辽宁省营口市2018年中考数学试卷及答案(word版含解析)

这是一份辽宁省营口市2018年中考数学试卷及答案(word版含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•营口）﹣6的倒数是（　　）
　
A．
﹣6
B．
6
C．

D．


分析：
根据倒数的定义求解．
解答：
解：﹣6的倒数是﹣，
故选：D．
点评：
本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义．
　
2．（3分）（2014•营口）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

　
A．
长方体
B．
三棱柱
C．
正方体
D．
圆柱

考点：
由三视图判断几何体．菁优网版权所有
分析：
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选B．
点评：
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
　
3．（3分）（2014•营口）估计的值（　　）
　
A．
在3到4之间
B．
在4到5之间
C．
在5到6之间
D．
在6到7之间

考点：
估算无理数的大小．菁优网版权所有
分析：
应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
解答：
解：∵5＜＜6，
∴在5到6之间．
故选C．
点评：
此题主要考查了估算无理数的那就，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
　
4．（3分）（2014•营口）下列运算正确的是（　　）
　
A．
a+a=a2
B．
（﹣a3）4=a7
C．
a3•a=a4
D．
a10÷a5=a2

考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
解答：
解：A、a+a=2a，故A选项错误；
B、（﹣a3）4=a12，故B选项错误；
C、a3•a=a4，故C选项正确；
D、a10÷a5=a5，故D选项错误．
故选：C．
点评：
此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题的关键是熟记法则．
　
5．（3分）（2014•营口）下列说法正确的是（　　）
　
A．
“明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的地方下雨
　
B．
为了解学生视力情况，抽取了500名学生进行调查，其中的样本是500名学生
　
C．
要了解我市旅游景点客流量的情况，采用普查的调查方式
　
D．
一组数据5，1，3，6，9的中位数是5

考点：
概率的意义；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；中位数．菁优网版权所有
分析：
根据概率的意义和中位数、调查方式、样本的定义分别对每一项进行判断即可．
解答：
解：A、“明天的降水概率是80%”表示明天会有80%的可能下雨，故本选项错误；
B、为了解学生视力情况，抽取了500名学生进行调查，其中的样本是500名学生的视力情况，故本选项错误；
C、要了解我市旅游景点客流量的情况，采用抽查的调查方式，故本选项错误；
D、一组数据5，1，3，6，9的中位数是5，故本选项正确；
故选D．
点评：
此题考查了概率的意义，用到的知识点是中位数、调查方式、样本，关键是熟练掌握有关定义．
　
6．（3分）（2014•营口）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：
分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可．
解答：
解：，
由①得，x≤3，
由②得，x＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
在数轴上表示为：
，
故选B．
点评：
本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
　
7．（3分）（2014•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（　　）

　
A．
145°
B．
152°
C．
158°
D．
160°

考点：
翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．菁优网版权所有
分析：
根据三角形的内角和定理得到∠C=104°，再由中位线定理可得DE∥BC，∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，根据折叠的性质得∠DEA′=∠AED=
104°，再求∠AEA′的度数即可．
解答：
解：∵∠B=50°，∠A=26°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠A=104°，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°，∠AED=∠C=104°，
∵将△ABC沿DE折叠，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠DEA′=∠AED=104°，
∴∠AEA′=360°﹣∠DEA′﹣∠AED=360°﹣104°﹣104°=152°．
故选：B．
点评：
本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．
　
8．（3分）（2014•营口）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
动点问题的函数图象．菁优网版权所有
分析：
求出CE的长，然后分①点P在AD上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系；②点P在CD上时，根据S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在CE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可．
解答：
解：∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=AB=2，BC=AD=3，
∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，
∴CE=×3=2，
①点P在AD上时，△APE的面积y=x•2=x（0≤x≤3），
②点P在CD上时，S△APE=S梯形AECD﹣S△ADP﹣S△CEP，
=（2+3）×2﹣×3×（x﹣3）﹣×2×（3+2﹣x），
=5﹣x+﹣5+x，
=﹣x+，
所以，y=﹣x+（3＜x≤5），
③点P在CE上时，S△APE=×（3+2+2﹣x）×2=﹣x+7，
所以，y=﹣x+7（5＜x≤7），
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选A．
点评：
本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2014•营口）全球每年大约有577 000 000 000 000米3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽，将数577 000 000 000 000用科学记数法表示为　5.77×1014　．

考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于577 000 000 000 000有15位，所以可以确定n=15﹣1=14．
解答：
解：577 000 000 000 000=5.77×1014．
故答案为：5.77×1014．
点评：
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
　
10．（3分）（2014•营口）函数y=+（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是　x≥1且x≠2　．

