湖北省武汉市洪山区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市洪山区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列与武汉有关的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，△AEC≌△ADB，若∠A＝50°，∠ABD＝38°，则图中∠AEC的度数是（ ）
A．88°B．92°C．95°D．102°
3．（3分）已知一个三角形的两边分别为4cm，10cm，则它的第三边可能是（ ）
A．6cmB．10cmC．14cmD．18cm
4．（3分）在三角形内到三角形三边距离相等的点是三角形（ ）
A．三边的垂直平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
5．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．9条B．8条C．7条D．6条
6．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．成轴对称的两个三角形一定全等
B．等边三角形有3条对称轴
C．角是轴对称图形
D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合
7．（3分）如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．180°B．240°C．300°D．360°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）如图，在△ABC纸片中，AB＝10，BC＝8，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．2
10．（3分）如图，长方形ABCD中，对角线 BD＝4，∠ABD＝60°，将长方形ABCD沿BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一动点．当BM+EM+CM的值最小时，DM的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一个五边形的内角和是 ．
12．（3分）等腰三角形的顶角为38°，它的一个底角的度数为 ．
13．（3分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△AEC的周长为10cm，AD＝3cm，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝4，则AD的取值范围是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点M，N在底边BC上，若∠AMN＝75°，∠MAN＝45°，那么线段MN与CN之间的数量关系为 ．
16．（3分）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠B+40°．
求△ABC的各内角度数．
18．（8分）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的大小；
（2）若CD＝2，AD＝5，求△AEC的面积．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别是AC，BC，AB上的点，且AF＝BE，∠DFE＝∠A，连接DE，FG平分∠DFE交DE于G．
（1）求证：AD＝BF；
（2）若EG＝2，求EF的长度．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣1）．仅用无刻度的直尺，完成作图．
（1）直接写出△ABC的面积为 ；
（2）已知点M为AC的中点，请作出点M关于y轴的对称点N，并写出点N的坐标 ；
（3）作△ABC的高AH；
（4）在线段AC上作点P，使得∠CBP＝45°．
22．（10分）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得CA+CB有最小值，并说明作图依据： ；
（2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得PA+PB有最小值；
（3）如图3，已知∠AOB＝30°，点Q在∠AOB内部，点M，N分别在射线OA，OB上，若OQ＝6，请求出△QMN周长的最小值．
23．（10分）在等边△ABC中，AB＝4，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，当点D和点A重合时，试求∠ACF的度数；
（2）当点D是边AB的中点时，
①如图2，判断线段FE与FC的数量关系并证明；
②如图3，在点E从点B沿BC运动到点C的过程中，请直接写出点F的运动轨迹的长度．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a）（a＞0），B（0，b）（b≤0），C（c，0）（c＜0），且（a﹣b）2＝c2．
（1）试判断线段AB与OC的数量关系，并证明；
（2）如图1，当b＝0时，连接AC，点P是线段AC上一点，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若∠AQP＝45°，试探究CQ和OQ之间数量关系；
（3）如图2，当b＜0时，点D在x轴负半轴上，位于点C的左侧，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠CED的度数是否为定值？如果是，请求出∠CED的度数；如果不是，请说明理由．
2023-2024学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列与武汉有关的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、B、C中的图形都不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．（3分）如图，△AEC≌△ADB，若∠A＝50°，∠ABD＝38°，则图中∠AEC的度数是（ ）
A．88°B．92°C．95°D．102°
