2021-2022学年四川省成都市蓉城高中联盟高一下学期期中联考数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省成都市蓉城高中联盟高一下学期期中联考数学（理）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的加法法则可求得结果.

【详解】.

故选：C.

2．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，再根据等差数列的通项公式计算可得；

【详解】解：设公差为，由，所以，

解得，所以；

故选：A

3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理代入计算．

【详解】∵则．

故选：B．

4．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式直接求解.

【详解】因为，所以，即.

因为，所以.

故选：B

5．已知向量，向量，若，则（       ）

A．-2016 B．-1008 C．-998 D．-504

【答案】D

【分析】根据代入计算．

【详解】∵则

故选：D．

6．已知角的终边与单位圆交于点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义可知的值，进而可得的值.

【详解】根据三角函数的定义可知角，所以.

故选：D.

7．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果.

【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，.

故选：B.

8．对于非零向量，下列选项一定能使成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断、的意义，依题意只需找到满足与反向即可，从而判断可得；

【详解】解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，

要使，即与反向，

则当时与反向，满足条件；

当时与同向，不满足条件；

当时不一定满足与反向，故不满足条件；

故选：C

9．已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则△的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角差的正弦公式求出，再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】，

则，

故选：.

10．如图，满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用余弦定理求出，进而求出，再使用进行求解.

【详解】在三角形BCD中，由余弦定理得：，

因为，所以角C为锐角，所以，

在三角形ABC中，

故选：A

11．（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数和差公式即可.

【详解】

；

故选：B.

12．已知数列的前n项和，数列满足，则数列的最大项为（       ）

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项

【答案】D

【分析】根据求得，若判断的最大项，则根据数列单调性定义得，可求得．

【详解】∵，

当时， ，

当时，，

∴．

则假设第n项最大，

则有，

又，所以

故选：D．

二、填空题

13．设则________.

【答案】

【解析】利用和角的正弦公式展开再平方即得解.

【详解】因为

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查和角的正弦和二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．已知向量，在方向上的投影为3，则________．

【答案】10

【分析】由投影公式求出数量积，从而求解出结果．

【详解】在方向上的投影为3，所以，则

所以

故答案为：10

15．已知数列满足，若数列的最大项为，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【分析】由已知代入，建立不等式组求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

，

，

，

因为数列的最大项为，所以

，即，所以，解得，

所以，

故答案为：.

16．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，若的边BC的中点为D，则中线AD的长度的取值范围为________

【答案】

【分析】先求得角A的值，再利用向量得AD表达式,结合余弦定理以及正弦定理求得范围，即得结果，解法二利用数形结合去求中线AD的长度的取值范围

【详解】因为，

所以，所以

所以，又，所以

解法一：

因为锐角，所以

解法二：锐角的外接圆中，弦BC对应劣弧所对圆周角为，点A在弦BC对应的优弧上

如图，当为时，不妨设，

此时，

当顶点A在处时，为等边三角形，AD过圆心.则．

所以AD的长度的取值范围为．

故答案为：

三、解答题

17．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且，记．

(1)用向量表示﹔

(2)用向量表示．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】(1)解：由题可知： ，，，

所以．

(2)解：

．

18．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐且．

(1)求角B；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）变形给定等式，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.

（2）由（1）结合已知求出边a，再利用三角形面积定理计算作答.

【详解】(1)因为，由正弦定理得：，即，

由余弦定理得：，又，

所以．

(2)由（1）可知，而，则，，解得，

所以的面积

19．已知

(1)化简（可不写的范围）；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)且；

(2).

【分析】（1）根据给定函数式，利用二倍角正弦、同角三角函数关系化简求解作答.

（2）由（1）结合已知求出，再利用二倍角的正切、和角的正切公式计算作答.

【详解】(1)

，

显然，且，则有且，

所以且.

(2)由（1）可知，即，而，解得，

于是得，

所以．

20．已知为等差数列的前项和，其中，.

(1)求的通项公式及﹔

(2)若为等差数列的前项积，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得、；

（2）推导出，，，当取其他值时，，计算出、、的值，即可出结论.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为，由题可知，解得．

所以，.

(2)解：因为，所以当时，；当时，．

所以，，，当取其他值时，.

因为，，.

所以的最小值为.

21．如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上．

(1)求C处与小岛A之间的距离；

(2)求A，B两座小岛之间的距离．

【答案】(1) （海里）

(2)海里

【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；

（2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出；

【详解】(1)解：由题可知在中：，，

所以．

由正弦定理可得：

所以 （海里）．

(2)解：由题可知在中：

，所以．

所以（海里）．

由余弦定理可得：

，

所以（海里）．

由题可知在中：，

由余弦定理可得：

所以（海里）．

所以A，B两座小岛之间的距离为海里．

22．已知向量，函数

(1)求函数的最大值；

(2)的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足且，求周长的取值范围．

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）由向量数量积的坐标表示求出，再利用三角恒变换公式化简求解作答.

（2）根据给定条件，结合正弦函数性质求出周期，并求出A，再利用正弦定理边化角，借助三角函数性质求解作答.

【详解】(1)依题意，，

所以函数的最大值为1．

(2)因函数与x轴的三个连续交点的横坐标构成以为公差的等差数列，则的最小正周期为，即，解得，

，有，而，

因此，，在中，由正弦定理得：，

即，而，

则，

因，则，有，于是有，

所以周长的取值范围为．