四川省成都市蓉城名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试卷（含答案）

四川省成都市蓉城名校2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、下列求导运算正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

2、已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，，则(   )

A.-4 B.-2 C.2 D.4

3、已知，，则向量与的夹角为(   )

A.90° B.60° C.30° D.0°

4、四边形ABCD为矩形，平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零是(   )

A. B. C. D.

5、在平面直角坐标系中，曲线，与x轴所围成的封闭区域的面积为(   )

A.2 B.3 C. D.

6、函数在上的最大值为(   )

A. B. C.2 D.5

7、曲线在横坐标为1的点处的切线方程为(   )

A. B. C. D.

8、如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是(   )

A. B.

C. D.

9、已知正四面体ABCD的棱长为1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为(   )

A.1 B. C. D.

10、若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为(   )

A. B. C. D.

11、在直三棱柱中，底面是以B为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一点E使得，那么(   )

A.1 B.2 C. D.

12、定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、若直线l一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．

14、直线l、m的方向向量分别为、，则直线l、m的夹角为______．

15、圆柱内接于半径为3的球，当圆柱体积最大时其底面半径为______．

16、1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．

三、解答题

17、计算:

（1）定积分的值；

（2）求函数的导数．

18、已知函数在处有极值．

（1）求a，b的值；

（2）求的单调区间．

19、已知曲线．

（1）若，过点作的切线，求切线的方程；

（2）当有3个零点时，求a的取值范围．

20、如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N，P，D分别为，BC，，的中点．

（1）求证：面；

（2）求平面PMN与平面夹角的余弦值．

21、某商场销售某种商品，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：百元/件）满足关系式，其中，a为常数．已知销售价格为6百元/件时，每日可售出该商品11件．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为4百元/件，当销售价格x为多少百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润．

22、已知函数．

（1）当，时，证明：当时，；

（2）若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．

参考答案

1、答案：B

解析：，A错误；

，B正确；

，C错误；

，D错误

故选：B

2、答案： A

解析：因为向量，，是两两垂直的单位向量，，，

所以

，

故选：A

3、答案： A

解析：因为，，

所以，，

设向量与的夹角为，则

，

因为，所以，故向量与的夹角为，

故选：A.

4、答案：A

解析：根据题意，依次分析选项：

对于A：若SC与BD垂直，又SA与BD垂直，则平面SAC与BD垂直，则AC与BD垂直，与AC与BD不一定垂直矛盾，所以SC与BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；

对于B：根据题意，有平面ABCD，则，又由，则有平面SAB，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；

对于C：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；

对于D：根据题意，有平面ABCD，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.

故选：A．

5、答案：C

解析：，的函数图象如图

记，因为

所以.

所以所求面积为

故选：C

6、答案：D

解析：由题意得，

令，则 ，

当时， ，函数递减；当时， ，函数递增，

故 是函数在的极小值点，

所以当时， ；当时， ；

当时， ；

故函数在上的最大值为5，

故选：D

7、答案：D

解析：因为，所以，

所以切线的斜率，

又，所以切点坐标为，

所以切线方程为，即，

故选：D.

8、答案：A

解析：由函数的图象可知，函数的单调性为：增—减—增—减，故导函数的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数的图象可能是选项A.

故选：A

9、答案：C

解析：因为E，F分别是BC，AD的中点，

所以，，

又因为正四面体ABCD棱长都为1，

所以，

故

故选：C．

10、答案：D

解析：，

函数在区间单调递增，

在区间上恒成立，

，

而在区间上单调递减，

，

k的取值范围是：，

故选：D．

11、答案： B

解析：如图，以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则,，，，

则，

则，

因为在棱上有唯一的一点E使得，

所以在上有唯一的解，

令，可知，

故要想在上有唯一的解，只需，

因为，所以解得：

故选：B

12、答案： B

解析：为奇函数，所以

考虑函数，

所以在R上单调递减，

，

的解集等价于的解集，

即的解集为.

故选：B.

13、答案：垂直或

解析：因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，

所以与共线，，

所以直线l与平面的位置关系为垂直，

故答案为：垂直或

14、答案：60°

解析： ，

，

又两直线夹角范围是，

直线l、m的夹角为．

故答案为：．

15、答案：

解析：设圆柱底面半径为r，圆柱高为h，球的半径为R，

则，即，

所以圆柱的体积为，

，

由，可得，

，,，

所以当，即时，圆柱体积最大.

故答案为：.

16、答案： 答案：2

解析：由题意可得：,

故答案为：2.

17、答案：（1）4

（2）

解析：（1）

（2）

18、答案： （1），   

（2）单调递增区间是，；单调递减区间是

解析：（1），又在处有极值，

．

即，解得，．

经检验，当，时满足题意

（2）由（1）可知，，

令，得或；

令，得；

函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．

19、答案：（1）和   

（2）

解析：（1）因为，所以，所以，

设所求切线的切点坐标为，切线斜率为，

则所求切线方程为．

因为切线过点，

所以，即，

解得：或-1．

所以或-1．

即所求的切线有两条，方程分别是和．

即和．

（2），令，解得，．

令，得或，在上为增函数，

令，得，在上为减函数，

所以的极大值为，极小值为．

因为有3个零点，所以，解得：．

所以a的取值范围是

20、答案：（1）证明见解析；   

（2）.

解析：（1）解法一：以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，．

取向量为平面的一个法向量，，

，

．又，

平面．

解法二P，D分别为，的中点，

，且平面，平面，

平面，

D，N分别为，BC的中点，

，且平面，平面，

平面，又，

平面平面，又平面PDN，

平面．

（2）以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，．

，．

取向量为平面的一个法向量，

设平面PMN的法向量为，

则，即，

令，则，，则．

．

由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，

平面PMN与平面夹角的余弦值为．

21、答案：（1）   

（2）销售价格为5百元或8百元时，商场每日销售该商品所获得的利润最大为42百元

解析：（1）由题意得，，解得．

（2）由（1）得，

商场每日销售该商品所获得利润为，

∴，令，解得或7，

列表得x，，的变化情况如下：

，，

故销售价格为5百元或8百元时商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为42百元．

22、答案： （1）证明见解析   

（2）

解析：（1）由题意得，则，当时，，

在上是减函数，∴，设，在上是增函数，

，当时，．

（2），且，

令，得或a，

①当时，则，单调递减，函数没有极值；

②当时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

在取得极大值，在取得极小值，则；

③当时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

在取得极大值，在取得极小值，由得：，

综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．