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江苏省扬州市八年级下学期期中数学试卷【解析版】
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这是一份江苏省扬州市八年级下学期期中数学试卷【解析版】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省扬州市江都市八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列调查适合普查的是( )
A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
B．某本书中某页的印刷错误
C．公民保护环境的意识
D．某批灯泡的使用寿命
2．下列图形中，中心对称图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
4．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．扩大为原来的10倍 D．缩小为原来的
5．对于函数y=，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
C．它的图象与直线y=﹣x无交点
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
6．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
7．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则( )
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3
8．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．分式有意义的条件是__________．
10．一列数，按如下规律排列：0，，，，，，…则第n个数为__________．
11．袋中共有2个红球，4个黄球，从中任取一个球是白球，这个事件是__________事件．
12．在下列图形：①圆 ②等边三角形 ③矩形 ④平行四边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是__________填写序号）．
13．已知正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为__________．
14．某函数具有下列性质：①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则其函数解析式可以为__________．
15．函数y=与y=x﹣3的图象的一个交点的坐标为（m，n），则﹣的值为__________．
16．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=﹣的图象上的三个点，且x1＜0，x2＞x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是__________．（用“＞”表示）
17．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为__________．
18．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是__________cm．
三、解答题
19．（1）先化简：（a﹣）÷，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
（2）解分式方程：+=1．
20．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
21．为了了解中学生参加体育活动情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项（每个时间段含最小值不含最大值）：
A．1.5小时以上 B．1﹣1.5小时 C．0.5﹣1小时 D．0.5小时以下
根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了__________的调查方式．（填“普查”或“抽样调查”）
（2）本次调查共调查了__________人，图（2）中选项C的圆心角为__________度．
（3）请将图（1）中选项B的部分补充完整．
（4）若该校有2000名学生，你估计该校可能有__________名学生平均每天参加体育活动的时间在1小时以下．
22．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．
已知：在四边形ABCD中，__________，__________；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
（1）计算=__________；
（2）探究=__________；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=__________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
25．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
26． 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
27．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现己知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）
28．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
江苏省扬州市江都市宜陵中学2017-2018学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列调查适合普查的是( )
A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
B．某本书中某页的印刷错误
C．公民保护环境的意识
D．某批灯泡的使用寿命
考点：全面调查与抽样调查．
分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，全面调查破性性较强，适于用抽样调查，故此选项不合题意；
B、某本书中某页的印刷错误，字数不多，适于用全面调查，故此选项符合题意；
C、公民保护环境的意识，人数众多，适于用抽样调查，故此选项不合题意；
D、某批灯泡的使用寿命，全面调查破性性较强，适于用抽样调查，故此选项不合题意；
故选：B．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．下列图形中，中心对称图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形．
故共3个中心对称图形．
故选C．
点评：掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
考点：正方形的性质；矩形的性质．
分析：根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
解答： 解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了正方形和矩形的性质，熟记性质并正确区分是解题的关键．
4．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．扩大为原来的10倍 D．缩小为原来的
考点：分式的基本性质．
分析：根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，可得答案．
解答： 解：把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值不变．
故选：A．
点评：本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
5．对于函数y=，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
C．它的图象与直线y=﹣x无交点
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
考点：反比例函数的性质．
分析：根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵函数y=中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
C、∵函数y=﹣x位于二、四象限，∴与反比例函数y=无交点，故本选项正确；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选B．
点评：本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
6．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：首先根据mn＞0确定反比例函数的图象的位置，然后根据m、n异号确定答案即可．
解答： 解：∵mn＞0，
∴m、n异号，且反比例函数y=的图象位于第一、三象限，
∴排除C、D；
∵当m＞0时则n＜0，
∴排除A，
∵m＜0时则n＞0，
∴B正确，
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，解题的关键是了解两种函数的性质．
7．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则( )
