2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．如图，表示全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可.

【详解】由韦恩图知：阴影部分为.

故选：A

2．下列不等式恒成立的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】取可判断A；可判断B；可判断C；可判断D.

【详解】对于A，取，则不正确，所以A不正确；

对于B，，所以，所以B正确；

对于C，取，则不正确，所以C不正确；

对于D，，所以，所以D不正确.

故选：B.

3．“”是关于的不等式的解集为R的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】B

【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.

【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为；

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当，且时，不等式，

所以，若关于的不等式的解集为R，则.

综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.

故选：B

4．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（    ）.

A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集

B．集合是“和谐集”

C．若都是“和谐集”，则

D．对任意两个不同的“和谐集”，总有

【答案】D

【分析】根据已知中关于“和谐集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案.

【详解】解：A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；

B项中，设，则，，

所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；

C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；

D项中，取，，都是“和谐集”，

但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.

故选：D.

二、填空题

5．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____．

【答案】{2}

【分析】直接利用交集的定义求解．

【详解】解：∵A={1，2}，B={2，3}，

∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．

故答案为：{2}．

6．已知集合，若，则实数a的值为___________.

【答案】2

【分析】根据集合元素的性质可求实数a的值.

【详解】因为，故或，

若，则，与元素的互异性矛盾，舍；

若，则或（舍），而时，符合元素的互异性，

故实数a的值为2，

故答案为：2.

7．设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）

【答案】

【分析】利用作差法比较即可.

【详解】因为

所以

故答案为：

8．关于的方程的两根为，则______.

【答案】2

【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出.

【详解】由题意得，，所以．

故答案为：2.

9．已知，，则__．

【答案】72

【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.

【详解】由，

所以.

故答案为：72

10．命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解.

【详解】由题意得，是的充分条件，

由可得或，

从而或，

从而.

故数a的取值范围是.

故答案为：.

11．若关于的不等式组的解集是，则实数的取值范是_______.

【答案】

【分析】分别求出和的解集，由不等式组的解集是，即可得出答案.

【详解】由可得：，

又因为可得，

因为不等式组的解集是，

所以，解得：，

所以实数的取值范是：.

故答案为：.

12．集合，，若，则对应的实数对有_____对.

【答案】4

【分析】解出集合，再根据交集的性质，子集的定义分类讨论即可求出．

【详解】因为，，，

而，所以，或或

或或，解得：或或或．

故答案为：4．

13．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出．

【详解】因为不等式有解，当时，显然不等式有解；当时，不等式

有解等价于方程有两相异实根，所以，解得：，综上，实数的取值范围是．

故答案为：．

14．已知非零实数、满足，则的最小值是_______.

【答案】1

【分析】利用基本不等式结合已知条件求出的取值范围，再由结合不等式的基本性质可求得结果.

【详解】因为，当且仅当时，等号成立.

所以，.

若，则，可得，此时；

若，则，可得，此时.

综上，.

所以，.

所以的最小值是1.

故答案为：1

15．已知非空集合M满足：对任意，总有且，若，则满足条件的M的个数是_______.

【答案】11

【分析】根据集合M的元素特征以及有限集的子集个数即可解出．

【详解】因为非空集合M至少含有一个元素，而且根据题意可知，集合M中不能含有，且不能同时存在于集合，所以由集合的非空子集个数为， 再排除不符合题意的，故满足题意的M的个数是．

故答案为：11．

16．三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：

甲：，可用基本不等式求解；

乙：，可用二次函数配方法求解；

丙：，可用基本不等式求解；

参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值.

【答案】

【分析】甲的思路应用的条件是分母相加为常数，乙的思路的应用条件是通分后分子应为常数，丙的思路为1的代换，注意基本不等式取等号的条件.

【详解】按照甲的思路：

因为，所以

由基本不等式得，，

当且仅当，，即时等号成立.

按照乙的思路：

，发现与设想不一样，故放弃此思路.

按照丙的思路：

因为，所以

由基本不等式得，，

当且仅当，，即时等号成立.

故当时，（，）有最小值.

故答案为：.

三、解答题

17．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．

【答案】证明见解析.

【分析】假设与都大于或等于2，即，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．

【详解】证明：假设与都大于或等于2，即，

因为，，故可化为，两式相加，得，

与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．

【点睛】本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．

18．已知关于的绝对值不等式：.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对于任意的实数，以上不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论，和，解不等式即可求出答案；

（2）由的几何意义求出的最小值为2，即2>，解不等式即可得出答案.

【详解】（1）当时，原不等式变为：由

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得.

故所求不等式的解集为：.

（2）由在数轴上表示到-1与1的距离之和（或由三角不等式），

的最小值为2，

则有2>，可化为，

所以.

19．1.已知集合，集合．

(1)求常数m、n的值；

(2)设，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B，注意对a进行分类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a的取值范围

【详解】（1）因为，所以-1和3是方程的两个根，由韦达定理得：，，解得：，

（2），解得：当时，集合，当时，集合，当时，解集为

因为p是q的充分不必要条件，，

当时，，此时p是q的必要不充分条件，不满足题意，舍去

当时，需要满足，此时，解得：

当时，需要满足，此时，解得：

综上：实数a的取值范围为

20．运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制(单位千米/时，假设汽油价格是每升元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元.

（1）求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；

（2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值.

【答案】（1）；（2）当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.

【解析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用；（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的的值.

【详解】解：（1）行车所用时间，根据汽油的价格是每升元

而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元

可得行车总费用为

（2）

当且仅当

即时，等号成立

所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.

【点睛】本题考查函数的应用，属于中档题.

方法点睛：（1）首先计算行车所用时间；

（2）行车总费用包含汽车的费用和司机的费用；

（3）行车总费用为行车时间乘以每小时耗油量乘以汽油的价格；

（4）司机的费用为司机每小时的价格乘以时间.求和即可.

21．对正整数，记，.

（1）用列举法表示集合；

（2）求集合中元素的个数；

（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.

【答案】(1)；(2)46；(3)证明见解析.

【分析】(1)根据给定集合的意义计算列举写出即可；

(2)由每一个k值可得中的7个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解；

(3)根据给定定义，证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.

【详解】(1)依题意，，则；

(2)显然每一个k值，m值可取1，2，3，4，5，6，7七个不同数，即可得7个的值，

当时，中m=1，m=2，m=3所对应的3个元素为1，2，3，另四个元素为4，5，6，7，

当时，中m=2，m=4，m=6所对应的3个元素1，2，3为重复元素，另四个元素为分数，

当时，均为无理数，没有相同数，

因此，由计算可得个数，其中计算得到的数1，2，3各重复1次，则中元素的个数为，

所以集合中元素的个数是46；

(3)假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并，设，为不相交的稀疏集，使，

不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾，

于是得当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即，

若，则当时，可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取，，则，为稀疏集，且.

当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面个两稀疏集的并：，，

当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集的并：，.

最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，

则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为与，

因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且，

综上，所求的最大值为14.

【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.