上海市青浦高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

青浦高级中学2022学年第二学期高二年级数学期中                   

2023.4

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）

1．等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______

2．两数1与4的等比中项为______

3．将循环小数化为分数：______（循环节为23）

4．无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！

已知函数，则它的导函数______

5．函数，则______

6．函数在处的切线方程为______

7．二项式的展开式中，所有的系数之和为______

8．某同学有4本相同的小说书，1本散文书。从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种

9．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和______

10．星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期______（填一、二、三、四、五、六、日）

11．的展开式中，含有的项为______

12．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣。书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为；在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列。

该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：

①数列是严格增数列  ②数列的前n项和满足

③   ④

那么以上结论正确的是______（填序号）

二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分）

13．5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（    ）

A．144种 B．72种 C．36种 D．18种

14．二项式的展开式中，有理项有（    ）项

A．5 B．6 C．7 D．8

15．对于以下结论：

①若公比，那么等比数列前n项和存在极限

②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立

③函数的导数为，若，那么为函数的极值点

④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数

正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

16．设函数，在R上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（    ）

A．                     B．

C． D．

三、解答题（14+14+14+18+18，共78分）

17．（本题满分14分）

（1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式：

（2）已知等差数列前n项和为，满足，，求的通项公式

18．（本题满分14分）已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．

（1）求展开式中含的项

（2）求系数最大的项

19．（本题满分14分）某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x（，）件之间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元。（注：正品率产品中的正品件数产品总件数）

（1）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数

（2）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值

20．（本题满分18分）已知数列满足，．

（1）求，

（2）求数列的通项公式

（3）如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值

21．（本题满分18分）已知函数

（1）当时，求的最大值

（2）讨论函数的单调性

（3）对任意的，都有成立，求实数a的取值范围

参考答案

一、填空题

1.;      2.;     3.;     4.;      5.;     6.;    7.;       8.5;       9.;   10.；   11.195     12.①②③

12．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣。书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为；

在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列。

该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：

①数列是严格增数列  ②数列的前n项和满足

③   ④

那么以上结论正确的是______（填序号）

【答案】

【解析】

二、选择题

13.B         14.C         15. A         16.C

16．设函数，在R上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（    ）

A．                     B．

C． D．

【答案】C

【解析】

,

即

故选C.

三．解答题

17.（1）错位相减法，证明略 （2）

18.（1）    （2）

19.（1）    (2)

20．（本题满分18分）已知数列满足，．

（1）求，

（2）求数列的通项公式

（3）如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值

【答案】（1）    （2）      （3）的最小值

【解析】（1） 

（2）

（3）由（2）知

当n为奇数时，

当n为偶数时，

综上，的最大值和最小值分别为，函数在上单调递增

∴

21．（本题满分18分）已知函数

（1）当时，求的最大值

（2）讨论函数的单调性

（3）对任意的，都有成立，求实数a的取值范围

【答案】（1）函数;

（2）当严格递增；当严格递增；严格递减；     

（3）实数的取值范围是.

【解析】(1)将代入函数中,,由,所以,

当时,,所以函数在上单调递增;

当时,,所以函数在上单调递减;

故函数;

(3)任意都有成立,即,即,

令,,

令,,

则在上恒成立,即在上单调递增.

又故在内有零点,设零点为,

当时,,当时,,

所以,则所以,

设,

所以在单调递增,），即,所以,

所以,所以，即实数的取值范围是.