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：由于点A在y=上，可知S△AOC=k，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞k，而点B在y=上，可知S△BOD=k，进而可比较三个三角形面积的大小
解答： 解：如右图，
∵点A在y=上，
∴S△AOC=k，
∵点P在双曲线的上方，
∴S△POE＞k，
∵点B在y=上，
∴S△BOD=k，
∴S1=S2＜S3．
故选；D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是观察当x不变时，双曲线上y的值与直线AB上y的值大小．
8．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：图形的剪拼．
分析：利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．
解答： 解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，
则n可以为：3，4，5，
故n≠2．
故选：A．
点评：此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．分式有意义的条件是x≠1．
考点：分式有意义的条件．
专题：存在型．
分析：根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，即x≠1．
故答案为：x≠1．
点评：本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不等于零．
10．一列数，按如下规律排列：0，，，，，，…则第n个数为．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：分析题中数据可知第n个数的分子为n2﹣1，分母为n2+1．故可求得第n个数是．
解答： 解：第一个数的分子为12﹣1=0，分母为12+1=2，
第二个数的分子为22﹣1=3，分母为22+1=5，
第三个数的分子为32﹣1=8，分母为32+1=10，
第n个数的分子为n2﹣1，分母为n2+1，
所以第n个数是，
故答案为：．
点评：本题主要考查了数字的变化规律，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．注意分别得到分子和分母与数序之间的关系．
11．袋中共有2个红球，4个黄球，从中任取一个球是白球，这个事件是不可能事件．
考点：随机事件．
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解答： 解：袋中共有2个红球，4个黄球，从中任取一个球是白球，这个事件是不可能事件；
故答案为：不可能．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
[来源:Zxxk.Com]
12．在下列图形：①圆 ②等边三角形 ③矩形 ④平行四边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是①③填写序号）．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：②等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
④平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
①圆和③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③．
故答案为：①③．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
13．已知正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（1，﹣2）．
考点：反比例函数图象的对称性．
分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解答： 解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
点评：本题考查了反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．
14．某函数具有下列性质：①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则其函数解析式可以为y=﹣．
考点：反比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：根据所给条件结合所学函数可得反比例函数y=，当k＜0时，①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，因此可写y=﹣．
解答： 解：由题意得：y=﹣，
故答案为：y=﹣．
点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
15．函数y=与y=x﹣3的图象的一个交点的坐标为（m，n），则﹣的值为﹣3．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：把点的坐标代入函数的解析式可得到mn=1，n﹣m=﹣3，再代入求值即可求得答案．
解答： 解：∵函数y=与y=x﹣3的图象的一个交点的坐标为（m，n），
∴mn=1，n=m﹣3，
∴n﹣m=﹣3，
∴﹣==﹣3；
故答案为：﹣3．
点评：本题主要考查函数图象上点的坐标的特征，利用交点坐标满足两函数的解析式代入可求得mn和n﹣m是解题的关键．
16．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=﹣的图象上的三个点，且x1＜0，x2＞x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是y1＞y2＞y3．（用“＞”表示）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据横坐标的正负将三点分象限，利用反比例函数的性质判断即可．
解答： 解：∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=﹣的图象上的三个点，且x1＜0，x2＞x3＞0，
∴（x1，y1）在第二象限，（x2，y2），（x3，y3）在第四象限，
则y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
17．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为32．
考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式．
分析：根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
解答： 解：∵C（3，4），
∴OC==5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为3+5=8，
故B的坐标为：（8，4），
将点B的坐标代入y=得，
4=，
解得：k=32．
故答案为：32．
点评：本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
18．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：只有BF大于等于AB时，B′才会落在AD上，判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．
解答： 解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，
由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，
在Rt△B′DC中，B′D===8cm，
∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，
设BE=x，则B′E=BE=x，
AE=AB﹣BE=6﹣x，
在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，
即（6﹣x）2+22=x2，
解得x=，
在Rt△BEF中，EF===cm．
故答案为：．
点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．
三、解答题
19．（1）先化简：（a﹣）÷，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
（2）解分式方程：+=1．
考点：分式的化简求值；解分式方程．
专题：计算题．
分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）原式=÷=﹣•=﹣（a﹣1）=1﹣a，
当a=2时，原式=﹣1；
（2）去分母得：3+x（x+3）=x2﹣9，
解得：x=﹣4，
经检验x=﹣4是分式方程的解．
点评：此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：首先根据正比例和反比例的定义可得y=kx+，再把x=﹣1，y=3；x=3，y=7代入得到关于k、m的方程组，再解可得k、m的值，进而可得y与x的解析式，再把x=﹣3代入计算出y的值即可．
解答： 解：∵y1与x成正比例，
∴y1=kx，
∵y2与x+2成反比例，
∴y2=，
∵y=y1+y2，
∴y=kx+，
∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，
∴，
解得：，
∴y=2x+，
当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11．
点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确表示出y与x的关系式．
21．为了了解中学生参加体育活动情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项（每个时间段含最小值不含最大值）：
