．【答案】5﹣．

【解答】解：原式＝2﹣﹣1+4

＝5﹣．

16．【答案】（1）作图见解析；

（2）作图见解析，B1的坐标为（6，0）．

【解答】解：（1）△ABC即为所求；

（2）△A1B1C1即为所求．B1的坐标为（6，0）．

17．【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱．

【解答】解：设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，

依题意，得：，

解得：．

答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱．

18．【答案】（1）；

（2），证明见解析．

【解答】解：（1）；

（2）；

证明：∵左边＝＝＝右边，

∴原等式成立．

19．【答案】（1）点C到点D的水平距离CE的长为40米；

（2）楼AB的高度约为80米．

【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，

∵山坡CF的坡度i＝1：2，

∴＝，

设DE＝x米，则CE＝2x米，

∴CD＝＝＝x（米），

∵CD＝20米，

∴x＝20，

∴x＝20，

∴DE＝20米，CE＝2x＝40（米），

∴点C到点D的水平距离CE的长为40米；

（2）过点D作DG⊥AB，垂足为G，

由题意得：DE＝GB＝20米，DG＝EB，

设AB＝x米，

∴AG＝AB﹣BG＝（x﹣20）米，

在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，

∴BC＝＝x（米），

∴DG＝EB＝EC+BC＝（x+40）米，

在Rt△ADG中，∠ADG＝26.7°，

∴tan26.7°＝＝≈0.5，

解得：x＝80，

经检验：x＝80是原方程的根，

∴AB＝80米，

∴楼AB的高度约为80米．

20．【答案】（1）证明见解答；

（2）BE的长是．

【解答】（1）证明：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），

∴∠BAD＝∠CAD，

∴AD⊥BC，

∵DF∥BC，

∴∠ADF＝∠AEB＝90°，

∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，

∴OD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB＝AC＝12，AF＝15，

∴BF＝AF﹣AB＝15﹣12＝3，

∵∠FBD＝180°﹣∠ABD＝90°，∠ADF＝90°，

∴＝＝cosF，

∴FD＝＝＝3，

∵EB∥DF，

∴△AEB∽△ADF，

∴＝＝＝，

∴BE＝FD＝×3＝，

∴BE的长是．

21．【答案】（1）5018；

（2）15；

（3）；

（4）13000．

【解答】解：（1）10÷20%＝50，

50﹣6﹣16﹣10＝18．

故答案为：50，18；

（2）本次捐款金额的中位数是15元．

故答案为：15；

（3）恰好抽到男生的概率是4÷（4+2）＝．

故答案为：；

（4）1000×（5×+10×+15×32%+20×20%）

＝1000×（0.6+3.6+4.8+4）

＝13000（元）．

故答案为：13000．

22．【答案】（1）a＝1，b＝﹣2；

（2）①c＝t2+t﹣3，②（2，﹣3）．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3，得：

，

解得，

∴a＝1，b＝﹣2；

（2）解：①由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）；

设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝mx+n，得：

，

解得，

∴直线AC的解析式是y＝﹣3x﹣3．

∵PE∥AC，

∴k＝﹣3．

∴直线PE的解析式为y＝﹣3x+c．

∵点P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，点P的横坐标为t，

∴点P（t，t2﹣2t﹣3），则t2﹣2t﹣3＝﹣3t+c．

∴c＝t2+t﹣3；

②由①知直线PE的解析式为y＝﹣3x+t2+t﹣3．

在y＝﹣3x+t2+t﹣3中，令y＝0，得：．

∴，

在y＝﹣3x+t2+t﹣3中，令x＝0，得y＝t2+t﹣3．

∴E（0，t2+t﹣3），

∵D是线段PE的中点，

∴P、E两点的纵坐标互为相反数，

∴t2﹣2t﹣3+t2+t﹣3＝0，

∴2t2﹣t﹣6＝0，

解得t＝2或（舍去），

∴t2﹣2t﹣3＝﹣3，

∴P（2，﹣3）．

23．【答案】（1）AF＝DE，AF⊥DE，理由见解答过程；

 （2）证明见解答过程；

（3）．

【解答】（1）解：在正方形ABCD中，

∵AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，E、F分别为边AB、BC 的中点，

∴AE＝AB，BF＝BC，

∴AE＝BF，

∴△DAE≌△ABF（SAS），

∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，

∵∠DAG+∠BAF＝90°，

∴∠DAG+∠ADE＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴AF⊥DE，

∴AF＝DE，AF⊥DE；

 （2）证明：方法一：如图，延长AF交DC延长线于M，

∵F为BC中点，

∴CF＝FB，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴DM∥AB，AB＝CD，

∴∠M＝∠FAB，

∵F为BC中点，

∴CF＝FB，

在△ABF与△MCF中，

 ，

∴△ABF≌△MCF（AAS），

∴AB＝CM，

∴CD＝CM，

又∵∠DGM＝90°，

∴CG＝DM，

∴CG＝CD，

∵CH平分∠DCG，

∴H为DG中点；

方法二：如图，连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DC＝AB，∠DCF＝∠ABF＝90°，DC∥AB，

∵F为CB中点，

∴CF＝FB，

∴△DCF≌△ABF（SAS），

∴∠DFC＝∠AFB，

由（1）已证△DAE≌△ABF，

∴∠AFB＝∠DEA，

又∵DC∥AB，

∴∠CDE＝∠DEA，

∴∠CDE＝∠CFD，

又∵由（1）已证AF⊥DE，

∴∠DGF＝90°，

∴∠DGF+∠DCF＝90°+90°＝180°，

∴D、G、F、C四点共圆，

∴∠DGC＝∠CFD，

∴∠DGC＝∠CDE，

∴DC＝CG，

∵CH平分∠DCG，

∴H为DG中点；

（3）解：设正方形ABCD的边长为2a，则由（1）和（2）可得：AD＝AB＝2a，AE＝BF＝CF＝a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，

∴AF＝＝a，

在△DGA与△DAE中，

∵∠DGA＝∠DAE＝90°，∠ADG＝∠EDA，

∴△DGA∽△DAE，

∴＝＝，即＝＝，

∴DG＝a，AG＝a，

∴GF＝AF﹣AG＝a﹣a＝a，

∴＝＝．