湖北省武汉市光谷为明实验学校2022-2023学年九年级下学期3月数学月考试题+

2022-2023学年湖北省武汉市江夏区光谷为明实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 掷一次骰子，向上的一面是点
B. 购买一张彩票，中奖
C. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 如果、都是实数，那么

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，有五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个盒子中装有标号为，，，的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若点，，在反比例函数是常数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，而后只出水不进水，直到水全部排出．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量与时间之间的关系如图所示，则下列说法错误的是(    )

A. 每分钟的进水量为升 B. 每分钟的出水量为升
C. 的解析式为 D. 当时水全部排出

9.  如图，圆锥的高为，母线为，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形将扇形沿折叠，使点恰好落在弧上点处，且，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图是一副七巧板，其中最小正方形的边长是，取其中六块拼成如图的形状，沿图形外围构造矩形虚线部分，则该矩形的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是          ．

12.  一组数据，，，，，，则这组数据的中位数是______ ．

13.  方程的解是______ ．

14.  如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛在它的北偏东方向上，航行海里到达点处，测得小岛在它的北偏东方向上，那么小岛到航线的距离等于______海里．

15.  抛物线为常数且经过点，，，下列四个结论：；；若为抛物线上任一点，则；当时，则的取值范围为其中正确的是______ 填写序号

16.  如图，在中，，，，是边上一点．连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．
解不等式，得______ ．
解不等式，得______ ．
把不等式和的解集在数轴上表示出来．
原不等式组的解集是______ ．

18.  本小题分
如图，，，求证：．

19.  本小题分
年某月，某医院收治了名“新冠肺炎”患者，根据政府决策，对患者进行免费治疗，图是该院轻症、重症、危重三类患者的人数分布统计图不完整，图是这三类患者的人均治疗费用统计图，请回答下列问题：

轻症患者的人数为______人；
危重症患者在扇形统计图中所占的圆心角度数为______；
该院为治疗危重患者共花费______万元；
请计算所有患者的平均治疗费用是多少万元？

20.  本小题分
如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
在图中，过作边上的高为垂足在边上找一点，使．
在图中，在边上找一点，使平分边上找一点，使．
 

21.  本小题分
国家推行“帮能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销某汽车经销商购进、两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比型汽车的进货单价多万元；购进台型汽车，台型汽车共花费万元
求、两种型号汽车的进货单价；
销售过程中发现：型汽车的每周销售量台与售价万元台满足函数关系；型汽车每周销售量台与售价万元台满足函数关系若型汽车的售价比型汽车的售价高万元台，设每周销售这两种车的总利润为万元；
问型汽车售价多少时，型汽车的利润率是型汽车利润率的．
求当型汽车的售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？

22.  本小题分
问题背景：如图，在矩形中，过作于，交于，图中与相似的三角形有多个，试写出其中一个三角形并证明．
尝试运用：如图，在四边形中，，点为上一点，过点作交的延长线于点，交于点，求证：．
拓展创新：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，连接，若，求的值．
 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，点在抛物线上，直线交抛物线于，两点，交轴于点．
若，求的值及点的坐标；
如图连接，当时，求的值；
如图直线交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选D．
根据倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、掷一次骰子，向上的一面是点，是随机事件，故本选项错误．
B、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故本选项错误．
C、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项错误．
D、如果、都是实数，那么，是必然事件，符合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是的事件．
本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．
本题考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：，．
故选：．
左视图是从左面看到的图形，细心观察图中几何体中正方体摆放的位置即可选出答案．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，关键是掌握左视图所看的方向．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和不小于的有种，
则摸出的小球标号之和不小于的概率为．
故选：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
此函数位于二、四象限，
，
，
，
，
故选：．
首先判断，得在每一象限随的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质的应用，比例系数的判定是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
每分钟的进水量为：，
的解析式为；
每分钟的出水量为：，
，，
当时水全部排出．
故选：．
根据题意和函数图象可以求得每分钟的进水量和出水量，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
扇形沿折叠，使点恰好落在弧上点处，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接，如图，根据折叠的性质得到，则可判断为等边三角形，所以，再根据圆心角、弧、弦的关系得到，则，接着利用弧长公式得到，所以，然后利用勾股定理得到，最后根据正弦的定义求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了解直角三角形．
 