A．1.5小时以上 B．1﹣1.5小时 C．0.5﹣1小时 D．0.5小时以下
根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了抽样调查的调查方式．（填“普查”或“抽样调查”）
（2）本次调查共调查了200人，图（2）中选项C的圆心角为54度．
（3）请将图（1）中选项B的部分补充完整．
（4）若该校有2000名学生，你估计该校可能有400名学生平均每天参加体育活动的时间在1小时以下．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）根据题意可得这次调查是抽样调查；
（2）利用选A的人数÷选A的人数所占百分比即可算出总数；再利用360°×选C的人数所占百分比即可得到圆心角度数；
（3）用总数减去选A、C、D的人数即可得到选B的人数，再补全图形即可；
（4）根据样本估计总体的方法计算即可．
解答： 解：（1）抽样调查；
（2）本次调查的学生人数：60÷30%=200（人），
选项C的圆心角度数：360°×=54°；
（3）选B的人数：200﹣60﹣30﹣10=100（人）．
（4）2000×=100（人）．
点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．
已知：在四边形ABCD中，①，③；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定． [来源:学科网][来源:学|科|网Z|X|X|K]
专题：证明题；开放型．
分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．
其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；
解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；
解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．
解答： 解：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四边形ABCD是平行四边形．
解法二：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法三：
已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法四：
已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
23．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
（1）计算=；
（2）探究=；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
考点：规律型：数字的变化类．
专题：压轴题；规律型．
分析：通过观察数据找到规律，并以规律解题即可．
解答： 解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=；
（2）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；
（3）
=+…+
==
由=，解得n=17，
经检验n=17是方程的根，
∴n=17．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定．
分析：（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；
（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形．
（3）解：[来源:学&科&网]
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，[来源:学_科_网]
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
点评：此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．
[来源:Z§xx§k.Com]
25．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
考点：分式方程的应用．
专题：方案型．
分析：关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．
再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
解答： 解：设规定日期为x天．由题意得
++=1，
．
3（x+6）+x2=x（x+6），
3x=18，
解之得：x=6．
经检验：x=6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；
方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．[来源:Z|xx|k.Com]
26． 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：（1）将A坐标分别代入正比例与反比例函数解析式中求出a与k的值，即可确定出两函数解析式；
（2）在图象上找出反比例在正比例上方时x的范围即可；
（3）BM=DM，理由为：由反比例函数k的几何意义得到三角形OBM与三角形OAC面积为k的绝对值的一半，求出面积，矩形OBDC的面积=三角形OBM面积+四边形OADM面积+三角形OAC面积，求出矩形OBDC的面积，即为OB与OC的积，由OC的长求出OB的长，即为n的值，将n的值代入反比例解析式中求出m的值，即为BM的长，由BD﹣BM求出MD的长，即可作出判断．
解答： 解：（1）将A（3，2）分别代入y=，y=ax得：k=6，a=，
则反比例函数解析式为y=，正比例函数解析式为y=x；
（2）由图象得：在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）BM=DM，理由为：
∵S△OMB=S△OAC=×|k|=3，
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC•OB=12，
∵OC=3，∴OB=4，即n=4，
∴m==，
∴MB=，MD=3﹣=，
则MB=MD．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
27．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现己知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）
考点：反比例函数的应用．
分析：（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求得x的取值范围，从而确定天数；
（3）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
解答： 解：（1）当0＜x≤30时，设y=k1x，把（30，120）代入得k1=4，∴y=4x；
当x≥30时，设y=，把（30，120）代入得k2=3600，
∴y=；
（2）当0＜x≤30时，由4x＜36，
解得：x＜9，
即0＜x＜9；
当30＜x≤100时，由＜36，
解得：x＞100，
不合条件，
∴共有8天；
（3）当0＜x≤30时，又4x≥100得，x≥25，即25≤x≤30，有6天；
当x＞30时，由≥100，解得：x≤36，即30＜x≤36，有6天，
共有6+6=12天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
28．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
考点：几何变换综合题．
分析：（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，首先证明△BDG≌△ADE，进而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，进而求出即可．
解答： 解：（1）如图（1），[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延长EA到BG于一点M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴线段BG和AE相等且垂直；
（2）成立，
如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB﹣∠ADG=90°﹣∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；
∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，
∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），
若BC=DE=m，则AD=，EF=m，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2=m2，
∴AF=m，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=m．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质和全等三角形的判定与性质等知识，结合图形得出全等图形是解题关键．
江苏省扬州市江都市八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列调查适合普查的是( )
A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
B．某本书中某页的印刷错误
C．公民保护环境的意识
D．某批灯泡的使用寿命