【解答】解：在△ABD中，∠A＝50°，∠ABD＝38°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝92°，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠AEC＝∠ADB＝92°，
故选：B．
3．（3分）已知一个三角形的两边分别为4cm，10cm，则它的第三边可能是（ ）
A．6cmB．10cmC．14cmD．18cm
【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选：B．
4．（3分）在三角形内到三角形三边距离相等的点是三角形（ ）
A．三边的垂直平分线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【解答】解：
∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴O在∠A的平分线上，
同理O在∠B的平分线上，
O在∠C的平分线上，
即O是三条角平分线的交点，
故选：C．
5．（3分）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）
A．9条B．8条C．7条D．6条
【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，
从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），
故选：D．
6．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．成轴对称的两个三角形一定全等
B．等边三角形有3条对称轴
C．角是轴对称图形
D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合
【解答】解：成轴对称的两个三角形一定全等，故A正确，不符合题意；
等边三角形有3条对称轴，故B正确，不符合题意；
角是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的角平分线重合，故D错误，符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（ ）
A．180°B．240°C．300°D．360°
【解答】解：∵∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，
∴∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．
∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，
∴∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A．
∴∠D+∠E+∠F+∠G＝180°+∠A＝180°+60°＝240°．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：分三种情况讨论：
①如图所示：过点B作CB⊥AB，使BC＝AB，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，
∵A（3，0），B（1，0），O（0，0），
∴OA＝3，OB＝1，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴OB＝CD＝1，OA＝BD＝3，
∴OD＝1+3＝4，
∴点C（4，1）；
②如图所示：过点A作CA⊥AB，使AC＝AB，过点C作CE⊥y轴于点E，
∴∠CEA＝∠BAC＝90°，
∵A（3，0），B（1，0），O（0，0），
∴OA＝3，OB＝1，
∵∠AOB＝∠CEA＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABO＝∠CAE，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△CEA（AAS），
∴OB＝AE＝1，OA＝EC＝3，
∴OE＝OA+AE＝3+1＝4，
∴点C（3，4）；
③如图所示：过点B作BC''⊥AC'，过点C''作C''M⊥OD，C''N⊥OA，
∵A（3，0），B（1，0），O（0，0），
∴OA＝3，OB＝1，
∴AB＝，
∵△ABC'是等腰直角三角形，
∴BC'＝AB＝，
∴AC'＝，
∴C''是AC'的中点，
∴BC''＝AC''＝，OM＝，
BC''⊥AC'，C''M⊥OD，C''N⊥OA，
∴∠C''MO＝∠C''NO＝∠AOB＝90°，
∴四边形OMC''N是矩形，
∴NC''＝OM＝2，
∴AN＝，
∴ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，
∴C''的坐标为（2，2），
综上可知：满足条件的点C的个数为3，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC纸片中，AB＝10，BC＝8，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：由折叠的性质可得：∠ABD＝∠CBD，BC＝BE＝8，∠C＝∠DEB，∠BDE＝∠BDC，CD＝DE，
如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，则DN＝DM，
∵AB＝10，
∴AE＝2，S△ADB：S△BCD＝10：8＝5：4，
∵∠BCD＝2∠BDE，
∴∠EDC＝∠BED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝2，
∵S△ADB：S△BCD＝5：4，
∴AD：CD＝5：4，
∴CD＝＝DE．
故选：C．
10．（3分）如图，长方形ABCD中，对角线 BD＝4，∠ABD＝60°，将长方形ABCD沿BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一动点．当BM+EM+CM的值最小时，DM的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【解答】解：作EH⊥BC于点H，交BD于点I，作MF⊥BC于点F，则∠BHE＝∠BFM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∠ABD＝60°，
∴∠BCD＝90°，CD∥AB，
