真题重组卷01——2023年高考数学真题汇编重组卷（云南、安徽、黑龙江、山西、吉林五省通用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷01  

云南、安徽、黑龙江、山西、吉林五省通用

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·天津·统考高考真题）设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故，

故选：A.

2．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，而为实数，故，

故选：B.

3．（2021·全国·高考真题）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

4．（2021·全国·统考高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【解析】抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得：(舍去).

故选：B.

5．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

，，

，，

.

故选：D.

6．（2020·山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，

其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.

故选：B

7．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】[方法一]:常规解法

因为，

所以，，得到，

同理，可得，

又因为，

故，；

以此类推，可得，，故A错误；

，故B错误；

，得，故C错误；

，得，故D正确.

[方法二]：特值法

不妨设则

故D正确.

8．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，

为函数的极大值点，

在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

10．（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】设正方体的棱长为，

对于A，如图（1）所示，连接，则，

故（或其补角）为异面直线所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，

由正方体可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，

故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，

则，

因为，故，故，

所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D错误.

故选：BC.

11．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

12．（2021·全国·统考高考真题）设正整数，其中，记．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】对于A选项，，，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选：ACD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【解析】因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

14．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

15．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

【答案】

【解析】过且斜率为的直线，渐近线，

联立，得，由，得

而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.

故答案为：．

16．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【解析】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

18．（12分）

（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

(1)若，求C；

(2)证明：

【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．

（2）由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根据余弦定理可知，

，化简得：

，故原等式成立．

19．（12分）

（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．

（1）证明：平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．

【解析】（1）证明：

在正方形中，，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，平面平面，

所以，

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因为

所以平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，

设，则有，

因为QB=，所以有

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．（12分）

（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．

（1）已知，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

【解析】（1）.

（2）设，

因为，故，

若，则，故.

，

因为，，

故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

若，因为在为增函数且，

而当时，因为在上为减函数，故，

故为的一个最小正实根，

若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，

综上，若，则.

若，则，故.

此时，，

故有两个不同零点，且，

且时，；时，；

故在，上为增函数，在上为减函数，

而，故，

又，故在存在一个零点，且.

所以为的一个最小正实根，此时，

故当时，.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

21．（12分）

（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求的最小值．

【解析】（1）设是椭圆上任意一点,,

，当且仅当时取等号，故的最大值是.

（2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，

因为直线与直线交于,

则,同理可得,.则

，

当且仅当时取等号，故的最小值为.

22．（12分）

（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．

（I）求曲线在点处的切线方程：

（II）证明存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．

【解析】（I），则，

又，则切线方程为；

（II）令，则，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

当时，，，当时，，画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，

当时，，则，单调递增，

当时，，则，单调递减，

为的极大值点，故存在唯一的极值点；

（III）由（II）知，此时，

所以，

令，

若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，

，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，故，

所以实数b的取值范围.