2．下列图形中，中心对称图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
4．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．扩大为原来的10倍 D．缩小为原来的
5．对于函数y=，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
C．它的图象与直线y=﹣x无交点
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
6．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
7．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则( )
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3
8．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．分式有意义的条件是__________．
10．一列数，按如下规律排列：0，，，，，，…则第n个数为__________．
11．袋中共有2个红球，4个黄球，从中任取一个球是白球，这个事件是__________事件．
12．在下列图形：①圆 ②等边三角形 ③矩形 ④平行四边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是__________填写序号）．
13．已知正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为__________．
14．某函数具有下列性质：①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则其函数解析式可以为__________．
15．函数y=与y=x﹣3的图象的一个交点的坐标为（m，n），则﹣的值为__________．
16．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=﹣的图象上的三个点，且x1＜0，x2＞x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是__________．（用“＞”表示）
17．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为__________．
18．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是__________cm．
三、解答题
19．（1）先化简：（a﹣）÷，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
（2）解分式方程：+=1．
20．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
21．为了了解中学生参加体育活动情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项（每个时间段含最小值不含最大值）：
A．1.5小时以上 B．1﹣1.5小时 C．0.5﹣1小时 D．0.5小时以下
根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了__________的调查方式．（填“普查”或“抽样调查”）
（2）本次调查共调查了__________人，图（2）中选项C的圆心角为__________度．
（3）请将图（1）中选项B的部分补充完整．
（4）若该校有2000名学生，你估计该校可能有__________名学生平均每天参加体育活动的时间在1小时以下．
22．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．
已知：在四边形ABCD中，__________，__________；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
（1）计算=__________；
（2）探究=__________；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=__________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
25．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
26． 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
27．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现己知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）
28．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
江苏省扬州市江都市宜陵中学2017-2018学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列调查适合普查的是( )
A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
B．某本书中某页的印刷错误
C．公民保护环境的意识
D．某批灯泡的使用寿命
考点：全面调查与抽样调查．
分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答： 解：A、夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，全面调查破性性较强，适于用抽样调查，故此选项不合题意；
B、某本书中某页的印刷错误，字数不多，适于用全面调查，故此选项符合题意；
C、公民保护环境的意识，人数众多，适于用抽样调查，故此选项不合题意；
D、某批灯泡的使用寿命，全面调查破性性较强，适于用抽样调查，故此选项不合题意；
故选：B．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．下列图形中，中心对称图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形．
故共3个中心对称图形．
故选C．
点评：掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
考点：正方形的性质；矩形的性质．
分析：根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
解答： 解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了正方形和矩形的性质，熟记性质并正确区分是解题的关键．
4．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．扩大为原来的10倍 D．缩小为原来的
考点：分式的基本性质．
分析：根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，可得答案．
解答： 解：把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值不变．
故选：A．
点评：本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
5．对于函数y=，下列说法错误的是( )
A．它的图象分布在第一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
C．它的图象与直线y=﹣x无交点
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
考点：反比例函数的性质．
分析：根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵函数y=中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
C、∵函数y=﹣x位于二、四象限，∴与反比例函数y=无交点，故本选项正确；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选B．
点评：本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
6．若mn＞0，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是( )
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：首先根据mn＞0确定反比例函数的图象的位置，然后根据m、n异号确定答案即可．
解答： 解：∵mn＞0，
∴m、n异号，且反比例函数y=的图象位于第一、三象限，
∴排除C、D；
∵当m＞0时则n＜0，
∴排除A，
∵m＜0时则n＞0，
∴B正确，
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，解题的关键是了解两种函数的性质．
7．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则( )
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1=S2＞S3 D．S1=S2＜S3
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：由于点A在y=上，可知S△AOC=k，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞k，而点B在y=上，可知S△BOD=k，进而可比较三个三角形面积的大小
解答： 解：如右图，
∵点A在y=上，
∴S△AOC=k，
∵点P在双曲线的上方，
∴S△POE＞k，
∵点B在y=上，
∴S△BOD=k，