∴∠BDC＝∠ABD＝60°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°，
∴CD＝BD＝2，BM＝2FM，
由折叠得∠EBD＝∠CBD＝30°，∠BDE＝∠BDC＝60°，ED＝CD＝2，
∴∠EBH＝∠EBD+∠CBD＝60°，
∴∠BEH＝90°﹣∠EBH＝30°，
∵∠BED＝∠BCD＝90°，
∴∠DEH＝∠BED﹣∠BEH＝60°，
∴∠EID＝∠IDE＝∠DEI＝60°，
∴△DIE是等边三角形，
∴DI＝ED＝2，
∵BE＝BC＝＝＝2，
∴BH＝BE＝，
∴EH＝＝＝3，
∵FM+EM≥EH，
∴FM+EM≥3，
∴2FM+2EM≥6，
∵BM＝2FM，EM＝CM，
∴BM+EM+CM＝2FM+2EM，
∴BM+EM+CM≥6，
∴当点M于点I重合时，BM+EM+CM取得最小值，最小值为6，
∴DM＝DI＝2，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）一个五边形的内角和是 540° ．
【解答】解：根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）＝540°，
故答案为：540°．
12．（3分）等腰三角形的顶角为38°，它的一个底角的度数为 71° ．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为38°，
∴等腰三角形的底角＝×（180°﹣38°）＝71°．
故答案为：71°．
13．（3分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△AEC的周长为10cm，AD＝3cm，则△ABC的周长为 16cm ．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，△AEC的周长为8cm，AD＝2cm，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB，
∵AD＝3cm，
∴AB＝6cm，
∴AB+AC+BC＝AB+（AC+AE+CE）＝6+10＝16cm．
故答案为：16cm．
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝4，则AD的取值范围是 2＜AD＜6 ．
【解答】解：如图，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△HDB中，
，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH＝4，
在△ABH中，AB﹣BH＜AH＜AB+BH，
∴4＜2AD＜12，
∴2＜AD＜6，
故答案为：2＜AD＜6．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点M，N在底边BC上，若∠AMN＝75°，∠MAN＝45°，那么线段MN与CN之间的数量关系为 MN＝2CN ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
如图，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
∴△ACN≌△ABH，∠HAN＝90°，
∴BH＝CN，AN＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，
∴∠HBM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠HAM＝∠MAN，
在△AMN和△AMH中，
，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN＝MH，∠AMN＝∠AMH＝75°，
∴∠BMH＝30°，
∴HM＝2BH，
∴MN＝2CN，
故答案为：MN＝2CN．
16．（3分）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠ECB＝90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠B+40°．
求△ABC的各内角度数．
【解答】解：∵∠B＝2∠A，∠C＝∠B+40°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A+40°＝180°，
解得：∠A＝28°，
∴∠B＝2∠A＝56°，
∠C＝∠B+40°＝96°．
18．（8分）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．
【解答】证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴BC＝EF，
∴BE＝CF．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的大小；
（2）若CD＝2，AD＝5，求△AEC的面积．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AE，BF是角平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝40°，∠ABO＝∠ABC＝15°，
∴∠AOB＝180°﹣15°﹣40°＝125°；
（2）解：∵∠BAO＝40°，∠ABC＝30°，
∴∠AEC＝30°+40°＝70°＝∠C，
∵AD是高，
∴ED＝DC＝2，
∴EC＝2DC＝4，
∴△AEC的面积＝．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别是AC，BC，AB上的点，且AF＝BE，∠DFE＝∠A，连接DE，FG平分∠DFE交DE于G．
（1）求证：AD＝BF；
（2）若EG＝2，求EF的长度．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵∠DFB＝∠DFE+∠BFE＝∠ADF+∠A，
∴∠BFE＝∠ADF，
在△BFE和△ADF中，
，
∴△BFE≌△ADF（AAS），
∴DA＝BF；
（2）解：∵△BFE≌△ADF，
∴FD＝FE，
又∵∠DFE＝60°，
∴△DFE为等边三角形，
又∵GF平分∠DFE，