考点：
函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
分析：
根据被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．
解答：
解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
点评：
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
　
11．（3分）（2014•营口）小华和小苗练习射击，两人的成绩如图所示，小华和小苗两人成绩的方差分别为S12、S22，根据图中的信息判断两人方差的大小关系为　S12＜S22　．


考点：
方差．菁优网版权所有
分析：
根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差小．
解答：
解：由图表明小苗这10次成绩偏离平均数大，即波动大，而小华这10次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S12＜S22；
故答案为：S12＜S22．
点评：
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
　
12．（3分）（2014•营口）如图，直线a∥b，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若∠1=24°，则∠2=　36°　．


考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
过B作BE∥直线a，推出直线a∥b∥BE，根据平行线的性质得出∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，即可求出答案．
解答：
解：
过B作BE∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥BE，
∴∠ABE=∠1=24°，∠2=∠CBE，
∵∠ABC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠2=∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°．
点评：
本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，题目比较好，难度适中．
　
13．（3分）（2014•营口）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为　25　个．

考点：
利用频率估计概率．菁优网版权所有
分析：
根据口袋中有10个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
解答：
解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，口袋中有10个白球，
∵假设有x个红球，
∴=，
解得：x=25，
∴口袋中有红球约有25个．
故答案为：25．
点评：
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
　
14．（3分）（2014•营口）如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为　120　度．


考点：
圆锥的计算．菁优网版权所有
分析：
先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷15π计算．
解答：
解：圆锥底面周长=2×5π=10π，
∴扇形的圆心角α的度数=圆锥底面周长×180÷15π=120°．
故答案为：120．
点评：
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．
　
15．（3分）（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB∥x轴，点A在双曲线y=（x＜0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上，边AC中点D在x轴上，△ABC的面积为8，则k=　﹣3　．


考点：
反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
分析：
运用双曲线设出点A及点B的坐标，确定三角形的底与高，利用△ABC的面积为8列出式子求解．再运用A，B点的纵坐标相等求出k．
解答：
解：设A点坐标为（x1，），B点的坐标为（x2，），
∵AB∥x轴，边AC中点D在x轴上，
∴△ABC边AB上的高为2×（﹣）=﹣，
∵△ABC的面积为8，
∴AB×（﹣）=8，即（x2﹣x1）•×（﹣）=8
解得，=﹣，
∵=，
∴=，
∴=﹣，
∴k=﹣3．
故答案为：﹣3．
点评：
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用双曲线设出点A及点B的坐标，利用△ABC的面积为8列出式子求解．
　
16．（3分）（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x，直线l2：y=x，在直线l1上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点B1，过点B1作B1A1∥l2，交x轴于点A1，作B1C1∥x轴，交直线l2于点C1，得到四边形OA1B1C1；再以点B1为对称中心，作O点的对称点B2，过点B2作B2A2∥l2，交x轴于点A2，作B2C2∥x轴，交直线l2于点C2，得到四边形OA2B2C2；…；按此规律作下去，则四边形OAnBnCn的面积是　　．


考点：
一次函数综合题；规律型：点的坐标．菁优网版权所有
分析：
根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得OBn的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得OA1的长，进而求得OAn的长，然后根据等边三角形的性质，求得OAn=AnCn，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半即可求得．
解答：
解：∵直线l：y=x，直线l2：y=x，
∴直线l1与x轴夹角为30°，直线l2与x轴夹角为60°，B为l1上一点，且OB=1，
根据题意可知：OB=1，OB1=2，OB2=4，OB3=8，OB4=16，..OBn=2n，四边形OA1B1C1、四边形OA2B2C2、四边形OA3B3C3…是菱形，
∵∠A1OC1=60°，
∴△OA1C1，△OA2C2，△OAC，△OA3C3，…△OAnCn是等边三角形，
∴OA1=A1C1，OA2=A2C2，OA3=A3C3…OAn=AnCn，
∵OA1=A1C1=，OA2=A2C2=，OA3=A3C3=，…OAn=AnCn=
∴四边形OAnBnCn的面积=AnCn•OBn=××2n=．
点评：
本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用中心对称的性质，以及等边三角形的性质求得线段的长，得出一般规律．
　
三、解答题（17小题8分，18小题8分，共16分）
17．（8分）（2014•营口）先化简，再求值：b2﹣÷（a﹣），其中a=tan45°，b=2sin60°．