∴S1=S2＜S3．
故选；D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是观察当x不变时，双曲线上y的值与直线AB上y的值大小．
8．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：图形的剪拼．
分析：利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．
解答： 解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，
则n可以为：3，4，5，
故n≠2．
故选：A．
点评：此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．分式有意义的条件是x≠1．
考点：分式有意义的条件．
专题：存在型．
分析：根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，即x≠1．
故答案为：x≠1．
点评：本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不等于零．
10．一列数，按如下规律排列：0，，，，，，…则第n个数为．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：分析题中数据可知第n个数的分子为n2﹣1，分母为n2+1．故可求得第n个数是．
解答： 解：第一个数的分子为12﹣1=0，分母为12+1=2，
第二个数的分子为22﹣1=3，分母为22+1=5，
第三个数的分子为32﹣1=8，分母为32+1=10，
第n个数的分子为n2﹣1，分母为n2+1，
所以第n个数是，
故答案为：．
点评：本题主要考查了数字的变化规律，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．注意分别得到分子和分母与数序之间的关系．
11．袋中共有2个红球，4个黄球，从中任取一个球是白球，这个事件是不可能事件．
考点：随机事件．
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解答： 解：袋中共有2个红球，4个黄球，从中任取一个球是白球，这个事件是不可能事件；
故答案为：不可能．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
[来源:Zxxk.Com]
12．在下列图形：①圆 ②等边三角形 ③矩形 ④平行四边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是①③填写序号）．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答： 解：②等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
④平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
①圆和③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③．
故答案为：①③．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
13．已知正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（1，﹣2）．
考点：反比例函数图象的对称性．
分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解答： 解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
点评：本题考查了反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．
14．某函数具有下列性质：①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则其函数解析式可以为y=﹣．
考点：反比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：根据所给条件结合所学函数可得反比例函数y=，当k＜0时，①图象在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，因此可写y=﹣．
解答： 解：由题意得：y=﹣，
故答案为：y=﹣．
点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
15．函数y=与y=x﹣3的图象的一个交点的坐标为（m，n），则﹣的值为﹣3．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：把点的坐标代入函数的解析式可得到mn=1，n﹣m=﹣3，再代入求值即可求得答案．
解答： 解：∵函数y=与y=x﹣3的图象的一个交点的坐标为（m，n），
∴mn=1，n=m﹣3，
∴n﹣m=﹣3，
∴﹣==﹣3；
故答案为：﹣3．
点评：本题主要考查函数图象上点的坐标的特征，利用交点坐标满足两函数的解析式代入可求得mn和n﹣m是解题的关键．
16．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=﹣的图象上的三个点，且x1＜0，x2＞x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是y1＞y2＞y3．（用“＞”表示）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据横坐标的正负将三点分象限，利用反比例函数的性质判断即可．
解答： 解：∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=﹣的图象上的三个点，且x1＜0，x2＞x3＞0，
∴（x1，y1）在第二象限，（x2，y2），（x3，y3）在第四象限，
则y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3
点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
17．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为32．
考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式．
分析：根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值．
解答： 解：∵C（3，4），
∴OC==5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为3+5=8，
故B的坐标为：（8，4），
将点B的坐标代入y=得，
4=，
解得：k=32．
故答案为：32．
点评：本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
18．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：只有BF大于等于AB时，B′才会落在AD上，判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．
解答： 解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，
由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，
在Rt△B′DC中，B′D===8cm，
∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，
设BE=x，则B′E=BE=x，
AE=AB﹣BE=6﹣x，
在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，
即（6﹣x）2+22=x2，
解得x=，
在Rt△BEF中，EF===cm．
故答案为：．
点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．
三、解答题
19．（1）先化简：（a﹣）÷，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
（2）解分式方程：+=1．
考点：分式的化简求值；解分式方程．
专题：计算题．
分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）原式=÷=﹣•=﹣（a﹣1）=1﹣a，
当a=2时，原式=﹣1；
（2）去分母得：3+x（x+3）=x2﹣9，
解得：x=﹣4，
经检验x=﹣4是分式方程的解．
点评：此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x+2成反比例，且当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7．求x=﹣3时，y的值．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：首先根据正比例和反比例的定义可得y=kx+，再把x=﹣1，y=3；x=3，y=7代入得到关于k、m的方程组，再解可得k、m的值，进而可得y与x的解析式，再把x=﹣3代入计算出y的值即可．
解答： 解：∵y1与x成正比例，
∴y1=kx，
∵y2与x+2成反比例，
∴y2=，
∵y=y1+y2，
∴y=kx+，
∵当x=﹣1时，y=3；当x=3时，y=7，
∴，
解得：，
∴y=2x+，
当x=﹣3时，y=2×（﹣3）﹣5=﹣11．
点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确表示出y与x的关系式．
21．为了了解中学生参加体育活动情况，某校对部分学生进行了调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项（每个时间段含最小值不含最大值）：