10.【答案】 

【解析】解：沿图形外围构造的矩形的长为，
宽为，
该矩形的面积是


．
故选：．
由已知七巧板拼图可知：图中，中间四边形两边的拼图是全等的，所以图中右上角的一个等腰直角三角形没有用到，用了一个边长为的小正方形，则个等腰直角三角形的直角边长为，一个一组邻边长分别为、的平行四边形，可知，对角线长度为，可知个直角边长为的等腰直角三角形，由此解答即可．
本题通了七巧板和常见图形的有关计算能力，能求出长和宽是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，，
最中间的两个数是，，
则这组数据的中位数是．
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
此题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，
由题意得：海里，，，
，
，
海里，
在中，，
海里，
即小岛到航线的距离是海里，
故答案为：．
过点作交的延长线于点，根据三角形的外角性质得，由等腰三角形的判定得，再由锐角三角函数定义求出的长即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将，，代入解析式，
对称轴，
，
，
，点在第三象限，
抛物线开口向下，，
所以错误；
对称轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以错误；
，，
开口向下，当时取最大，
，
即，
，
成立，故错误．
由知，
当时，可得，故正确．
故答案为：．
由已知可以确定，，，即可判断；根据对称轴为直线由二次函数最值问题即可判断；时，结合对称轴的范围可得出的取值范围即可判断．
本题考查二次函数的图象及性质，能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数，，的取值情况是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，
，
当点落在上时，如图，

将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
；
当点落在上时，如图，过点作于，

将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是．
故答案为：．
由勾股定理可而且的长，分别求出当点落在上时和当点落在上时，的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点落在和上时的值是本题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得．
故答案为：．
解不等式，得．
故答案为：．
把不等式和的解集在数轴上表示出来如图所示．

原不等式组的解集是．
故答案为：．
根据一元一次不等式的解法可得答案．
根据一元一次不等式的解法可得答案．
直接将两个不等式的解集表示在数轴上即可．
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到可确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
又．
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：轻症患者的人是：人，
故答案为：；

危重症患者在扇形统计图中所占的圆心角度数为：；
故答案为：；

该院为治疗危重症患者共花费钱数是：万元，
故答案为：；

所有患者的平均治疗费用万元，
答：所有患者的平均治疗费用是万元．
因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；
用乘以危重症患者所占的百分比即可；
求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；
用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了平均数的认识．
 

20.【答案】解：如图，线段即为所求，点即为所求．
线段即为所求，点即为所求．
 

【解析】取格点，作直线交的延长线于取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求．
取格点，连接交于点，取网格线与的交点，连接，线段，点即为所求．
本题考查作图应用与设计，平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设型汽车的进货单价为万元，型汽车的进货单价为万元，根据题意，
，
解得．
故答案为：、两种型号汽车的进货单价为万、万；

设型号的汽车利润为万元台，则型汽车的售价为万元台，
型汽车的利润率是型汽车利润率的，
，
解得，
，
型汽车售价是万元台．
当型汽车售价是万元台时，型汽车的利润率是型汽车利润率的．

根据题意可知，，
得：

，
，
当时，有最大值为．
万元．
当型汽车的售价万时，每周销售这两种汽车的总利润最大． 

【解析】设型汽车的进货单价为万元，型汽车的进货单价为万元．根据题意，得出二元一次方程组，解之即可；
设型号的汽车利润为万元台，则型汽车的售价为万元台，
根据题意列出关于的方程，即可得答案．
根据题意写出关于的函数关系式，由二次函数的性质可得答案．
本题考查了二元一次方程组的应用和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】问题背景：解：∽，证明如下：
四边形是矩形，
，
∽；
尝试运用：证明：如图，过点作，交于点，

则，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，，
，
，
又，
∽．
：：．
：：，
；
拓展创新：解：如图，过点作于点，连接、交于点，

，，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
解得：负值已舍去，
，，
，
，
，
即，
，
． 

【解析】问题背景：由矩形的性质得，即可得出结论；
尝试运用：过点作，交于点，则，证，则四边形是平行四边形，，得，再证∽得：：，即可解决问题；
拓展创新：过点作于点，连接、交于点，证垂直平分，再证∽，得，然后由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，则，进而由三角形面积求出，即可得出结论．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理、锐角三角函数定义以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：当时，直线为，
因为点在上，
所以，解得．
因为直线交轴于点，
所以，解得，
所以；

过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点，过作轴的垂线，垂足为．

直线交轴于点，取，可得，
所以．
，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，
≌，
，，
，，
设直线为，则有，解得：，
所以直线为，
则，
解得：，
所以点坐标为，
因为点在直线上，
所以，
解得：；

设点、的坐标分别为：、，
联立和并整理得：，
则，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
同理可得，直线的表达式为：，
令，则，
则． 

【解析】当时，直线为，因为点在上，则，解得；直线交轴于点，所以，解得，即可求解；
证明≌，得到，，则，，进而求解；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，得到，同理可得，进而求解．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，根与系数的关系等，综合性较强，有一定难度．