考点：
分式的化简求值；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出a与b的值，代入计算即可求出值．
解答：
解：原式=b2﹣•=b2﹣a，
当a=tan45°=1，b=2sin60°=时，原式=3﹣1=2．
点评：
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
18．（8分）（2014•营口）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；
（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标．


考点：
作图-位似变换；作图-轴对称变换．菁优网版权所有
分析：
（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可．
解答：
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，C1点坐标为：（3，2）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，C2点坐标为：（﹣6，4）；

（3）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标为：（2a，2b）．

点评：
此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
　
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）（2014•营口）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注．相关人员对本地区15～65岁年龄段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图．市民对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A．没影响 B．影响不大 C．有影响，建议做无声运动 D．影响很大，建议取缔 E．不关心这个问题

根据以上信息解答下列问题：
（1）根据统计图填空：m=　32　，A区域所对应的扇形圆心角为　72　度；
（2）在此次调查中，“不关心这个问题”的有25人，请问一共调查了多少人？
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若本地共有14万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议？

考点：
条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
（1）用1减去A，D，B，E的百分比即可，运用A的百分比乘360°即可．
（2）用不关心的人数除以对应的百分比妈可．
（3）求出25﹣﹣35岁的人数再绘图．
（4）用14万市民乘C的D的百分比的和求解．
解答：
解：（1）m%=1﹣33%﹣20%﹣5%﹣10%=32%，所以m=32，
A区域所对应的扇形圆心角为：360°×20%=72°，
故答案为：32，72．
（2）一共调查的人数为：25÷5%=500（人）
（3）25﹣﹣35岁的人数为：500﹣10﹣30﹣40﹣70=350（人）

（3）14×（32%+10%）=5.88（万人）
答：估计本地市民中会有5.88万人给出建议．
点评：
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解．
　
20．（10分）（2014•营口）第20届世界杯足球赛正在如火如荼的进行，爸爸想通过一个游戏决定小明能否看今晚的比赛：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为3，，2（每张卡片除了上面的实数不同以外其余均相同），爸爸让小明从中任意取一张卡片，如果抽到的卡片上的数是有理数，就让小明看比赛，否则就不能看．
（1）请你直接写出按照爸爸的规则小明能看比赛的概率；
（2）小明想了想，和爸爸重新约定游戏规则：自己从盒子中随机抽取两次，每次抽取一张卡片，第一次抽取后记下卡片上的数，再将卡片放回盒中抽取第二次，如果抽取的两数之积是有理数，自己就看比赛，否则就不看．请你用列表法或树状图法求出按照此规则小明看比赛的概率．

考点：
列表法与树状图法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）三个数中有理数有一个3，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两数之积为有理数的情况数，即可求出所求的概率．
解答：
解：（1）按照爸爸的规则小明能看比赛的概率P=；
（2）列表如下：

3

2
3
9
3
6

3
3
4
2
6
4
8
所有等可能的情况有9种，其中抽取的两数之积是有理数的情况有5种，
则按照此规则小明看比赛的概率P=．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
五、解答题（21小题8分，22小题10分，共18分）
21．（8分）（2014•营口）如图，王老师站在湖边度假村的景点A处，观察到一只水鸟由岸边D处飞向湖中小岛C处，点A到DC所在水平面的距离AB是15米，观测水鸟在点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，求C、D两点之间距离．（精确到0.1．参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，tan11°≈0.19）


考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有
分析：
根据AB=15米，点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，在Rt△ABD和Rt△ABC中，分别求出BC和BD的长度，然后即可求出CD=BC﹣CD的值．
解答：
解：在Rt△ABD中，
∵AB=15米，∠ADB=53°，
∴=tan53°≈1.33，
∴BD=11.25（米），
在Rt△ABC中，
∵AB=15米，∠ACD=11°，
∴=tan11°≈0.19，
解得：BC≈78.94（米），
∴CD=BC﹣BD=78.94﹣11.25≈67.7（米）．
答：C、D两点之间距离为67.7米．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
　
22．（10分）（2014•营口）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．


考点：
切线的判定．菁优网版权所有
分析：
（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理推论得出=，进而得出BC的长，再利用勾股定理求出即可．
解答：
（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴=，
∵AC=4，tan∠ACD=，
∴tan∠B=tan∠ACD==，
∴=，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB===4，
则⊙O的半径为：2．

点评：
此题主要考查了切线的判定以及垂径定理的推论和勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．
　
六、解答题（23小题10分，24小题10分，共20分）
23．（10分）（2014•营口）为弘扬中华民族传统文化，某校举办了“古诗文大赛”，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．
（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？
（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书，如果给每名获奖同学都买一本图书，需要花费720元；书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同．问学校获奖的同学有多少人？