A．1.5小时以上 B．1﹣1.5小时 C．0.5﹣1小时 D．0.5小时以下
根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了抽样调查的调查方式．（填“普查”或“抽样调查”）
（2）本次调查共调查了200人，图（2）中选项C的圆心角为54度．
（3）请将图（1）中选项B的部分补充完整．
（4）若该校有2000名学生，你估计该校可能有400名学生平均每天参加体育活动的时间在1小时以下．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）根据题意可得这次调查是抽样调查；
（2）利用选A的人数÷选A的人数所占百分比即可算出总数；再利用360°×选C的人数所占百分比即可得到圆心角度数；
（3）用总数减去选A、C、D的人数即可得到选B的人数，再补全图形即可；
（4）根据样本估计总体的方法计算即可．
解答： 解：（1）抽样调查；
（2）本次调查的学生人数：60÷30%=200（人），
选项C的圆心角度数：360°×=54°；
（3）选B的人数：200﹣60﹣30﹣10=100（人）．
（4）2000×=100（人）．
点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．
已知：在四边形ABCD中，①，③；
求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点：平行四边形的判定． [来源:学科网][来源:学|科|网Z|X|X|K]
专题：证明题；开放型．
分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．
其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；
解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；
解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．
解答： 解：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四边形ABCD是平行四边形．
解法二：
已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法三：
已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
解法四：
已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
23．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
（1）计算=；
（2）探究=；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
考点：规律型：数字的变化类．
专题：压轴题；规律型．
分析：通过观察数据找到规律，并以规律解题即可．
解答： 解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=；
（2）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；
（3）
=+…+
==
由=，解得n=17，
经检验n=17是方程的根，
∴n=17．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定．
分析：（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；
（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形．
（3）解：[来源:学&科&网]
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，[来源:学_科_网]
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
点评：此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．
[来源:Z§xx§k.Com]
25．某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
考点：分式方程的应用．
专题：方案型．
分析：关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．
再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
解答： 解：设规定日期为x天．由题意得
++=1，
．
3（x+6）+x2=x（x+6），
3x=18，
解之得：x=6．
经检验：x=6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6=7.2（万元）；
方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6=6.6（万元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．[来源:Z|xx|k.Com]
26． 已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：（1）将A坐标分别代入正比例与反比例函数解析式中求出a与k的值，即可确定出两函数解析式；
（2）在图象上找出反比例在正比例上方时x的范围即可；
（3）BM=DM，理由为：由反比例函数k的几何意义得到三角形OBM与三角形OAC面积为k的绝对值的一半，求出面积，矩形OBDC的面积=三角形OBM面积+四边形OADM面积+三角形OAC面积，求出矩形OBDC的面积，即为OB与OC的积，由OC的长求出OB的长，即为n的值，将n的值代入反比例解析式中求出m的值，即为BM的长，由BD﹣BM求出MD的长，即可作出判断．
解答： 解：（1）将A（3，2）分别代入y=，y=ax得：k=6，a=，
则反比例函数解析式为y=，正比例函数解析式为y=x；
（2）由图象得：在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于一次函数的值；
（3）BM=DM，理由为：
∵S△OMB=S△OAC=×|k|=3，
∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC•OB=12，
∵OC=3，∴OB=4，即n=4，
∴m==，
∴MB=，MD=3﹣=，
则MB=MD．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
27．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现己知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）
考点：反比例函数的应用．
分析：（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求得x的取值范围，从而确定天数；
（3）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
解答： 解：（1）当0＜x≤30时，设y=k1x，把（30，120）代入得k1=4，∴y=4x；
当x≥30时，设y=，把（30，120）代入得k2=3600，
∴y=；
（2）当0＜x≤30时，由4x＜36，
解得：x＜9，
即0＜x＜9；
当30＜x≤100时，由＜36，
解得：x＞100，
不合条件，
∴共有8天；
（3）当0＜x≤30时，又4x≥100得，x≥25，即25≤x≤30，有6天；
当x＞30时，由≥100，解得：x≤36，即30＜x≤36，有6天，
共有6+6=12天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
28．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论：
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
考点：几何变换综合题．
分析：（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，首先证明△BDG≌△ADE，进而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，进而求出即可．
解答： 解：（1）如图（1），[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延长EA到BG于一点M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴线段BG和AE相等且垂直；
（2）成立，
如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB﹣∠ADG=90°﹣∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；
∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，
∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），
若BC=DE=m，则AD=，EF=m，
在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2=m2，
∴AF=m，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=m．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质和全等三角形的判定与性质等知识，结合图形得出全等图形是解题关键．
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