∴∠FGE＝90°，∠EFG＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣1）．仅用无刻度的直尺，完成作图．
（1）直接写出△ABC的面积为 7 ；
（2）已知点M为AC的中点，请作出点M关于y轴的对称点N，并写出点N的坐标 （2，1） ；
（3）作△ABC的高AH；
（4）在线段AC上作点P，使得∠CBP＝45°．
【解答】解：（1）S△ABC＝3×5﹣＝7，
故答案为：7；
（2）如图所示，点N即为所求，N（2，1），
故答案为：（2，1）；
（3）如图所示，高AH即为所求；
（4）如图所示，点P即为所求．
22．（10分）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得CA+CB有最小值，并说明作图依据： 两点之间线段最短 ；
（2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得PA+PB有最小值；
（3）如图3，已知∠AOB＝30°，点Q在∠AOB内部，点M，N分别在射线OA，OB上，若OQ＝6，请求出△QMN周长的最小值．
【解答】解：（1）连接AB，与直线l相交于一点C，则CA+CB有最小值．作图依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图，点P即为所求．
（3）如图2，
作法：（Ⅰ）作Q关于OA的对称点C，
（Ⅱ）作点Q关于OB的对称点D，
（Ⅲ）连接CD，分别交OA于点M，交OB于N，
则△QMN 的周长最小，
连接OC、OD，
∵点C和点Q关于OA对称，
∴OC＝OQ＝6，∠MOC＝∠QOM，
同理可得，
OD＝OQ＝6，∠QON＝∠NOD，
∴OC＝OD，
∠MOC+∠QOM+∠QON+∠NOD＝2∠QOM+2∠QON＝2（∠QOM+∠QON）＝2∠AOB＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD＝6，
∴△QMN的周长＝QM+MN+QN＝CM+MN+DN＝CD＝6．
23．（10分）在等边△ABC中，AB＝4，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接CF．
（1）如图1，当点D和点A重合时，试求∠ACF的度数；
（2）当点D是边AB的中点时，
①如图2，判断线段FE与FC的数量关系并证明；
②如图3，在点E从点B沿BC运动到点C的过程中，请直接写出点F的运动轨迹的长度．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC，△AEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°，AB＝AC，AE＝AF，
即∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF＝60°；
（2）①FE＝FC，
证明：如图2中，连接CD，取BC的中点T，连接DT，FT，
∵BD＝AD，BT＝CT，AB＝BC，
∴BD＝BT，
∵∠B＝60°，
∴△BDT是等边三角形，
∵△DEF是等边三角形，
∴同（1）法可证，△BDE≌△TDF（SAS），
∴BE＝FT，∠B＝∠DTF＝60°，
∵∠BTD＝60°，
∴∠FTC＝∠B＝60°，
∵BD＝TC，∠B＝∠FTC，BE＝TF，
∴△BDE≌△TCF（SAS），
∴DE＝CF，
∵EF＝DE，
∴FE＝FC；
②如图3中，连接CD，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，
∵DF＝EF＝CF，
∴点F在CD的垂直平分线上，
∴当AF⊥FI时，AF的值最小，此时∠DAF＝90°，点F的运动轨迹即为FI的长度，
∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI＝BC＝2，
∴AI＝BI＝2，
∵∠ADF+60°+∠BDE＝180°，∠BED+60°+∠BDE＝180°，
∴∠ADF＝∠BED，
在△ADF和H△DE中，
，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴AF＝DH，
∵DH⊥BC，BD＝AB＝2，∠B＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝BD＝1，
∴DH＝BH＝，
∴AF＝DH＝，
在Rt△AFI中，根据勾股定理得：FI＝＝＝3，
∴点F的运动轨迹的长度为3．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a）（a＞0），B（0，b）（b≤0），C（c，0）（c＜0），且（a﹣b）2＝c2．
（1）试判断线段AB与OC的数量关系，并证明；
（2）如图1，当b＝0时，连接AC，点P是线段AC上一点，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若∠AQP＝45°，试探究CQ和OQ之间数量关系；
（3）如图2，当b＜0时，点D在x轴负半轴上，位于点C的左侧，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠CED的度数是否为定值？如果是，请求出∠CED的度数；如果不是，请说明理由．
【解答】（1）解：AB＝OC，
理由如下：
∵（a﹣b）2＝c2，a＞0，b≤0，c＞0，
∴a﹣b＝c，
∴AB＝OC；
（2）CQ＝2OQ，
证明：过点A作AH⊥OP于点H，
∵CQ⊥OP，
∴∠CQO＝90°，
∵∠AOB＝∠AHO＝90°，
∴∠AOH+∠COQ＝90°，∠COQ+∠OCQ＝90°，
∴∠AOH＝∠OCQ，
∵OC＝AB，
∴△COQ≌△OAH（AAS），
∴AH＝OQ，CQ＝OH，
∵∠AQP＝45°，
∴∠HQA＝∠HAQ＝45°，
∴AH＝HQ，
∴OH＝2OQ，
∴CQ＝2OQ；
（3）∠CED＝135°，为定值．
理由：将线段AD沿AB方向平移至DF，则AD∥BF，AB∥DF，且AB＝DF，
∵CD＝OB，∠COB＝∠CDF＝90°，CO＝DF＝AB，
∴△CDF≌△BOC（SAS），
∴CF＝CB，∠DCF＝∠CBO，
∵∠OCB+∠CBO＝90°，
∴∠OCB+∠DCF＝90°，
∴∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝45°，
∵AD∥BF，
∴∠AEC＝∠FBC＝45°，
∴∠CED＝135°．