上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

新中中学2022学年第二学期高二年级数学期中                   

2023.4

一．填空题（每题4分，共40分）

1．某校学生高中、初中、小学共计1420人，其中高中学生540人，初中学生480人，现在采用分层抽样方法抽取部分学生调查身体健康状况，在抽取的样本中初中学生有24人，则样本中小学学生的人数为______．

2．将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）．

3．已知，且则______．

4．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有______种（结果用数字作答）．

5．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数______．

6．若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．

7．如图所示，现有个正方形构成的网格，从A点沿网格线到B点，且不能经过C点，则最短路线共有______条．

8．随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（MadeinChina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如右频率分布直方图．则频率分布直方图中质量指标值的第30百分位数是______．

9．设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为P，，则椭圆离心率的取值范围为______．

10．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线AB经过抛物线C的焦点F，那么______．

二．解答题（共60分）．

11．（本题分）

（1）求与直线平行且过点的直线l的方程；

（2）当m为何值时，直线与直线垂直？

12．（本题分）

如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；

（2）若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．

13．（本题分）

（1）设数据，，，…的均值为，方差为，请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式：；

（2）已知，，，，，…，的方差为，其中．

，，…，，，，，，…，的方差为．比较与大小，并说明理由．

14．（本题分）

如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，是双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）证明：直线，的斜率之积为定值；

（3）求的取值范围．

15．（本题分）

定义：如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．

已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，．

（i）试探究是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

（ii）求的取值范围．

参考答案

一、填空题

1.20；  2.105°或165°；  3.0；  4.144；  5.6或-2；  6.；  7.66；

8.65或80；

9．设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为P，，则椭圆离心率的取值范围为______．

【答案】.

【解析】由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点,所以半径,即,且,

所以

由于，令，则，则

由函数在上单调递減，故在上单调递减,

故,即,满足，符合题意，
所以椭圆离心率的取值范围为；故答案为：.

10．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线AB经过抛物线C的焦点F，那么______．

【答案】4

【解析】过点作抛物线的两条切线,切点分别为和,,
由题意,显然过点作抛物线的切线的斜率存在,设该斜率为,
则该切线方程为,即,
联立,消去可得
由于切线与抛物线只有唯一交点,则
整理可得,

由题意,可知为方程的两个根,则
由题意，设直线的方程为,
联立可得,消去可得,由题意可知为该
方程的两个根,则，故，
由抛物线方程,可得函数与函数,

则
不妨设在第一象限,则,即,且
由设在第一象限,则在第四象限,即,可得

由,则,
综上可得,解得,故.故答案为:4.

二、解答题

11.（1）；（2）m=-6

12.（1），焦点坐标是；（2）39dm

13.（1）证明略；（2）；

14．（本题分）

如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，是双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）证明：直线，的斜率之积为定值；

（3）求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】设双曲线的方程为，

由题意得.,解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）设点,则,于是：
而点在双曲线上,得,即有;从而,故.
(3)由(2)得,且,且不能同时取1与-1

法一：设直线AB的方程为，直线CD的方程为；

由得

设,则；

同理可得;所以,
由丁,故,于是的取值范目是.
注:答案写成成扣1分.
法二:由(2)得,且.
设,设.

由得，

则,

类似地,,

由于,故,所以的取值范周是.
注:答案写成或扣1分.

15．（本题分）

定义：如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．

已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，．

（i）试探究是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

（ii）求的取值范围．

【答案】（1）;（2）（i）是，；（ii）
【解析】（1）由题意可设双曲线,则,

解得,双曲线的方程为;
(2)(i)设,直线的方程为,由,消去得,则,

;
(ii)设直线,代入双曲线方程并整理得,

由于点为双曲线的左顶点,此方程有一根为-2,

,解得,

点在双曲线的右支上,,解得,得,

同理可得,