考点：
分式方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）由题意可知此题存在两个等量关系，即买1支签字笔价钱+买2个笔记本的价钱=8.5元，买2支签字笔价钱+买3个笔记本的价钱=13.5元，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解；
（2）设学校获奖的同学有z人，根据等量关系：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同，可列出方程，再求解．
解答：
解：（1）设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元．
则可列方程组，
解得．
答：签字笔的单价为1.5元，笔记本的单价为3.5元．

（2）设学校获奖的同学有z人．
则可列方程=，
解得z=48．
经检验，z=48符合题意．
答：学校获奖的同学有48人．
点评：
考查了二元一次方程组的应用和分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系：买一本笔记本价钱+买4支钢笔的价钱=18元，买一本笔记本价钱+买一支钢笔的价钱=6元，列出方程组，再求解．
　
24．（10分）（2014•营口）随着生活质量的提高，人们健康意识逐渐增强，安装净水设备的百姓家庭越来越多．某厂家从去年开始投入生产净水器，生产净水器的总量y（台）与今年的生产天数x（天）的关系如图所示．今年生产90天后，厂家改进了技术，平均每天的生产数量达到30台．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该厂家去年平均每天的生产数量与今年前90天平均每天的生产数量相同，求厂家去年生产的天数；
（3）如果厂家制定总量不少于6000台的生产计划，那么在改进技术后，至少还要多少天完成生产计划？


考点：
一次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）本题时一道分段函数，当0≤x≤90时和x＞90时由待定系数法就可以分别求出其结论；
（2）由（1）的解析式求出今年前90天平均每天的生产数量，由函数图象可以求出去年的生产总量就可以得出结论；
（3）设改进技术后，至少还要a天完成不少于6000台的生产计划，根据前90天的生产量+改进技术后的生产量≥6000建立不等式求出其解即可．
解答：
解：（1）当0≤x≤90时设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得
，
解得：．
则y=20x+900．
当x＞90时，由题意，得y=30x．
∴y=；

（2）由题意，得
∵x=0时，y=900，
∴去年的生产总量为：900台．
今年平均每天的生产量为：（2700﹣900）÷90=20台，
厂家去年生产的天数为：900∴20=45天．
答：厂家去年生产的天数为45天；

（3）设改进技术后，至少还要a天完成不少于6000台的生产计划，由题意，得
2700+30a≥6000，
解得：a≥110．
答：改进技术后，至少还要110天完成不少于6000台的生产计划．
点评：
本题考查了分段函数的运用，待定系数法起一次函数的解析式的运用，列不等式解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式及分析函数图象的意义是关键．
　
七、解答题（本题满分14分）
25．（14分）（2014•营口）四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．


考点：
四边形综合题．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；
②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠BAE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；
（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；
（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．
解答：
（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCG；

②解：AG⊥BE．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
∵∠DAG=∠DCG，
∴∠DAG=∠BAE，
∵∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；

（2）解：由（1）可知AG⊥BE．
如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．

∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，
∴∠AON=∠BOM．
∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OAN=∠OBM．
在△AON与△BOM中，

∴△AON≌△BOM（ASA）．
∴OM=ON，
∴矩形OMHN为正方形，
∴HO平分∠BHG．

（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．

与（1）同理，可以证明AG⊥BE．
过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，
与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，
可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，
∴∠BHO=45°．
点评：
本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质解决线段和角相等的问题．
　
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2014•营口）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．


考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点的纵坐标﹣F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，
由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．

（2）存在；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（m﹣）2+，
∴当x=时，PF有最大值为．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；
直线BC的解析式为：y=x﹣3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，∴F（1，﹣2），∴AF=2．
①当0≤t≤时，如答图1﹣1所示．
此时四边形AFF′A′为平行四边形．

设A′F′与x轴交于点K，则AK=AA′=t．
∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×t=t；
②当＜t≤2时，如答图1﹣2所示．
设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．

∴S=S▱PC′F′A′﹣S△A′DQ=2×1﹣（t﹣）2=﹣t2+t+1；
③当2＜t≤3时，如答图1﹣3所示．
设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．

∵BC=3，CC′=t，∴BC′=3﹣t．
∴S=S△BC′Q=（3﹣t）2=t2﹣3t+9．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=．
点评：
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．第（2）问的解题要点是列出线段PE的表达式；第（3）问的解题要点是分类讨论的数学思想及图形面积的计算．