上海市高桥中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

高桥中学2022学年第二学期高二年级数学期中                   

2023.4

一、填空题：（每题3分，共36分）

1、函数的导函数为______

2、已知，则______

3、过点作曲线的切线，则切线方程为______

4、已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为______mm/min

5、若是函数的极值点，则实数______

6、已知函数，若，则______

7、若，则______

8、“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有______种

9、投掷红、蓝两色均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于9，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率______

10、已知，则______

11、若函数存在单调递增区间，则a的取值范围是______

12、设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______

二、选择题：（每题3分，共12分）

13、某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天开展优惠活动，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（    ）

A． B． C． D．

14、已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）

A．在处取极小值 B．在处取极小值

C．在上为减函数 D．在上为增函数

15、已知，则a被10除所得的余数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

16、关于函数，下列判断正确的是（    ）

①是的极大值点；

②函数有且只有1个零点；

③存在正实数k，使得成立；

④对任意两个正实数，，且，若，则．

A．①④ B．②④ C．②③ D．③④

三、解答题：

17、（8分）已知m，n为正整数，的展开式中x项的系数为31．

（1）求展开式中项的系数的最小值；（6分）

（2）当展开式中项的系数取最小值时，求项的系数．（2分）

18、（10分）4男3女排队拍照．

（1）女生不在两边的排法有多少种？（3分）

（2）恰有3个男生连排的排法有多少种？（3分）

（3）甲在乙的左边的排法有多少种？（4分）

19、（10分）已知函数，是函数的一个极值点．

（1）求函数的单调增区间；（5分）

（2）当时，求函数的最小值．（5分）

20、（10分）已知函数的图像在处的切线与直线平行．

（1）求函数的极值；（4分）

（2）若对任意的，，且都有，求实数m的取值范围．（6分）

21、（14分）已知．

（1）若，求在处的切线方程；（3分）

（2）讨论的单调性；（5分）

（3）设，求在上的零点个数．（6分）

参考答案

一、填空题

1.;      2.;     3.;     4.;      5.;     6.;    7.1或3;  8.;       9.;   10.；   11.  12.

11、若函数存在单调递增区间，则a的取值范围是______

【答案】

【解析】解答存在单调递增区间

在上有解,即在上有解,

令,则

当时,单调递增,当时,单调递减,

又,,

当时,,令,则,

当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,

,即恒成立,此时不满足题意.的取值范围是.

故答案为:.

12、设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为______

【答案】

【解析】由,构造函数,

因为是定义在上的奇函数,所以为偶函数,

又当时,为减函数,且,

因为,解得,,解得或,

不等式等价于,

即或,解得或,故答案为:.

二、选择题

13.B         14.A         15.B          16.C

15、已知，则a被10除所得的余数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】,

又,

,,故,选B.

16、关于函数，下列判断正确的是（    ）

①是的极大值点；

②函数有且只有1个零点；

③存在正实数k，使得成立；

④对任意两个正实数，，且，若，则．

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】C

【解析】,当时,0;

当时,.所以在上单调递减，

在上单调递增,是的极小值点,故①错误.

根据函数的单调性及极值点，作出函数的大致图象，如图所示，

作出直线,易知直线与的图象有且只有1个交点,偶函数有且只有1个零点,故②正确.

若,则,工,则,

令,则,

所以在上单调递增,在,上单调递减,,

所以在上单调递减,无最小值,

不存在正实数,使使恒成立,故③错误.

由可知,

要证,即证,

且在上单调递增,即证,

又,所以证,即证.

令,

则,所以在上单调递减,

所以,所以,④正确.故选C.

三．解答题

17.（1）81    （2）156

18.（1） （2）1728  （3）2520

19.（1）函数的单调增区间为；     (2)的最小值-1

20、（10分）已知函数的图像在处的切线与直线平行．

（1）求函数的极值；（4分）

（2）若对任意的，，且都有，求实数m的取值范围．（6分）

【答案】（1）在处取得极大值为,无极小值;      

（2）实数的取值范围是.

【解析】(1)的导数为,

可得的图象在处的切线斜率为,由切线与直线平行,

可得,即,所以,

由,可得,由,可得,

则在递增，在递减,可得在处取得极大值为,无极小值;

(2)可设,若,,

可得,即有,

设在为增函数,

即有对恒成立,

可得在恒成立,由的导数为

当,可得在递减,在递增,

即有在处取得极小值,且为最小值,可得,

解得,则实数的取值范围是.

21、（14分）已知．

（1）若，求在处的切线方程；（3分）

（2）讨论的单调性；（5分）

（3）设，求在上的零点个数．（6分）

【答案】（1）切线方程为     

（2）函数有极大值为，无极小值.

（3）在上没有零点.

【解析】（1）由函数,当时,,

所以,所以在处的切线斜率为:,

所以所求切线方程为:,即.

（2）由,所以,

当时,,所以函数在上单调递增,无极值,

当时,由,则,若,则,

所以在议调递增，在上单调递减.

所以为函数单调递增区间,为函数单调递减区间,

此时函数有极大值为，无极小值.

（3）由,所以，

今,由,所以,由

令,此时,在上单调递减,

所以,即,所以在上单调递增，

由，所以在上单调递增，

所以,即,

当时，则与在只有一个交点,此时在上只有一个零点.

所以

或时,

则与在无交点,

此时在上没有零点.